conjuntos apostila i - Instituto Montessori

REVISÃO SOBRE CONJUNTOS
CONJUNTO: É um conceito primitivo associado à idéia de coleção.
.
INDICAÇÃO: Os conjuntos serão, em geral, indicados por letras maiúsculas do alfabeto: A,B,C, ... ,
enquanto os elementos por letras minúsculas: a, b, c, d, ...
REPRESENTAÇÃO: Um conjunto pode ser representado por:
Enumeração:
N = { dó, ré, mi, fá, sol, la, si}
Propriedade característica: D = {d | d é dia da semana}
V
a e u
i o
Diagrama de Venn :
RELAÇÕES DE PERTINÊNCIA: É a relação que existe entre um elemento e seu conjunto.
Exemplos. Para o conjunto V = { a, e, i, o, u }, pode se escrever:
a  V lê-se a pertence a V
a  V lê-se a não pertence a V
RELAÇÕES DE INCLUSÃO: É a relação que só existe entre conjuntos.
Exemplos. Para os conjuntos: A = { a , b , c , d } ; B = {a , b } ; C = { e }, temos:
B  A lê-se B está contido em A  ( B é subconjunto de A )
A  B lê-se A contém B
C  B lê-se C não está contido em B
IGUALDADE DE CONJUNTOS : Dois conjuntos são iguais se, e somente se possuem os mesmos ele
Mentos.
A = B  (  x ) (x A
 xB)
Conjunto Universo ( U ) : é o conjunto ao qual pertencem todos os elementos que podem ser utilizados
num determinado estudo.
Convenções:
1
- n(A) = 8 lê-se, o número de elementos do conjunto A é oito;
- n( C ) = 1 lê-se o número de elementos do conjunto C é um ( C é classificado como conjunto unitário ).
- O conjunto desprovido de elementos é chamado de conjunto vazio e indicado por  ou { }. Repare
que n() =0.
Exercícios:
01. Escreva em notação simbólica:
a) a é elemento de A. ________
c) A contém B. ________
e) A não contém B. _______
b) A é subconjunto de B. _______
d) A não está contido em B. _______
f) a não é elemento de A _______
02. Escreva os elementos de cada um dos conjuntos:
a) conjunto dos números naturais entre 8 e 12 (inclusive);b) conjunto das vogais do alfabeto;
c) conjunto dos números pares entre 0 e 18 (exclusive);
d) conjunto dos números primos pares positivos;
e) conjunto das frações próprias positivas de denominador 7;
f) {x / x2 – 1 = 0};
g) {x / x é letra da palavra ARARA};
h) { x / x2 = 9 e x – 3 = – 6 };
j) { x / x é algarísmo de 2 134}.
03. Escreva os conjuntos abaixo usando o método das propriedades características:
a) { 1, 3, 5, 7, ... , 15};
b) { 1, 7};
c) o conjunto dos números pares entre 5 e 21;
d) o conjunto dos números reais entre –1 e 10, incluindo o –1.
04. Seja A o conjunto { 3, 5, 7, 9, 11, 12}, enumere cada um dos seguintes, conjuntos:
a) { x  A / x2  9} =
b) { x  A / x +9 = 16} =
c) { x  A / x é primo} =
d) { x  A / x2 –12x + 35 =0} =
e) { x  A / (x +1)  A } =
05. Se A = { a, e, i }, diga se as proposições abaixo são corretas ou não:
a) a  A (
)
b) a  A (
)
c) {a}  A (
)
d) {a}  A (
)
06. Construa todos os subconjuntos dos conjuntos:
a) { 0, 1, 2 } =
b) { 1, { 2,3}} =
c) { R, O, M, A} =
2
07. Dados os conjuntos A = { x / x é par positivo e menor que 7} e B = { 2, 4, 6 },
assinale V ( verdadeiro) ou F ( falso).
a) A  B (
)
b) B  A (
)
c) A = B (
)
07. Diga se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas:
a) { 1, 2, 3 } = { 3, 2, 1 } ( )
c) { 4 }  { { 4 } } ( )
e) { 2 , 3 }  { x / x2 – 5x + 6 = 0 } (
)
b) { 1, 2 , 1 , 2 }  {1, 2, 3 } ( )
d)   { 1, 2, 3 } ( )
f) { B, R, A, S, A}  { B, R, A, S} (
)
08. Classifique os conjuntos abaixo como finitos ou infinitos.
a) o conjunto dos números inteiros múltiplos de 5;
b) o conjunto das frações compreendidas entre 1 e 2;
c) o conjunto das raízes de x6 + x5 – x2 = 0;
x

