MATEMATICA 5 - Portal Prudente

MATEMÁTICA
45
MATEMÁTICA
PROBABILIDADE
46
MATEMÁTICA
47
MATEMÁTICA
48
MATEMÁTICA
49
MATEMÁTICA
NOÇÕES
ESTATÍSTICA
3.2.2 - Variáveis Contínuas: são aquelas variáveis
que podem assumir quaisquer valores num intervalo de
observação.
Ex.: idade, peso, estatura, rendimentos, notas, etc.
VARIÁVEIS E ATRIBUTOS
NÍVEIS DE MEDIDA DE UMA VARIÁVEL.
4. Pesquisa Estatística: A pesquisa estatística de uma
População pode ser feita através de dois processos: censo
e amostragem.
1. Estatística: é a ciência que se preocupa com a
coleta, análise, interpretação e apresentação dos dados e
tem como objetivo fundamental, o estudo de Populações
para fins de decisão, cabendo-lhe planejar experiência,
visando obter, com a máxima rapidez e mínimo de custos,
resultados capazes de permitir realizar conclusões com
grande grau de precisão. Possui duas grandes divisões:
Descritiva e Indutiva.
4.1 - Censo: É a coleta exaustiva das informações das
"N" unidades da População.
4.2 - Amostragem: É a coleta de informações de parte
da População, de tamanho "n", mediante métodos
adequados de seleção destas unidades.
Amostra: Amostra, em Estatística, é uma parte da
População convenientemente selecionada de acordo com
uma regra ou plano.
Estimação: Consiste em calcular, a partir dos dados
da amostra, os correspondentes valores da respectiva
População.
Parâmetros: São medidas calculadas a partir das
variáveis de uma População. (médias, variâncias, desvio
padrão, etc.)
Estimadores ou estatísticas: São medidas calculadas
a partir de uma amostra. (médias, variâncias, desvio
padrão, etc.)
1.1 - Estatística Descritiva: é aquela que se preocupa
com a coleta, elaboração, análise, interpretação e
apresentação dos dados relativos a uma determinada
População.
1.2 - Estatística Indutiva (inferência estatística): é
aquela que, a partir dos dados de uma amostra, pretende
fundamentar a tomada de decisão sobre a população de
origem.
2. População: população ou Universo é todo o
conjunto, finito ou infinito, que possui ao menos uma
característica em comum entre todos os seus elementos
componentes.
Ex.: Alunos da Universidade "X".
Parâmetros
 - média
s2 - Variância
s - desvio padrão
 - coeficiente de variabilidade de Pearson.
2.1 - População Finita: é aquela em que é possível
enumerar todos os seus elementos componentes.
Ex.: produção mensal de parafusos de uma Empresa "X".
2.2 - População Infinita: é aquela em que não é
possível enumerar todos os seus elementos componentes.
Ex.: Os astros existentes no Universo.
Observação: uma População finita pode, mediante
processos operacionais, ser transformada em população
infinita.
Ex.: Retirar as fichas de uma urna e, depois de cada
extração, repô-las.
x - Média
S2 - Variância
s - Desvio Padrão
 - Coeficiente de Variabilidade de Pearson
3. Características de uma População - Dividem-se
em Atributos e Variáveis.
4.3 - Experimento Aleatório
3.1 - Atributos: são aquelas características da
População que não podem ser medidas.
Ex.: Religião, cor, estado civil, nacionalidade, etc.
Estatística - Ciência e Método
São várias as definições propostas à Estatística como
ciência, dentre elas, a que apresentamos no item 1 Estatística Descritiva.
Pelo enfoque de ciência e método, a Estatística é vista
como um conjunto de conhecimentos exatos e racionais,
relativos às causas das realizações e deduzidas pela
demonstração.
3.2 - Variáveis: são aquelas características da
População que podem ser medidas. Dividem-se em
Discretas e Contínuas.
3.2.1 - Variáveis Discretas: são aquelas variáveis que
podem assumir somente valores particulares (inteiros)
num intervalo de observação.
Ex.: número de filhos, número de gols numa partida de
futebol, número de automóveis, etc.
Método é a ordem ou conjunto de processos que
devem ser estabelecidos para, através da investigação,
atingir determinado objetivo.
50
MATEMÁTICA
Se, no estudo de um acontecimento, não se podem
obter os resultados através da experiência, o método
científico tem por objetivo simplificar os dados colhidos
sobre complexidade de causas e fatores de difícil, se não
impossível, controle, que afetam de maneira sensível o
fenômeno tomando o nome de método estatístico ou
EXPERIMENTO ALEATÓRIO.
1974
Fonte: Dados hipotéticos
Os métodos experimental ou aleatório e estatístico,
tanto podem ser empregados juntos como separadamente,
no estudo de um fenômeno, bastando para isso sua
exigência.
Rio Grande do Sul 1974
REGIÃO
TONELADAS
A
200
B
50
C
120
D
400
E
300
Fonte: Dados Hipotéticos
6.1.2 - Série estatística Geográfica: é aquela série em
que se verifica a variação do fenômeno em relação ao
espaço geográfico ou à região.
Ex.: Produção da utilidade “k”
A partir dessas considerações, pode-se definir a
estatística com outro enfoque:
"Estatística é o método de estudo representativo e
analítico dos elementos dos fenômenos que se apresentam
em grande número, para sua subseqüente interpretação".
II - DISTRIBUIÇÃO DE
Representações tabulares e práticas
FREQÜÊNCIA
5.
ORGANIZAÇÃO
ESTATÍSTICOS
DOS
230
6.1.3 - Série estatística especificativa: é aquela série
em que se verifica a variação do fenômeno em relação a
espécie ou à qualidade.
