análise global de estruturas de edifícios

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ANÁLISE GLOBAL DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS
José Gonçalo Freitas da Silva Oliveira
Maria Isabel Oliveira Saleiro Ferreira
INTRODUÇÃO
Com base no comportamento global das estruturas dos edifícios, e por aplicação de modelos matemáticos e
físicos, apresenta-se um estudo do modo de funcionamento de diferentes sistemas de contraventamento de
um edifício alto. Um “edifício alto” não pode ser definido em termos específicos relacionados com a altura total
ou com o número de pisos. É uma noção relativa, que tem em conta a zona onde se localiza o edifício e toda
a construção envolvente.
Do ponto de vista do dimensionamento estrutural admite-se, de forma simplificada, que um edifício pode ser
considerado alto quando a influência das cargas horizontais (devidas ao vento e sismos) assume uma
importância considerável. De facto, com o aumento da altura, torna-se crucial atender à influência das acções
horizontais na concepção do sistema estrutural. O sistema estrutural a escolher deve ser suficientemente
resistente, capaz de suportar todas as acções impostas ao edifício, deve garantir um controlo estrito das
deformações e simultaneamente, manter uma componente económica.
Se bem que as acções horizontais sejam claramente de natureza dinâmica, é usual substituí-las por cargas
estáticas equivalentes. A quantificação estática da acção do vento é feita através da aplicação de
regulamentos oficiais, mais ou menos concordantes entre os diferentes países. Em Portugal, o regulamento
actualmente em vigor para a quantificação destas acções é o Regulamento de Segurança e Acções para
Estruturas de Edifícios e Pontes (RSA).
Em casos especiais de edifícios que diferem das formas convencionais, é necessário um estudo mais
completo que pode ser feito recorrendo, por exemplo, aos ensaios em túnel de vento, para obter uma
descrição mais exacta destas acções.
Relativamente ao sistema estrutural, os elementos principais de um edifício são os elementos de suporte das
cargas verticais e horizontais. As cargas verticais são transmitidas pelas lajes dos pisos aos elementos de
suporte verticais, nomeadamente os pilares, pórticos e paredes plenas (shear walls). As cargas horizontais
são transmitidas pelas lajes dos pisos a esses mesmos elementos de suporte que as transmitem para a
fundação. Estes elementos estruturais são os chamados elementos de contraventamento do edifício, cuja
principal função é a de fornecer adequada rigidez lateral ao mesmo. O conjunto dos elementos é referido
como o sistema de contraventamento do edifício (fig. 1).
fig. 1 – sistema de contraventamento de um edifício
De entre estes elementos, os pórticos são os principais responsáveis pela transmissão das cargas verticais à
fundação; os núcleos fornecem rigidez (lateral e torsional) adequada ao edifício e as shear walls
desempenham ambas as funções anteriores. Os pórticos são elementos mais flexíveis pelo que são muitas
vezes desprezados na análise global do edifício, quando se torna importante a rigidez global do mesmo. As
shear walls são paredes de betão armado dimensionadas para trabalharem desde o solo até ao topo em
forma de consola (fig. 2). Podem dispor-se múltiplas shear walls num edifício, isoladas ou acopladas entre si.
As caixas de escadas e de elevadores são também exemplos deste sistema estrutural. A localização e
disposição destas paredes deve ser estudada criteriosamente, de modo a obter-se uma estrutura mais
adequada (menores deslocamentos, menores rotações, menores esforços) não esquecendo a componente
económica.
Outros sistemas utilizados são as estruturas metálicas em treliça, que apresentam um comportamento
semelhante ao das shear walls. Existem também os sistemas em tubo (fig. 3), que são aqueles em que as
paredes exteriores do edifício constituem uma espécie de prisma resistente em que os únicos espaços
abertos são para alojamento das janelas. Para edifícios com mais de 50 pisos este tubo é reforçado pela
introdução de um núcleo central – sistema tubo em tubo (fig. 4).
fig. 2 – Shear wall
fig. 3 – Sistema em tubo
fig. 4 – Sistema tubo em tubo
No âmbito da análise global de estruturas de edifícios, será efectuado um estudo apoiado na análise de um
caso prático (fictício) com as seguintes características gerais:






Edifício de trinta pisos;
Pé-direito de 3.0 m;
Planta rectangular de 30 x 50m;
Solicitação: acção horizontal (vento) actuando perpendicularmente à fachada de maior dimensão;
Betão utilizado nos elementos de contraventamento: C25/30;
Características mecânicas do betão:
Módulo de elasticidade: Ec = 30,5 GPa
Coeficiente de Poisson: 
QUANTIFICAÇÃO DA ACÇAO DO VENTO
Antes de passar à análise do comportamento em termos de deslocamentos e esforços instalados na estrutura
do edifício, torna-se necessário quantificar as acções actuantes sobre a mesma. Irá ser analisado um edifício
alto solicitado pela acção do vento, cujo tipo de carga introduzida será avaliado de acordo com o regulamento
actualmente em vigor em Portugal – RSA. De forma a considerar uma situação mais desfavorável em termos
de exposição ao vento, o edifício será localizado na zona B. A rugosidade aerodinâmica do solo será
considerada do tipo I. A partir da distribuição da velocidade do vento com a altura (fig.5) é obtida a distribuição
final da acção horizontal (pressões aplicadas) a considerar (fig.6). Uma vez que o método a utilizar neste
estudo se baseia numa distribuição trapezoidal das cargas aplicadas, será necessário fazer uma aproximação
para transformar o perfil de carga do vento num perfil trapezoidal. Esta aproximação foi obtida igualando a
área definida pelo diagrama exacto e a área de um trapézio. O diagrama de cargas resultante apresenta-se
Vento
na fig.7.
(velocidades)
100
qt = 91,73 kN/m
q1 = 51,73 kN/m
90
80
Altura (m)
70
60
50
resultante = 5928 kN
40
30
20
10
0
25
30
35
40
45
50
55
Velocidade (m/s)
qo = 40 kN/m
fig. 5 –Velocidades do vento
fig. 6 – Pressões aplicadas
fig. 7 – Diagrama de cargas
COLUNA EQUIVALENTE
A análise tridimensional do comportamento da estrutura baseia-se na análise de uma coluna equivalente. Esta
coluna equivalente é obtida pela combinação dos elementos do sistema de contraventamento do edifício de
modo a formar uma única consola. A sua rigidez de flexão e de torção deve ser representativa de todo o
edifício.
Dado que a coluna equivalente se situa coincidente com a posição do centro de rigidez dos elementos de
contraventamento, o primeiro passo é localizar esse mesmo centro de rigidez global (ponto O na fig. 1). A
posição do centro de rigidez é determinada recorrendo às características básicas de geometria e rigidez dos
diferentes elementos. Assim, as coordenadas do centro de rigidez vêm dadas por:

I xy .


xo 

I x .

yo  
n

n
I y ,i . y i 

1
1
n

n
I y ,i . y i 

1
1


I xy ,i .xi   I y .




I x I y  I xy 2


I xy ,i .xi   I xy .




I x I y  I xy 2
n

1
 I , .x 
x i
i
1
n


n
I xy ,i . y i 

n
I xy ,i . y i 
1
 I , .x 
x i
1
(1)
i
(2)
Nestas fórmulas, Ix,i, Iy,i e Ixy,i representam os momentos de inércia e o produto de inércia do i-nésimo
elemento do sistema de contraventamento em relação ao seu sistema local de eixos. Estas fórmulas podem
ser simplificadas caso o produto de inércia, dos diferentes elementos de contraventamento de um edifício,
seja nulo.
Na definição da coluna equivalente surgem ainda duas características importantes relacionadas com a torção:
a constante de torção de Saint-Venant e a constante de empenamento. A constante de torção de SaintVenant é obtida pela soma das constantes de torção de Saint-Venant dos diferentes elementos do sistema,
sendo que estas são dadas por:
Ji 
1
3
t
3
i ,k hi ,k
(3)
k
A constante de empenamento é dada por uma soma pesada calculada no sistema de coordenadas com
origem no centro de rigidez, e assume a seguinte forma:
n
Iw 
 (I
w ,i  I x ,i xi
2
 I y ,i yi 2  2 I xy ,i xi yi )
(4)
1
Quando sujeita à acção de cargas exteriores, a coluna equivalente desenvolve três tipos de deformação:
flexão nas duas direcções principais e torção. A natureza do comportamento e o grau de combinação entre os
diferentes tipos de deformação depende da posição relativa do centro de rigidez do sistema de
contraventamento e do ponto de aplicação da carga.
Carga na coluna equivalente
Para proceder à análise é necessário avaliar a carga a que a coluna equivalente está sujeita. O edifício está
submetido à acção de uma carga horizontal de distribuição trapezoidal de intensidade:
q ( z )  q 0  q1
z
z 