2

x

e)  / x  N e x  N  .
y

d)  / x  N e x  5  ;
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.
Sejam os conjuntos: A = { 2, 3, 5, 7, 8 }
B = { 0, 1, 3, 5 } e C = { 9 }
UNIÃO: Denomina-se união de dois conjunto A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a
A ou a B.
A  B = {x | x  A ou x  B }
A  B = { 0, 1, 2, 3, 5, 7, 8 }
Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades:
A A = A
A  = A
(A  B)  C = A  ( B  C )
A B = B  A
A  B  A B = B
INTERSECÇÃO: Denomina-se intersecção de dois conjuntos A e B o conjunto formados pelos ele
mentos pertencentes a A e a B.
A  B = {x | x  A e x  B }
A  B = { 3, 5 }
3
Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades:
A  A = A
A   = 
A  B = B  A
(A B)  C = A  (B  C)
A  B  A  B = A
A C = 
Dois conjuntos diz-se disjuntos se a interseção entre eles é vazia, isto é.
DIFERENÇA: A – B = { x | x  A e x  B }
A – B = { 2, 7, 8 }
B – A = { 0 ,1}
Para quaisquer conjuntos A, B e C são válidas as propriedades:
A–A = 
A–  = A
–A =
B  A

B – A = 
COMPLEMENTAR: Quando dois conjuntos A e B são tais que B  A, Damos à diferença o
nome de complementar de B em A
B  A  CA B = A – B
lê-se complementar de B em A
Exemplo. Considere os conjuntos: A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 3 , 4 }
Como B  A  CA B = A – B = { 1, 2 }
Obs. Dado um conjunto P contido no universo U, chama-se complementar de P, simplesmente o U – P
cuja representação simbólica pode ser feita por P’ ou P .
Ou seja: P = CU P = {x / x  U e x  P}
Exemplos:
01.
P = { 3, 5, 10 }
se U = { 1, 3, 5, 9, 10 } e P = { 1, 9 }
P = { 1, 3 , 5, 7,... }
se U = N* e P = { 2, 4, 6, 8, ...}
P={0}
se U = N e P = N*
02. Dados os conjuntos: A = {1,4,5,6,8}, B = {2,6,8,13,17,20} e C = {5,7,8,6}, verifique que as
igualdades:
a) n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
4
b) n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n( A  C) – n(B  C) + n(A  B  C)
03.
Numa pesquisa sobre preferência de detergentes realizada numa população de 100 pessoas,
constatou-se que 62 consomem o produto A; 47 consomem o produto B e 10 pessoas não consomem nem
A e nem B. Que parte desta população consomem tanto o produto A quanto o produto B?
04 . Sejam A e B dois conjuntos tais que: n(A) = 12 ; n(B) = 10 ; n(A  B) = 15. Determine:
a) n(A  B) =
b) n(B – A) =
c) n(A – B) =
05. Num teste para verificar o aproveitamento de 100 estudantes do terceiro ano do Ensino Médio,
observou-se o seguinte resultado entre os que conseguiram nota satisfatória em uma só disciplina:
Matemática, 18; Física, 20; Química, 22. Em duas das disciplinas: Matemática e Química , 15; Química
e Física, 17; Matemática e física, 9. Nas das três disciplinas avaliadas, 6 alunos. Com estas informações:
a) faça o diagrama de Venn para a situação;
b) obtenha o número estudantes gostam de pelo menos duas disciplinas avaliadas;
07.Foi realizada uma pesquisa numa indústria X, tendo sido feitas a seus operários apenas duas perguntas.
Dos operários, 92 responderam sim à primeira pergunta, 80 responderam sim à segunda . 35 responderam
sim a ambas e 33 responderam não a ambas as perguntas feitas. Qual o número de operários da indústria?
08. Em uma pesquisa realizada, foram encontrados os seguintes resultados: 60% das pessoas
entrevistadas fumam a marca A de cigarros; 50% fumam a marca B; 45% fuma a marca C; 20% fumam A
e B; 30% fumam A e C; 25% fumam B e C; 8% fumam A,B e C. Que porcentagem das pessoas fumam