-
5.1 - Tabular: é a apresentação dos dados estatísticos
através das tabelas.
5.2 - Gráfica: é a apresentação dos dados sob a forma
de gráficos.
Ex.: Produção da utilidade “k”
Rio Grande do Sul 1974
CEREAL
TONELADAS
A
200
B
210
C
150
D
160
Fonte: Dados Hipotéticos
6. Série Estatística: é toda e qualquer coleção de
dados estatísticos, referidos a uma mesma ordem de
classificação. Dividem-se em: Série de dados não
grupados e Série de dados grupados.
6.1.4 - Série estatística mista: é aquela série que
resulta da combinação das séries estatísticas temporal,
geográfica e especificativa. Recebe a denominação
conforme as variações do fenômeno que ocorre.
6.1 - Série de dados não grupados - É a série
estatística onde as variações do fenômeno são
apresentadas de acordo com a época a que se referem, ao
espaço onde se observa ou a qualidade ou a espécie do
fenômeno.
Ex.: série geográfica - Temporal
Produção de Utilidade “k”
Brasil 1973/74
DADOS
Ano
Norte
Toneladas
Sul
Região
6.2 - Série de dados grupados - É a série estatística
onde o tempo, o espaço geográfico, a espécie ou a
qualidade permanecem constantes e o fenômeno é
agrupado em subintervalos do intervalo total observado.
Existem dois tipos de Distribuição de freqüências: por
intervalos e por pontos.
As séries de dados não grupados podem ser: Temporal,
Cronológica,
Histórica,
Geográfica,
Territorial,
Especificativa ou qualitativa e mista.
Sul
Norte
Sudeste
Fonte: Dados hipotéticos
6.1.1 - Série estatística temporal: é aquela série em
que se verifica a variação do fenômeno em relação ao
tempo.
30
60
50
40
70
30
Ex.: série especificativa - Geográfica
Produção de Cereais
Rio Grande do Sul 1974
Ex.: Produção da utilidade “k”
Ano
Rio Grande do Sul 1970/4
ANO
TONELDAS
1970
200
1971
210
1972
250
1973
160
Norte
Toneladas
Sul
Região
A
B
C
D
Fonte: Dados hipotéticos
51
18
20
30
40
50
60
40
20
MATEMÁTICA
Símbolo: 1s
Ex: 1s3 = 7 U.M. (limite superior da 3ª classe é 7 U.M.)
6.2 - SÉRIES ESTATÍSTICAS DE DADOS
AGRUPADOS
7. Amplitude de classe - É a diferença existente entre
o 1s e o 1i.
Ex: h = 1i - 1i = 2 U.M. (a amplitude é a mesma para
todas as classes)
São as séries estatísticas em que o tempo, espaço,
qualidade ou a espécie permanecem constantes e as
variações do fenômeno são agrupadas em subintervalos
ou pontos do intervalo total observado.
As séries agrupadas podem ser de dois tipos:
8. Freqüência simples ou absoluta de classe - É o
número de observações da variável contada dentro da
classe.
Símbolo: fi
Ex: f3 = 45 empregados (freqüência simples da 3ª classe é
45 empregados).
6.2.1 - Distribuição de freqüências por intervalos:
As variações do fenômeno são agrupados por intervalos.
(Somente para variáveis contínuas)
Exemplo: Rendimentos mensais dos empregados da
Empresa “x” em unidades monetárias
(1 UM = R$ 1.000,00)
POA-JULHO/94
UNIDADES
NÚMERO DE
Fi
fri
xi
fixi
9. Freqüência acumulada ou absoluta da classe - É
o número de observação da variável contado a partir da
primeira classe até uma classe qualquer.
Símbolo: Fi
Ex: Fi = f1 + f2 + f3 _ ... + fn
MONETÁRIAS EMPREGADO
S
1 |----- 3
17
17 0,085 2
34
3 |----- 5
30
47 0,150 4
120
5 |----- 7
45
92 0,225 6
270
7 |----- 9
52
144 0,260 8
416
9 |----- 11
36
180 0,180 10
360
11 |-----| 13
20
200 0,100 12
240
200
1,000
1440

Fonte: Dados hipotéticos
Em relação à série estatística anterior, temos:
Elementos característicos de uma Distribuição de
freqüências por intervalos:
10. Freqüência relativa de classe - É a relação
existente entre a freqüência simples de classe e a soma
das freqüências simples.
Símbolo: fri
fri = fi : fi ou fri = fi /  fi
Ex: fr3 = 0,225 ou 22,5% (freqüência relativa da 3ª classe
é de 22,5%).
11. Ponto médio de classe - É a média aritmética
calculada entre o limite inferior de classe e o seu limite
superior.
Símbolo: x
xi = 1i + 1s
2
Ex: x3 = 6 U.M.
1. Limite Inferior da D.F. - É o valor a partir do qual
são contadas as observações da distribuição.
Símbolo: Li
Exemplo: Li = 1 U.M.
2. Limite superior da D.F. - É o valor até o qual são
contadas as observações da distribuição.
Símbolo: LS
Exemplo: LS = 13 U.M.
6.2.2 - Distribuição de freqüências por pontos: é
uma série de dados agrupados na qual o número de
observações da variável está relacionado com um ponto
real.
3. Amplitude da D.F. - É a diferença existente entre
Ls e Li, ou seja H = LS - Li
Símbolo: H
Ex: H = 13 - 1 = 12 U.M.