 q 0 1   
H
H

(5)
em que q0 é a intensidade da parte uniforme da carga, (qo+q1) é a intensidade da carga no topo do edifício e H
é a altura total do edifício (fig. 7).
Torna-se também necessário definir o coeficiente :
q
 1
q0
(6)
A resultante da carga horizontal, na maioria das vezes, não coincide com o centro de rigidez do sistema de
contraventamento do edifício. No presente caso, ao substituir este sistema pela coluna equivalente, a carga
deve ser transferida para o eixo de coordenadas centrado em O, onde é decomposta numa componente de
carga (qy), paralela ao eixo y, e num momento de torção (m z):
z
z 

 q0 y 1   
H
H

q y ( z )  q0 y  q1 y
(7)
z 

m z ( z )  m z 0 1   
H


mzo ( z)  q0 y xc
sendo:
xc 
(8)
L
 x0 ,
2
yc 
o momento de torção da parte uniforme da carga e,
B
 y0
2
(9)
as coordenadas do centro de gravidade da planta do edifício, considerando o sistema de eixos com origem no
centro de rigidez. Considera-se que a componente de carga qy é positiva quando actua na direcção y e m z é
positivo no sentido dos ponteiros do relógio.
Deformações da coluna equivalente
Quando submetida a cargas horizontais, a coluna equivalente desenvolve deslocamentos laterais e rotação
que podem ser determinados recorrendo ao uso de equações diferenciais adequadas [ Vlasov, 1940 ] e
respectivas condições fronteira. Assim, os deslocamentos horizontais nas direcções x e y são obtidos pelas
seguintes equações:
q
(10)
u( z)  x Z1  Z 2 
E
v( z ) 
qy
E
Z1  Z 2 
(11)
em que,
Z1 
qx 
z 4 Hz 3 H 2 z 2


24
6
4
I x q0 x  I xy q0 y
I x I y  I xy
2
e Z2 
e
qy 
z 5 Hz 3 H 2 z 2


120 12
6
I y q0 y  I xy q0 x
I x I y  I xy 2
são funções auxiliares e,
são funções de carga auxiliares.
(12)
A rotação da coluna equivalente é igualmente obtida através de uma equação diferencial adequada [ Vlasov,
1940 ] e das suas condições fronteira. Será dada por:
 ( z) 

  
kz 
kz


(1   ) cosh  1  (1   2 )k . sinh(k  )  sinh k  
H
2
H
k GJ cosh k 
k




mz0 H 2
2

zk 2
H2

z
H H
z 2 

cosh k  H    (  2 
) 


2
2 k
6 H 


(13)
A análise desta expressão permite evidenciar o facto de não existir rotação do edifício no caso em
que a carga horizontal passa pelo centro de rigidez; esta situação corresponde a m z=0. A rotação será
máxima no topo do edifício, isto é, para z=H.
O parâmetro k é um parâmetro de torção que define qual o tipo de torção dominante. Para valores de k
crescentes temos um domínio crescente da rigidez de torção de Saint-Venant sobre a rigidez de
empenamento. O valor de k é obtido da seguinte expressão:
kH
GJ
EI w
(14)
A rotação não poderá ser calculada recorrendo à fórmula apresentada quando a coluna equivalente não
apresentar rigidez de empenamento ( Iw=0 ). Esta situação pode ocorrer nos casos em que o sistema de
contraventamento seja constituído por um único elemento que apresente rigidez de empenamento nula.
Nestes casos a equação diferencial teria de ser resolvida novamente, considerando I w =0 de modo a obter
uma nova expressão para a determinação da rotação da coluna equivalente.
Deformações do edifício
Quando se pretende obter as deformações do edifício, apenas as rotações podem ser usadas directamente.
Relativamente aos deslocamentos, as fórmulas anteriormente indicadas forneciam os deslocamentos da
coluna equivalente, isto é, os deslocamentos do centro de rigidez do edifício. Caso o edifício desenvolva
rotação, é necessário tomar em consideração os deslocamentos adicionais provenientes da rotação em torno
do centro de rigidez. Os deslocamentos horizontais dos cantos do edifício são de crucial importância, uma vez
que é num deles que se desenvolve o deslocamento máximo. Uma vez conhecidas as posições do centro de
rigidez e do ponto de aplicação da carga torna-se evidente, na maioria das vezes, qual será o canto do
edifício onde se desenvolverá o maior deslocamento:
xA tg 
O´