exatamente duas marcas.
5
09. Sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }; A = { 1, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 8} e C = { 1, 2, 3, 5},
Calcule:
a) A  C =
b) B  C =
c) A  B =
d) A  C =
e) A – C =
f) C – A =
g) A – B =
h) B – A =
i) A =
j) C =
k) A  B =
l) A  C =
m) A  B =
n) A  C =
o) ( A – B )  C =
p) ( A – C )  ( B – C ) =
CONJUNTOS DAS PARTES
Seja o conjunto A = { 1, 2 }. Os subconjuntos de A, são: {1} ; {2} ; {1, 2} ; .
O conjunto das partes de A que se indica por P(A) é o conjunto cujos elementos são subconjuntos de A,
i é:
P(A) = { {1} ; {2} ; {1, 2} ;  }  P(A) = {x  A/ x  A}
Observações:
( 1 ) O número de elementos de um conjunto das partes é dado por 2n, onde n é o número de elementos
do conjunto A. Assim se A = {1, 2} tem-se que n [ P(A) ] = 22 = 4
( 2 ) Se A = {2}, então P(A) = { {2}, { } }
( 3 ) Se A =  , P(A) = {  }, que não é vazio.
6
CONJUNTO NUMÉRICOS - ( REVISÃO)
NúMEROS NATURAIS
N = { 0,1,2,3,4,5,6,7,...} ; N* = {1,2,3,4,5,6,7, ...}
N* N
 N*  N = N*
NÚMEROS INTEIROS RETIVOS
Z = { 0, 1,  2,  3,  4, ...} ONDE Z= = {... - 4,-3, -2, -1, 0} e Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
NÚMEROS RACIONAIS
Q = { x/x = a/b ; aZ e bZ*} isto é são todos os números que podem ser escritos em forma
de fração. As dízimas periódicas são exemplos.
RECORDANDO AS DÍZIMAS PERIÓDICAS.
Quando se deseja aumentar a precisão de um resultado, faz-se necessário muitas
vezes trabalharmos com frações. Nestas circunstância saber obter a geratriz de uma dízima
periódica é importante. Assim, vamos reviver um pouquinho a nossa 5ª série do primeiro grau.
As geratrizes se determinam segundo as regras seguintes:
I)
A fração geratriz, de uma dízima periódica simples, é uma fração que tem como
numerador o período e como denominador tantos noves quantos algarismos tiver
esse período.
Ex: a) 0,333... =
II)
b) 0,363636... =
c) 2,555... =
A geratriz de uma dízima periódica composta, é uma fração, onde o numerador é
formado pela parte não periódica, seguida do período, menos a parte não periódica.
O denominador possui tantos noves quanto são os algarismos do período, seguidos
de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
Ex: a) 2,4222... =
OBTER A GERATRIZ DAS DÍZIMAS;
b) 5, 32121... =
( é bom lembrar que 0,9999 = 1)
a) 0,525252... =
7
b) 0,324444... =
c) 4,45555...
=
d) 5,66666.... =
e) 53,48333... =
NÚMEROS IRRACIONAIS ( I )
Categoria de números que não podem ser representados em forma de fração.
Exemplos:
2 = 1,41421356... ;
 = 3,1415926535... ;
e = 2,718281829...
NÚMEROS REAIS
É o conjunto que reúne os números racionais Q e os irracionais I cuja representação é
dada por:
R = { x | xQ ou x  I } ,
INTERVALOS: São subconjuntos especiais dos números reais.
Sendo a e b números reais
e
a < b, temos:
INTERVALO FECHADO:
[ a , b ] = { x  R / a  x  b } ou
INTERVALO ABERTO:
] a , b [ = { x  R / a < x < b } ou
INTERVALO FECHADO À ESQUERDA:
[ a , b [ = { x  R / a  x < b } ou
INTERVALO FECHADO À DIREITA:
] a , b ] = { x  R / a < x  b } ou
INTERVALOS INFINITOS:
[a,+[ = {xR/ x  a}
ou
]a,+[ = {xR/x > a}
ou
]- , a ] = { x  R / x  a }
ou
8
]- , a [ = { x  R / x < a }
ou
Usando a reta dos números reais, represente as operações indicadas.
i) Se A = [-1 , 3 [
e B = [ 1 / 2 ,  [ , e U = R ( conjunto dos números reais), obtenha:
a) A  B =
c) [-1 , 2 ]  [ 0 , 5 ] =
b) A  B =
d) [-2 , 3]  ] 1 , 4 ] =
e) A  CA R = R – A = ] –  , – 1 ]  [ 3, +  ] ( não representa intervalo )
9