Ex: número de Dependentes por empregados da Empresa
"X"
4. Classes da D.F. - São os subintervalos nos quais
são contadas as observações da variável. Símbolo do nº de
classes: m
Ex: 6 classes (tabela acima)
Rio Grande do Sul
Março/1975
Nº DE
Nº DE
DEPENDENTES
EMPREGADOS
0
40
1
50
2
30
3
20
4
10
150

Fonte: Dados hipotéticos
Observação: para se determinar o número de classes de
uma distribuição podemos utilizar a relação de Sturges: m
= 1+3,322 . log N (N: nº de informações).
5. Limite inferior de classe - É o valor a partir do
qual são contadas as observações dentro da classe.
Símbolo: 1i
Ex: li3 = 5 U.M. (limite inferior da 3ª classe é 5 U.M.)
Observação: as distribuições de freqüências por pontos
são características das variáveis discretas.
6. Limite superior de classe - É o valor até o qual são
contadas as observações dentro da classe.
6.2.3 - Representação gráfica
52
MATEMÁTICA
(a) Para as distribuições de freqüências por intervalos,
utilizamos, principalmente, o gráfico do tipo histograma
(Gráfico 1).
(b) Para as distribuições de freqüências por pontos,
utilizamos, principalmente, o gráfico de linhas (Gráfico
2).
b) Linha - É a parte da tabela que contém uma série
horizontal de informações. Como exemplo, na tabela temse:
GRÁFICO 1
Rendimentos mensais dos empregados da Empresa “x”
em unidades monetárias (1U.M. = R$ 1.000,00)
Porto Alegre Julho/94
Mamona
31.780
24.946
c) Coluna - É a parte da tabela que contém uma série
vertical de informações. Como exemplo, na tabela tem-se:
1957
42 3906
31 780
14 897
d) Casa ou Célula - É a parte da tabela formada pelo
cruzamento de uma linha com uma coluna. Na tabela temse:
31.780
e) Corpo - É a parte da tabela composta de linhas e
colunas;
f) Cabeçalho - É a parte da tabela na qual é designada
a natureza do conteúdo de cada linha, a saber, é o
conjunto de casas ou células que formam a parte superior
do corpo da tabela. Na tabela tem-se:
GRÁFICO 2
Número de dependentes por empregados da Empresa “x”
s/a
Rio Grande do Sul - Março/1975
PRODUTOS
QUANTIDADES
TONELADAS
1957
1968
g) Coluna Indicadora - É a coluna que contém as
discriminações correspondentes aos valores distribuídos
pelas colunas numéricas. No exemplo, tabela é a coluna
que contém os produtos:
PRODUTOS
Açúcar-de-cana...........
Mamona.....................
Manteiga de cacau......
h) Rodapé - É o espaço aproveitado em seguida ao
fecho da tabela onde são colocadas as notas de natureza
informativa (Fonte, Notas e Chamadas). No exemplo,
tabela, é a parte:
7. NORMAS PARA APRESENTAÇÃO TABULAR DE
DADOS
Tabela - De modo geral tem-se a destacar em uma
tabela ou quadro:
Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
a) Título - É a parte superior da tabela, na qual se
indicam a natureza do fato estudado, o local e a época em
que foi observado. Como exemplo, tem-se a parte
superior da tabela onde está indicado:
i) Fonte - É a informação colocada no rodapé da
tabela referindo-se à entidade que organizou ou forneceu
os dados expostos. No exemplo:
Fonte: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE ALGUNS PRODUTOS
- 1957/1958
j) Notas e Chamadas - São as informações, em
linguagem concisa, colocadas no rodapé da tabela. em
53
MATEMÁTICA
seguida à indicação da fonte, quando a matéria contida na
tabela exige esclarecimentos. A nota é usada para
conceituação ou esclarecimento geral e a chamada para
esclarecer certas minúcias em relação a casas, linhas e
colunas. Quando houver mais de uma nota, elas devem
ser numeradas em algarismos romanos e as chamadas em
algarismos arábicos, elevados e entre parênteses. Entre os
textos das notas, e também os textos das chamadas,
devem-se colocar ponto e traço com exceção da última
nota e da última chamada que são seguidos de ponto final.
2º - A soma dos desvios, contados em relação à média
aritmética simples, é igual a zero. di = zero
Obs.: desvios: di = (Xi - ) - dados não agrupados
di = fi (xi - ) - dados agrupados
Ex.: 1) Dados não agrupados
Notas do aluno “X”
abril/setembro de 1975
meses
Xi
abril
10
maio
8
junho
7
julho
4
agosto
6
setembro
7
42

Fonte: Dados hipotéticos
Normas do I.B.G.E. para representação tabular (Da publicação do I.B.G.E. Conselho Nacional de
Estatística 1959).
A XVII Assembléia Geral do Conselho Nacional de
Estatística baixou, a 21 de junho de 1957, a Resolução nº
707, dando consolidação, em caráter experimental, às
disposições normativas para a apresentação tabular da
estatística brasileira. A matéria, por força da mesma
Resolução, foi submetida à apreciação dos órgãos
técnicos interessados no assunto. Posteriormente, foi
elaborado um parecer sobre as sugestões apresentadas,
aprovado pela Junta Executiva Central e a seguir
encaminhado aos órgãos integrantes do sistema estatístico
brasileiro, para exame prévio. Finalmente, foi aprovada,
pela XVIII Assembléia Geral, a 10 de julho de 1958, a
Resolução nº 731, que deu vigência definitiva às citadas
normas, ora reproduzidas, com as alterações que lhes
foram introduzidas.
Xi -  = di
10 - 7 = 3
8-7=1
7-7=4 - 7 = -3
6 - 7 = -1
7-7=ZERO
Ex.: 2) Dados Grupados
Salários dos Empregados da Empresa ABC S.A.