A´
A
O
5928 kN
xA
fig. 8 – Deslocamento total do edifício
vedifício  v A  v  x A tan 
(deslocamentos em yy)
ou uedifício  uB  u  yB tan 
(15)
(deslocamentos em xx)
Nos edifícios altos os deslocamentos máximos estão limitados, de modo a assegurar não só o conforto dos
ocupantes mas também para evitar danos nos elementos (estruturais e não estruturais) e nos sistemas
mecânicos. De acordo com as recomendações do “Committee on Wind Bracing of the American Society of
Civil Engineers” um sistema de contraventamento é considerado adequado se satisfizer as seguintes
condições:
máx  H / 500 e máx  H / 500
em que, H é a altura total do edifício, máx e máx são os deslocamentos máximos do edifício nas direcções xx
e yy, respectivamente.
DISTRIBUIÇÃO DE CARGA PELOS ELEMENTOS DE CONTRAVENTAMENTO
Os elementos de contraventamento só podem cumprir a sua função de fornecer rigidez lateral e de torção ao
edifício de forma adequada se conseguirem transmitir eficientemente as cargas horizontais exteriores, à
fundação. Estas cargas são transmitidas aos elementos de contraventamento pelas lajes dos pisos (que se
admitem rígidas) sob a forma de esforços de corte, momentos flectores e momentos de torção.
Esforços de corte
Utilizando os deslocamentos dos elementos de contraventamento, recorrendo a equações diferenciais
adequadas e fazendo alguns reajustamentos, a intensidade da carga horizontal no i-nésimo elemento será
dada por:
z  m

qx ,i  ( I y ,i q x  I xy ,i q y )1     z 0 ( I y ,i yi  I xy ,i xi ).q
(16)
H

 Iw
z  m

q y ,i  ( I x ,i q y  I xy ,i q x )1     z 0 ( I x ,i xi  I xy ,i yi ).q
H  Iw

em que
q 
  
1 
kz
kz
 cosh (1   )  k sinh(k  )(1   2 ) 
cosh k 
H
H
2 k 
(17)
é um factor de carga.
Os esforços de corte nos elementos de contraventamento obtêm-se da integração das fórmulas (16) e (17) e
tomando em consideração as condições fronteira adequadas. Deste modo vem:

I y ,i yi  I xy ,i xi
z 2 H 
Tx ,i   H  z   (
 ) .( I y ,i q x  I xy ,i q y ) 
mz 0 HT


2H 2 
Iw

(18)

I x ,i xi  I xy ,i yi
z 2 H 
Ty ,i   H  z   (
 ) .( I x ,i q y  I xy ,i q x ) 
mz 0 HT


2
H
2
Iw


(19)


  
1
kz
kz

(1   2 ) cosh(k  )  1k  (1   )(sinh  sinh k )
k cosh k 
2 k 
H
H


representa o efeito da rotação em torno do centro de rigidez.
sendo
T 
um factor de corte que
Os esforços de corte máximos obtêm-se na base dos elementos de contraventamento, isto é, para z=0. É
importante notar que os valores dos esforços de corte variam drasticamente em altura com o valor do
parâmetro k.
Momentos flectores
Os momentos de flexão nos elementos de contraventamento são obtidos da integração dos esforços de corte
(18) e (19) e tomando em consideração as condições fronteira necessárias. Assim, estes esforços serão
dados por:
 ( z  H )2
I y ,i yi  I xy ,i xi mz 0 H 2
z 3 zH H 2 
M x ,i  
 (


) ( I y ,i q x  I xy ,i q y ) 
M

2
6H
2
3 
Iw
2

(20)
 ( z  H )2
I x ,i xi  I xy ,i yi mz 0 H 2
z3
zH H 2 
M y ,i  
 (


) ( I x ,i q y  I xy ,i q x ) 
M

2
6H
2
3 
Iw
2

(21)
kz kz
  
kz kz

 
 k k 
(1   )(cosh  sinh k  cosh k  k sinh k )  (1   2 ) sinh(k  ) 
H H
2 k 
H
H
k cosh k 
 
um factor de flexão que representa o efeito da rotação em torno do centro de rigidez.
sendo  M 
2
2
Refira-se que os momentos flectores assumem o seu valor máximo na base dos elementos de
contraventamento; desta forma, basta substituir z=0 nas expressões anteriores para obter os máximos
pretendidos.
Momentos torsores
Exceptuando os casos em que a aplicação da carga horizontal exterior coincide com o centro de rigidez do
sistema de contraventamento, a coluna equivalente e o edifício que ela representa desenvolvem rotação. As
lajes dos pisos induzem essa rotação nos elementos de contraventamento e consequentemente estes
desenvolvem momentos de torção.
A resistência à torção do sistema de contraventamento do edifício é proveniente de duas fontes: a rigidez de
torção de Saint-Venant e a rigidez de empenamento. Consequentemente, os momentos torsores
desenvolvem-se, em cada um dos elementos do sistema, de acordo com a sua rigidez de torção. As parcelas
do momento torsor devido à rigidez de Saint-Venant e à rigidez de empenamento serão dadas
respectivamente por:

 H z2
 
1   H
H 
kz 

M t  m z 0 H  z    
 2   sinh  (1   2 ) sinh k 




H
2 k
k  cosh k

 2 2H k 

kz 
   
 1   2  H cosh 
H
 2 k 
 H
 
1   H
kz 
kz 
   
M w  m z 0  2  sinh  (1   2 ) sinh k 
 1   2  H cosh 

H
2 k
k  cosh k 
2 k 
H
k
(22)
(23)
O momento torsor devido à rigidez de empenamento assume sempre o valor máximo na base do edifício
(z=0). O momento torsor devido à rigidez de torção de Saint-Venant assume o valor zero na base do edifício,
sendo que a localização do seu máximo depende dos valores de k e .
CASO PRÁTICO ANALISADO
Escolha e posicionamento dos elementos de contraventamento
Uma vez que não existiam imposições arquitectónicas e funcionais, por se tratar de um caso fictício, foi
necessária a criação de determinadas condições que fornecem ao caso um carácter mais académico. Deste
modo, foram levadas a cabo um conjunto de análises auxiliares, para determinar qual a direcção mais
favorável para a direcção dos elementos de contraventamento e ainda o benefício da consideração de
elementos constituídos por várias paredes (caixa de escadas e elevadores) como estruturas monolíticas.
Foram consideradas à partida duas caixas de escadas e elevadores cuja existência é necessária para se
cumprir o “Regulamento de Segurança Contra Incêndio” (ARTº 59º, Cap.III, Parte IV). Na maioria dos casos
práticos o centróide do edifício (onde a carga é aplicada) e o centro de rigidez não coincidem e
consequentemente o edifício desenvolve rotação. Esta rotação resulta numa translação adicional do edifício
sendo uma situação mais desfavorável a considerar pelo que, no estudo efectuado se considerou inicialmente
uma distribuição dos elementos assimétrica em planta tal como se representa na fig.9.
x
1
O
2
x
C
y
y
5928 kN
fig. 9 – distribuição inicial
Análise de deslocamentos e rotações do edifício
O que se pretendia nesta fase do estudo era a obtenção de um sistema de contraventamento eficaz e que
fornecesse a resistência necessária ao edifício, em termos de deslocamentos horizontais e rotações. Para o
efeito foram desenvolvidas diversas análises, acrescentando à distribuição inicial outras paredes (shear walls)
e experimentando diferentes arranjos espaciais. Estas análises demonstraram claramente a importância do
arranjo espacial do sistema de contraventamento, podendo pequenas alterações na disposição dos elementos
induzir alterações significativas no comportamento estrutural do edifício. A distribuição final que permitiu obter
um deslocamento total do edifício, inferior ao recomendado apresenta-se na fig.10.
x
x
1
O
2
C
4
y
3
y
5928 kN
fig. 10 – distribuição final
Das análises efectuadas, conclui-se que para a obtenção do tal sistema de contraventamento eficaz se deve
tentar proporcionar ao mesmo, adequada rigidez à flexão em ambas a direcções. Para conseguir alcançar
este objectivo os momentos de inércia dos elementos devem ser proporcionais à carga na direcção em
questão. A eficiência do sistema pode ser aumentada, maximizando a sua rigidez à torção, isto é, reduzindo o
efeito da rotação do edifício em torno do centro de rigidez. Este efeito pode ser conseguido aumentando o
valor da constante de empenamento (Iw) do sistema. É muito importante reduzir o efeito de torção provocado
pela carga externa. O momento de torção em torno do centro de rigidez tem um efeito negativo significativo na
performance do sistema de contraventamento. Este efeito pode ser drasticamente reduzido pelo
encurtamento da distância entre o centro de rigidez e o centróide do edifício.
Análise de esforços instalados em cada um dos elementos
Efectuou-se a distribuição de carga pelos elementos de contraventamento da disposição final obtida. Para tal,
fez-se uso das expressões (16) e (17). Após concluída a distribuição, procedeu-se à obtenção dos esforços
de corte e momentos flectores em cada elemento, através das expressões (18) a (21). As parcelas do
momento torsor devido à rigidez de Saint-Venant e à rigidez de empenamento foram igualmente calculadas
com recurso às expressões (22) e (23), respectivamente.
Quadro I - diagramas afectos a cada elemento
Elemento 1
qy
kN/m
Elemento 2
-19.74
-18.09
-8.64
-7.87
Elemento 3
Elemento 4
-6.45
-2.79
-47.06
-20.53
Ty
kN/m
My
kN.m/m
-1276.54
+64936
-1168.25
+59472
Mt (z=90) = -38.26 kN.m/m
Mw (z=0) = -2370.96 kN.m/m
-416.20
+21199.6
-3065.99
+156015
Considerações suplementares
No caso prático estudado, considerou-se o sistema de contraventamento constituído por paredes plenas de
fundação rígida, no entanto, a flexibilidade da fundação pode ter um efeito importante no comportamento do
sistema de contraventamento do edifício. A aplicação do método por ser estendida a outros tipos de