UNIDADES
fi
MONETÁRIAS
Xi
2 |------ 6
30
4
6 |----- 10
35
8
10 |----- 14
40
12
14 |----- 18
60
16
18 |----- 22
120 20
22 |----- 26
190 24
26 |-----| 30
25
28
500 
Fonte: Dados hipotéticos
III - MEDIDAS DE POSIÇÃO (TENDÊNCIA
CENTRAL)
(Média, moda, mediana, quartis, decis e percentis)
7.1 Medidas de Tendência Central - (Promédios de
1ª ordem) - São aquelas medidas estatísticas que
sintetizam em si os valores das variáveis de um conjunto
observado.
fiXi
Xi - 
fi(Xi - )
120
280
480
960
2.400
4.560
700
9.500
4 - 19 = -15
8 - 19 = -11
12 - 19 = -7
16 - 19 = -3
20 - 10 = 1
24 - 19 = 5
28 - 19 = 9
-
-450
-385
-280
-180
120
950
225
zero
7.1.2 - Moda - A moda (também conhecida como
norma ou tipo dominante) é a informação que se verifica
com maior freqüência.
7.1.1 - Média Aritmética Simples - É uma medida
estatística que representa os valores das variáveis de um
conjunto observado. O seu valor se obtém da seguinte
maneira: soma-se os valores da variável e divide-se pelo
número de elementos considerado nesta soma. Símbolo: 
ou x
Embora a idéia de valor mais freqüente date de época
anterior, não se empregou em Estatística, senão a partir de
1894, quando K. Pearson generalizou seu conceito.
(a) A moda para dados não agrupados
Sem dificuldade nenhuma podemos identificar a
moda, que anotamos por -Mo-, em um conjunto de dados
não agrupados, bastando para isso verificar o valor que
aparece o maior número de vezes.
Dados não agrupados: (Cálculo Simplificado da
média)
 =  Xi = 42 = nota 7 (Ex 1)
N
6
Exemplo: seja X = {1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7}
Dados grupados:
Neste conjunto, o elemento 4, aparece 3 vezes,
enquanto os demais aparecem com menor freqüência,
portanto, ele, o elemento 4 é a moda do conjunto.
 =  fi Xi = 9.500 = 19 U.M. (Ex 2)
N
500
Propriedades da Média Aritmética Simples:
É fácil deduzir-se que um conjunto de informações,
pode possuir mais de uma moda ou mesmo não possuí-la.
No caso de que um conjunto possua apenas uma moda,
ele é dito unimodal: se possuir duas modas, será bimodal
e assim por diante, embora possa generalizar-se o termo
multimodal. Quando nenhum elemento de um conjunto,
1º - A média aritmética simples é um valor contido
entre o menor valor observado e o maior.
(min <  < máx)
54
MATEMÁTICA
aparecer com freqüência maior que os demais, não
existirá moda, e o conjunto será chamado de antimodal.
2.22-(11+16)
= 80 + 6,47 Km/H
Mo = 86,47 Km/h
Podemos interpretar o resultado de 86,47 Km/h, como
sendo a velocidade verificada em maior número de vezes
na experiência.
Exemplos:
(a) Se X = {1, 2, 3, 4, 5}, não existe moda; conjunto
antimodal;
(b) Se X = {1, 2, 2, 2, 3, 4, 5}, M o = 2, conjunto
unimodal;
(c) Se X = {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5}, existem 2 modas, M o = 2 e
Mo = 4, logo conjunto será conhecido como bimodal.
7.1.3 Mediana - A mediana, anotada por Me, pode ser
definida como aquele valor que supere até o máximo de
50% das informações e, simultaneamente seja superado,
no máximo, pelos outros 50%.
OBSERVAÇÃO: o conceito de moda deixa a desejar
quando o número de informações é pequeno, por tal
razão, os exemplos acima, devem ser encarados sob o
aspecto puramente didático.
Em outras palavras, a mediana é a medida
correspondente a posição central de um conjunto de
informações. Evidentemente, este conjunto deverá ser
ordenado (de forma crescente ou decrescente), a fim de
que se possa ler ou calcular o seu valor mediano.
(b) A moda para dados agrupados
Nas distribuições de freqüência, a moda não é
percebida tão facilmente como no caso dos dados não
agrupados. As relações mais usuais para o cálculo da
moda para dados agrupados, são atribuídas a Czuber e a
King. (estudaremos somente a 1ª).
Para expô-la, é necessário que se identifique os seguintes
elementos:
Mo = moda
li = limite inferior da classe modal
h = intervalo de classe
fi = freqüência absoluta máxima
fi - l = freqüência anterior à máxima.
fi + l = freqüência posterior à máxima.
Isto posto, poderemos calcular a moda, pela relação:
Mo = li + h
[
fi - fi - i
.
2fi - (fi - 1 + fi + 1)
(a) A mediana para dados não agrupados
(a1) Quando o número de dados for ímpar (N #2n), é
suficiente ordená-los e ler o valor central para se
identificar a mediana.
Exemplo: se X = {1, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} a mediana
será: Me = 6.
(a2) Quando o número de informações for par (N =
2n), a mediana será a medida correspondente a média
aritmética dos valores centrais.
Exemplo: se X = {1, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, a mediana será
a medida correspondente a média aritmética dos valores
centrais.