elementos e condições de apoio. Assim, quando se incluem pórticos entre os elementos do sistema, a
determinação da rigidez destes requer considerações especiais. Após determinar a rigidez lateral dos
pórticos, estes podem ser substituídos por paredes plenas fictícias com a mesma rigidez. Todas as fórmulas
utilizadas tomavam em consideração apenas os efeitos das cargas laterais aplicadas. No entanto, as
estruturas dos edifícios estão sempre sujeitas a cargas verticais que desenvolvem compressão nos elementos
estruturais, nomeadamente nos elementos de contraventamento. Devido aos efeitos simultâneos das cargas
horizontais e verticais as deformações aumentam. Este efeito pode ser tomando em conta pela consideração
de um factor de majoração das deformações calculadas considerando apenas as cargas horizontais.
ANÁLISE DE SHEAR WALLS
Frequentemente, as paredes utilizadas para o estudo efectuado, não se concretizam sob a forma de paredes
plenas já que apresentam descontinuidades em consequência de aberturas que surgem para a colocação de
janelas, portas, condutas. Deste modo torna-se necessário ter em conta os erros introduzidos pela
consideração deste tipo de paredes como sendo plenas. Estes erros serão tanto maiores, quanto maiores
forem as dimensões das aberturas. Assim, quando se proceder a uma análise de distribuição de cargas pelos
diferentes elementos do sistema de contraventamento, será prudente a introdução de uma parede equivalente
com características tais, que façam com que o seu comportamento seja análogo ao da parede real.
Pretende-se, nesta parte do nosso estudo, analisar em termos de esforços e deslocamentos, um pórtico plano
de um só tramo, de elevado número de andares, submetido quer a uma solicitação unitária constante em
altura, quer a uma solicitação unitária pontual. Para a determinação dos referidos esforços e deslocamentos
iremos utilizar o “Método de cálculo expedito de pórticos planos de elevado número de andares” desenvolvido
pelo Prof. José Mota Freitas. Concluída esta análise, proceder-se-à, com base nos resultados obtidos, à
determinação da parede plena equivalente.
E' - A' - I'
(Pilar 2)
2c
A1
2b1
H = n.h
E - A1 - I1
z
(Pilar 1)
E = E’ = 30.5 GPa
2b1 = 2b2 = 4 m
2a = 4 m
2c = 8 m
h =3m
H = 30 x 3 = 90 m
e1 = e2 = 0.3 m
p1 = 1 kN/m (carga distribuída)
p2 = 1 kN (carga pontual aplicada ao nível do último piso)
Secções transversais das vigas: 0.3 x 0.5 m 2
E - A2 - I2
O caso considerado é o de um pórtico simétrico de 30 andares com as seguintes características:
2a
A2
2b2
fig. 11 – pórtico-tipo
Carga distribuída
Por aplicação do método acima referido obtiveram-se os esforços (axiais, cortantes, momentos flectores) nas
barras da estrutura e a deformada da estrutura (rotações dos nós e deslocamentos horizontais). Os valores
máximos dos mesmos encontram-se no quadro seguinte:
Quadro II – valores máximos de esforços e deslocamentos
Esforços / Deslocamentos
Valores máximos absolutos
N (kN)
333,67
T (kN)
16.47
Mv (kN.m)
65.87
Mp (kN.m)
690.32
1.77E-04
(rad)
Y (m)
1.29E-02
Piso correspondente
1
9
9
1
13
30
Parede plena equivalente
Considerar uma parede como sendo plena, para uma análise do mesmo tipo da efectuada na primeira parte
do estudo, levaria à introdução de erros bastante significativos, como se poderá verificar pela comparação do
deslocamento real máximo obtido, com o deslocamento teórico de uma parede plena com as mesmas
dimensões e sujeita à mesma solicitação. O deslocamento teórico corresponde à flecha base da extremidade
de uma consola. Impondo o deslocamento máximo teórico da parede plena equivalente igual ao da parede
real obtém-se a inércia da parede equivalente; fixando por exemplo a espessura da peça, obtém-se o
comprimento da parede plena equivalente que traduz o comportamento da parede real.
Carga pontual
Para que seja possível proceder ao cálculo expedito de estruturas porticadas planas de elevado número de
andares quando solicitadas por acções horizontais quaisquer, torna-se vantajosa a utilização de um método
que permita a obtenção de esforços e deslocamentos da estrutura sob a acção de uma carga pontual aplicada
ao nível de um piso qualquer. Por sobreposição de efeitos será então possível a obtenção do comportamento
global da estrutura, quando solicitada por um perfil de cargas horizontais qualquer. O método a apresentar foi
igualmente desenvolvido pelo Prof. José Mota Freitas, não se encontrando ainda publicado.
Para a determinação dos esforços e deslocamentos da estrutura é necessária a obtenção prévia das
seguintes constantes:
m  2c.
A1 A2
A1  A2
(24)
I  I1  I 2  2cm