]
Exemplo: se X = {1, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, a mediana
será: Me = 5 + 6 = 5,5
2
Para exemplificar, vamos considerar a tabela abaixo
que registra a velocidade de 70 motocicletas:
Velocidade (Km/h)
50 |----- 60
60 |----- 70
70 |----- 80
80 |----- 90
90 |----- 100
100 |----- 110
110 |----- 120

17
(b) A mediana para dados agrupados
Em se tratando de dados agrupados (distribuições de
freqüências) a mediana será definida por:
Nº de motos (fi)
6
9
11
22
16
4
2
70
Me = li + h
Me = li + h
[ ]
[ ]
N - Fi-1
2
.
fi
Se N for par e;
N+1 - Fi-1
2
.
fi
Se N for ímpar, onde;
N = número de informações
h = intervalo de classe
fi = freqüência absoluta simples da classe que contém
a mediana
Fi-1 = freqüência absoluta acumulada da classe que é
imediatamente anterior à classe da mediana.
Olhando para a tabela acima verificamos, de imediato,
que a distribuição possui apenas uma moda, e que ela está
contida na 4ª classe, chamada classe modal. O ponto
médio da classe modal, no caso 85 Km/h, é conhecida
como moda bruta.
Para o cálculo da moda ajustada para esta distribuição,
pelas relações anteriormente expostas, temos:
Retomando nosso exemplo das velocidades das
motocicletas, temos:
li = 90; H = 10; fi = 22 fi+1 = 16, logo pela relação de
Czuber, temos:
Mo = 80 + 10
[
22 - 11
.
]
= 80 + 10
[ ]
Velocidades (Km/h)
50 |----- 60
11 .
55
fi
6
Fi
6
MATEMÁTICA
60 |----- 70
70 |----- 80
80 |----- 90
90 |----- 100
100 |----- 110
110 |-----| 120

9
11
22
16
4
2
70
5. Não depende de cada valor da série, a não ser em
casos cuja alteração de valor, o torne maior ou menor do
que o da mediana (quartil) já calculada.
6. Não se apresenta com valores aproximados em
várias amostras representativas de um fenômeno.
7. Em certos casos servem para cálculos posteriores.
8. Serve para análise comparativa.
15
26
48
64
68
70
-
(b) MODA: Mo
1. É medida de posição.
2. É de fácil compreensão.
3. Pode não existir em uma série ou apresentar-se mais
do que uma vez em outras.
4. Não é rigorosamente definida e exata.
5. Não é devidamente influenciada por todos os
valores de uma série.
6. Não serve para cálculos posteriores.
7. É uma das medidas de Tendência Central de maior
importância.
Como N = 70, aplica-se N/2=35. Como a informação
situada no 35º lugar está localizada na 4º classe, esta será
a classe da mediana. Para obtenção da mediana, verificase que:
Me = li + h
80 + 10
[
N - Fi-1
2
.
fi
]
= 80 + 10
[
35 - 26
22
=
]
9.
22
[ ]
2. Comparações entre a média aritmética: X,
mediana: Me a moda: Mo.
Me = 80 + 4,90 = 84,09 Km/h
Me = 84,09 Km/h
A comparação entre os valores destas três medidas
pode ser feita através da forma de apresentação dos
valores de uma série. A distribuição destes pode ser
simétrica ou assimétrica.
Diz-se, então, que 50% das motos desenvolveram
velocidades inferiores a 84,09 Km/h, e, conseqüentemente
50% delas desenvolvem velocidades superiores a 84,09
Km/h.
Observações sobre a média, a moda e a mediana:
1) Como a média pode ser influenciada por valores
extremos, nem sempre pode ela representar corretamente
um conjunto de informações. Quando isso ocorre, a
medida mais representativa do conjunto é a mediana.
É simétrica quando os valores dos termos de uma série
se distribuem igualmente em torno do valor central. Caso
contrário, a distribuição destas pode ser simétrica ou
assimétrica.
Uma série simétrica apresenta igualdade entre os
valores da média aritmética e da mediana, pode ser igual
ao valor da moda se o valor da freqüência central for
maior da série:
Para exemplificar, admitamos o conjunto: X = {0, 5,
5, 6, 7, 8} onde se observa que o limite inferior da
distribuição, está relativamente distante do elemento que
lhe é mais próximo. Neste conjunto  = 5,16 e Me = 5,5
e, é evidente que a medida 5,5, é mais representativa do
mesmo conjunto.
X = Me = Mo ou X = Me

Mo
Uma série assimétrica apresenta desigualdade entre os
valores de X, M e Mo, podendo existir alguns casos onde
há igualdade de valores das duas primeiras: X  M  Mo
2) Para distribuição de freqüência perfeitamente
simétricas, a relação:
ou X =   Mo.
Se os valores são concentrados acima do ponto
central, tem-se: X > Me > Mo
Se concentrados abaixo, então: X < Me < Mo
X - Mo = 3 (X - Me) satisfaz inteiramente, pois, nestes
casos, a média, a moda e mediana coincidem.
É válida, entretanto, a aplicação dessa relação como
verificação, e mesmo assim, somente quando as
distribuições possuírem uma leve assimetria.
3. Relação empírica entre a média, a mediana e a
moda:
Como já registramos, para as curvas de freqüência
unimodal moderadamente inclinadas (assimétricas) vigora
a relação empírica: X - Mo = 3 (X - Me)
Nas figuras 1 e 2, a seguir, aparecem as posições
relativas da média, da mediana e da moda para as curvas
de freqüência inclinadas para a direita e para a esquerda,
respectivamente. Para curvas simétricas, como já
assinalamos, a moda e a mediana são todas coincidentes.
OBSERVAÇÕES:
1. Além do já citado verifica-se a importância,
utilidade, vantagens e desvantagens de utilização entre a
mediana e a moda:
(a) MEDIANA: Me
1. É a medida separatriz
2. É uma medida definida e exata.
3. É de fácil compreensão.
4. Apresenta facilidade em seus cálculos.
Fig 1
56
Fig 2
MATEMÁTICA
Mo Me X
X Me Mo
7.1.4 - Quartis, Decis e Percentis
São valores que ocupam determinados lugares de uma
série.
Seus empregos são para análise, assim como a mediana,
sendo que esta divide a distribuição em duas partes iguais,
os quartis em 4, os decis em 10 e os percentis em 100
partes iguais. Pode-se então dizer, de modo geral, que são
valores de posição de uma distribuição e que servem para
o auxílio de comparação. Os processos de cálculo de seus
valores são idênticos aos da mediana.
(a) Cálculo para dados não agrupados:
QUARTIS
Q1 = n + 1
4
Q2 = 2(n + 1) = Me
4
DECIS
D1 = n + 1
10
PERCETIS
C1 = n + 1
100
D2 = 2(n + 1)
10
C2 = 2(n + 1)
100
D5 = 5(n + 1) = Me
10
C50 = 50(n+1) = Me
100
Exemplo: Calcular os quartis na seguinte série:
MERCADORIAS
NÚMERO DE
TIPOS
PEDIDOS
A
18
B
21
C
25
D
26
E
28
F
29
G
30
N=7
177
Q1 = n + 1 = 7 + 1 = 2
4
4
Q1 = 21
Q2 = 2(n + 1) = n + 1 = 7 + 1 = 4
4
2
2
Q2 = 26
Q3 = 3(n + 1) = 3(7 + 1) = 6
4
4
Q3 = 29
Exemplo: Calcular os quartis na seguinte série estatística:
PREÇO
UNITÁRIO
(REAIS)
18 |----- 20
20 |----- 22
22 |----- 24
24 |----- 26
26 |----- 28
28 |-----| 30

= Me
Observação: O primeiro quartis (Q1) abrange 25%
dos termos da série, o segundo quartil (Q2) 50% = M e o
terceiro quartil (Q3) 75%.
(b) Cálculo para dados agrupados
O processo a ser empregado é o mesmo que para o
cálculo da mediana, bastando apenas no cálculo das
posições (P) considerar os denominadores, 4, 10 e 100,
respectivamente, para os quartis, decis e percentis.
57
QUANTIDADE
fi
Fi
120
150
180
200
190
160
1.000
120
270
450
650
840
1.000
-
MATEMÁTICA
multiplicação e divisão afetam na mesma proporção
(operação) a média aritmética.
3ª) A soma dos desvios (afastamentos) dos valores
observados em relação à média aritmética é igual a zero.
Em símbolos: di = 0
Cálculo dos desvios:
(a) dados não agrupados:
di = Xi - = di = 0
Xi: valor da variável
(b) dados agrupados:
di = fi (xi - ) = di = 0
Xi: ponto médio de classe
A aplicação destas propriedades estão consagradas nos
testes comentados 31 a 33.
7.1.5 - Média Geométrica : Mg
A média geométrica de um conjunto de N números X1,
X2, X3 ..., XN é a raiz de ordem N (N-ésima) do produto
desses números.
Em símbolos: Mg = N
X1.X2.X3.... XN
Exemplos:
1) A média geométrica dos números 2,4 e 8 é:
Mg = 3
2.4.8
= Mg
3
64
= Mg = 4
2) A média geométrica dos números 3, 6, 7 e 9 é:
Mg = 4
3.6.7.8 = Mg
4
1008
= Mg = 5,63
7.1.6 - Média Harmônica: Mh
Média harmônica Mh de um conjunto de N números X1,
X2, X3, ..., XN é a recíproca da média aritmética dos
recíprocos dos números.
Mh = N .
(1)
X
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
1ª) Somando-se ou subtraindo-se uma constante "k" a
todos os valores de uma série estatística "x", a nova
média aritmética (y) ficará somada ou subtraída dessa
mesma constante.
Exemplo: A média harmônica dos números 2, 4 e 8 é:
Mh =
3
= Mh 3 = Mh = 3,43
1+1+1
7
2 4 8
8
(veja teste nº 38)
Em símbolos: Y = X + K => y = x + K
7.2 - Medidas de Dispersão
2ª) Multiplicando-se ou dividindo-se por uma constante
"k" todos os valores de uma série estatística "x", a nova
média aritmética (y) ficará multiplicada ou dividida por
essa constante.
Em símbolos: Y = X : K => y = x : K
São aquelas medidas estatísticas que medem o
afastamento dos valores observados em relação a uma
medida de tendência central (normalmente em relação a
média aritmética).
Observação: Estas duas propriedades da média
aritmética são, também, chamadas de propriedades
triviais, haja vista que as operações de soma, subtração,
7.2.1 - Variância absoluta: é a média da soma dos
quadrados dos desvios, contados em relação à média
58
MATEMÁTICA
aritmética. É um valor abstrato e o seu valor não é dado
em unidades de medida utilizada. Símbolo: 2
Fórmula :
Fórmulas:
Ex.: Dados não Agrupados
Dados não agrupados:
meses
abril
maio
junho
julho
agosto
setembro

(a) Processo longo: 2 =  (Xi - )2
N
(b) Processo abreviado: 2 =  Xi2 - 2
N
Dados agrupados:
2
Xi
10
8
7
4
6
7
42
(Xi - ) = di
10 - 7 =3
8-7=1
7-7=4 - 7 = -3
6 - 7 = -1
7-7=zero
(a) Processo longo: 2 =  fi(Xi - )2
fi
Cálculo da Média:
 =  Xi = 42
N
6
(b) Processo abreviado: 2 =  fi Xi2 - 2
N
Cálculo da Variância Absoluta:
Xi2
100
64
49
16
36
49
314
 = nota 7
2 =  (Xi - )2 - 2 20 = 3,33
N
6
7.2.2 - Desvio Padrão: É o valor positivo da raiz
quadrada da variância absoluta. É uma medida estatística
que representa, em média, os afastamentos, em valores
absolutos, dos elementos observados em relação a
respectiva média aritmética. É uma medida estatística que
é dada na unidade da medida utilizada: Símbolo: 
(Xi - )2 = d2 i
9
1
9
1
9
20
2 = 3,33
Cálculo do Desvio Padrão:
=
2
=> 
3,33
 = 1,82 notas
Ex.: Dados Grupados
Salários dos Empregados da Empresa ABC S.A.
junho/1975
U. MONETÁRIAS
2 |----- 6
6 |----- 10
10 |----- 14
14 |----- 18
18 |----- 22
22 |----- 26
26 |----- 30
fi
30
35
40
60
120
190
25
500
Fonte: Dados hipotéticos
xi
4
8
12
16
20
24
28
-
fri
120
280
480
960
2.400
4.560
700
9.500
(Xi - )
(Xi - )2 fi(Xi - )2
4 - 10 = 15
225
6.760
8 - 19 = -11
121
4.235
12 - 19 = -7
49
1.960
16 - 19 = -3
9
540
20 - 19 = 1
1
120
24 - 19 = 5
25
4.750
27 - 18 = 9
81
2.025
20.380
fixi2
480
2.240
5.760
15.360
48.000
109.440
19.600
200.980
Cálculo do Desvio Padrão:
Cálculo da Média:
 = fixi  = 9.500
N
500
 =
 = 19 U.M.
2
=
40,76
 = 6,38 U.M.
7.2.3 - Coeficiente da variabilidade de Pearson:
(a) Processo Longo: 2 = fi(Xi - )2 2 = 20.380
N
500
É o quociente entre o desvio padrão e a média aritmética.
Símbolo:  (Gama) em outras palavras, é o desvio padrão
dado em unidades da média aritmética. Expressa, em
valores relativos, o afastamento dos valores em torno da
respectiva média aritmética. É uma medida estatística que
serve para comparar a homogeneidade de séries que têm
diferentes unidades de medidas.
(b) Processo Abreviado: 2 = fixi2 - . 2 = 200.880 - 192
N
500
2 = 40,76
59
MATEMÁTICA
RENDAS CERTAS
60
MATEMÁTICA
61
MATEMÁTICA
62
MATEMÁTICA
63
MATEMÁTICA
64
MATEMÁTICA
65
MATEMÁTICA
66
MATEMÁTICA
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
MÉTODOS DE DEPRECIAÇÃO
PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMO E FINANCIAMENTOS
CÁLCULO FINANCEIRO: CUSTO REAL EFETIVO DE OPERAÇÕES DE
FINANCIAMENTO, EMPRÉSTIMO E INVESTIMENTO
67
MATEMÁTICA
68
MATEMÁTICA
69
MATEMÁTICA
Sistema Francês com prazo de carência e pagamento dos juros
70
MATEMÁTICA
71
MATEMÁTICA
TABELA PRICE
72
MATEMÁTICA
73
MATEMÁTICA
74
MATEMÁTICA
75
MATEMÁTICA
76
MATEMÁTICA
77
MATEMÁTICA
78
MATEMÁTICA
- Taxas de Retorno
79
MATEMÁTICA
80
MATEMÁTICA
- Taxas de Retorno
81
MATEMÁTICA
82
MATEMÁTICA
- Taxas de Retorno
83
MATEMÁTICA
- Taxas de Retorno
Prazo de estocagem
da mercadoria
84
MATEMÁTICA
85
MATEMÁTICA
TESTES DE MATEMÁTICA
1 - Certa fortuna foi dividida em partes iguais entre 2 irmãos. Atualmente, a parte do 1º
esta aumentada 2/7 e a do 2º diminuída de 3/5 do valor primitivo. Sabendo-se que o 1º tem
R$ 119,04 mais do que o 29, calcular a fortuna de cada um, atualmente:
a) R$ 49,20 e R$ 25,40
b) R$ 37,80 e R$ 92,40
c) R$ 35,20 e R$ 21,40
d) R$ 53,76 e R$ 172,80
e) R$ 17,00 e R$ 12,73
2 - Paulo e Antônio tem juntos R$ 123,00 Paulo gastou 2/5 e Antônio 3/7 do que
possuíam, ficando com quantias iguais. Quanto possuía cada um?
a) Paulo R$ 60,00 e Antônio R$ 63,00
b) Paulo R$ 23,00 e Antônio R$ 100,00
c) Paulo R$ 43,00 e Antônio R$ 80,00
d) Paulo R$ 32,00 e Antônio R$ 96,00
e) Paulo R$ 32,00 e Antônio R$ 81,00
3 - Certa quantia foi distribuída entre duas pessoas em partes proporcionais a 3 e 4; a
segunda recebeu R$ 2,00 a mais que a primeira. Qual a quantia distribuída? Qual a parte de
cada pessoa?
a) R$ 14,00 R$ 18,00 R$ 6,00
b) R$ 14,00 R$ 6,00 R$ 8,00
c) R$ 2,00 R$ 8,00 R$ 16,00
86
MATEMÁTICA
d) R$ 2,00 R$ 8,00 R$ 1,20
e) R$ 14,00 R$ 5,00 R$ 9,00
4 - Dividindo-se uma quantia em partes proporcionais a 6, 9, 12 e sabendo-se que o
quíntuplo da 1ª parte mais o quádruplo da 2ª e mais o triplo da 3ª parte vale R$ 306,00
determine as partes:
a) R$ 104,00 R$ 102,00 R$ 100,00
b) R$ 106,00 R$ 100,00 R$ 100,00
c) R$ 18,00 R$ 27,00 R$ 36,00
d) R$ 25,00 R$ 20,00 R$ 36,00
e) R$ 25,00 R$ 27,00 R$ 29,00
5 - Um capital C foi distribuído em partes diretamente proporcionais a 5, 4 e 7, sendo a
terceira parte igual a R$ 22,40. O valor de C, em R$, é:
a) R$12,80;
b) R$16,00;
c) R$22,40;
d) R$51,20;
d) R$73,60
6 - Qual a razão entre os números 1,2 e 2 1/5?
a) 6 /2
b) 2/6
c) 5/5
d) 6/11
e) 6/6
7 - Um ônibus, com a velocidade média de 60 km por hora, parte as 6 horas e chega ao
seu destino as 16 horas e 30 minutos do mesmo dia. Se sua velocidade média fosse 90 km
por hora, a que horas teria chegado ao mesmo destino?
a) 13 h
b) 19 h
c) 15 h
d) 16 h
e) 14 h
8 - O lucro de R$ 180,00 de uma empresa deve ser repartido proporcionalmente entre
seus três sócios. O capital com que entrou o 2º sócio é o dobro do capital do 1º e o 3º sócio
entrou com 3/4 do capital do 2º sócio. Nestas condições, o sócio que entrou com o menor
capital recebeu:
a) R$ 60,00
b) R$ 40,00
c) R$ 35,00
d) R$ 20,00
e) R$ 15,00
87
MATEMÁTICA
9 - Duas pessoas fundaram uma firma entrando com os capitais em partes iguais. o 1º
sócio trabalhou das 8h as 12h e o 2º sócio das 14h às 7h e 30min. No fim do mês, houve um
lucro de ...... R$ 225,00. Nestas condições:
a) O 1º sócio devera receber R$ 6,00 a mais que o 2º
b) O 1º sócio deverá receber R$ 12,00 a mais que o 2º
c) O 1º sócio devera receber R$ 15,00 a mais que o 2º
d) O 1º sócio deverá receber R$ 12,50 a mais que o 2º
e) os dois sócios deverão receber quantias iguais
10 - O valor de x na proporção:
x - 2 = 5 é um número
x-4
a) inteiro negativo
b) inteiro positivo
c) positivo menor que 1.
d) negativo é maior que -1.
e) nulo.
11 - Dois sócios, ao constituírem uma sociedade, entraram respectivamente com os
capitais de R$ 56,40 e R$ 43,501. Na divisão do lucro, o primeiro recebeu mais R$ 516.00
do que o segundo o lucro de cada sócio foi de:
a) R$ 2.147,00 e R$ 1.631,00
b) R$ 2.538,00 e R$ 2.022,00
c) R$ 2.236,00 e R$ 1.740,00
d) R$ 2.452,00 e R$ 1.936,00
e) R$ 2.604,00 e R$ 2.088,00
12 - Márcia comprou um automóvel por R$ 360,00. Revendeu-o com um lucro de 20%.
Quanto ganhou?
a) R$ 70,00
b) R$ 72,00
c) R$ 74,00
d) R$ 82,00
13 - Antônio vendeu sua maquina fotográfica com um prejuízo de 17%. Quanto perdeu se
a maquina foi comprada por R$ 11,00?
a) R$ 1,87
b) R$ 1,78
c) R$ 1,58
d) R$ 1,95
14 - Alcides faz um trabalho em 8 dias e Teodoro faz o mesmo trabalho em 4 dias.
Trabalhando juntos, em quantos dias farão esse serviço?
a) 2 2/3 dias
88
MATEMÁTICA
b) 3 dias
c) 2 3/2 dias
d) 5 dias
15 - Quanto é 18% de 400?
a) 82
b) 72
c) 76
d) 94
16 - 150% de 350:
a) 520
b) 530
c) 540
d) 525
17 - Um vendedor pretende ganhar 14% sobre um artigo, que lhe custou R$ 3.000,00. Por
quanto deve vende-lo?
a) R$ 4.320,00
b) R$ 3.420,00
c) R$ 3.240,00
d) R$ 4.600,00
18 - Um batalhão de 120 soldados perdeu 30 em combate nas ilhas Malvinas. Quantos %
perdeu?
a) 20%
b) 30%
c) 22%
d) 25%
19 - A mandioca da 5% de seu peso em álcool. Quantos kg de álcool podemos extrair de
350 kg de mandioca?
a) 17 kg
b) 18 kg
c) 17,5 kg
d) 18,5 kg
20 - 200 dólares, a R$ 15,70 por dólar, eqüivalem a:
a) R$ 3.140,00
b) R$ 1.570,00
c) R$ 314.000,00
d) R$ 414,00
89
MATEMÁTICA
21 - Calcular os juros de R$ 25,00 a 80% a.a., em um ano.
a) R$ 20,00
b) R$ 80,00
c) R$ 25,00
d)R$ 15,00
22 - Calcular os juros de R$ 6,00 a 24% a.a. em 2 anos e 4 meses.
a) R$ 3,36
b) R$ 3,34
c) R$ 3,63
d) R$ 4,76
23 - Recebi um financiamento de R$ 50,00 a 12% a.a., durante 4 meses e 20 dias.
Quanto pagarei de juros?
a) R$ 2,80
b) R$ 3,00
c) R$ 2,70
d) R$ 4,00
GABARITO
1. D
2. A
3. B
4. C
5. D
6. D
7. A
8. B
9. C
10. C
11. C
12. B
13. A
14. A
15. B
16. D
17. B
18. D
19. C
20. A
21. A
22. A
23. A
90