3E ' I ' chI
2mEa 3 ( I 1  I 2 )
(25)
1
3E ' I ' ch 2
2a 3 E ( I 1  I 2 )
(26)
(27)
r     2 1
(28)
Segundo este método, os esforços axiais são dados por :
B
Ni = A1 r i  1i
para i < s
r
B

.2(i  s)  1
Ni = A2 r i  i2 
para i  s
2(  1)
r
As constantes de integração são:

1
r s 1


2
r n (r  1)
B   2
2

1
2(  1)
1

2 n 1
r



s 1
 A2   B 2  2(  1) r



rs
.
 B 2   A1
 B1 
2(  1) r  1


s 1
 A1    . r
 A2   B1
2(  1) r  1

(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
Os esforços cortantes podem ser obtidos fazendo:
Ti  Ni  Ni 1
(35)
ou recorrendo às expressões determinadas anteriormente:
r  1 B1
 i (r  1)
r
r
2
r  1 B2
Ti  A2 r i .
 i .( r  1) 
r
2
(

 1)
r
Ti  A1 r i .
para i < s
(36)
para i  s
(37)
Passando ao estudo da deformada da estrutura, serão analisadas as rotações dos nós e os deslocamentos
horizontais. As rotações dos nós obtêm-se da expressão seguinte:
a3
h
(38)
Ni
i  
.Ti 
3cE ' I '
mE
n
sendo N i 
N
(39)
para i  s
j
j i
Ni
s 1
n
m i
j s
 Nm   N j
para i < s
(40)
em que Nm e Nj são os valores dos esforços axiais anteriormente determinados (expressões (29) e (30),
respectivamente). Os deslocamentos horizontais serão sempre dados por:
h
y i  y i 1  ( i   i 1 )
(41)
2
Para o caso estudado, o valor de i é sempre maior ou igual a s, e fazendo variar i de 1 a 30, podem
determinar-se os esforços em vigas e pilares e rotações e deslocamentos dos nós. Os valores máximos dos
esforços (axiais, cortantes, momentos flectores) e deformada da estrutura (rotações dos nós e deslocamentos
horizontais) estão resumidos no quadro seguinte:
Quadro III – valores máximos de esforços e deslocamentos
Esforços / Deslocamentos
Valores máximos absolutos
N (kN)
8.62
T (kN)
0.34
5.28E-06
(rad)
Y (m)
3.56E-04
Piso correspondente
1
21
27
30
MÉTODOS COMPUTACIONAIS
Para verificação dos resultados obtidos pelos métodos analíticos foram utilizados um programa de elementos
finitos (“femix”) e um programa de cálculo de pórticos (“Portic”).
O procedimento pelo método dos elementos finitos consiste na discretização da parede em elementos planos
de tamanho finito conectados entre si em determinados pontos que são designados por nós. O que se
pretende é que o comportamento destes elementos planos se assemelhe ao comportamento da estrutura real
contínua. A malha adoptada foi concretizada com elementos planos rectangulares de oito nós, com dois graus
de liberdade por nó, refinada como se indica na fig. 12. Este refinamento deu origem a uma malha com 1560
elementos e 5508 nós.
O pórtico para o cálculo no programa “Portic”, foi idealizado de modo a traduzir correctamente o
comportamento da estrutura. Assim, e para garantir a existência de deslocamentos relativos nas extremidades
das vigas será necessário modelar correctamente a sua ligação com os pilares. Este efeito é conseguido pela
introdução de troços significativamente mais rígidos na conexão dos lintéis com os pilares (fig.13).
fig.12 – malha gerada
fig.13 – pórtico idealizado
Comparação de métodos
O que se pretendia nesta parte do estudo foi verificado, uma vez que os deslocamentos horizontais ao
longo da estrutura, nomeadamente o deslocamento máximo, são aproximadamente iguais, quando calculados
pelos métodos analíticos expostos no capítulo anterior, pelo método dos elementos finitos e pelo programa de
cálculo de pórticos.
Quadro IV – Deslocamento horizontal máximo (mm)
MÉTODO ANALÍTICO
PORTIC
MEF
Carga Unitária Distribuída
12.91
12.99
14.45
Carga Unitária Pontual
0.356
0.360
0.404
AGRADECIMENTOS
Ao Professor José Mota Freitas pela orientação, disponibilidade e atenção dedicada.
REFERÊNCIAS
[1] “Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes ”; Porto Editora; Porto;
Agosto 2000
[2] Mota Freitas, José António; “Cálculo Expedito de Pórticos Planos de Elevado Número de Andares –
Solicitação Constante em Altura ”; Boletim nº 10 do Gabinete de Estruturas; Faculdade de Engenharia da
Universidade do Porto; Fevereiro 1973
[3] Mota Freitas, José António; “Cálculo Expedito de Pórticos Planos de Elevado Número de Andares –
Solicitação Variável em Altura ”; Boletim nº 12 do Gabinete de Estruturas; Faculdade de Engenharia da
Universidade do Porto; Abril 1973
[4] Alvarez, Ramón Argüelles; “Cálculo de Estructuras, Tomo 2 ”; Escuela Técnica Superior de Ingenieros de
Montes; Madrid; 1981
[5] Ravara, Artur; Priestley, M.J.N.; “Comportamento de Estruturas Porticadas sob Acção de Forças
Horizontais ”; Técnica nº 388 volume XXXI; Lisboa; Maio 1969
[6] “Sebenta de Concepção e Dimensionamento de Edifícios Altos ”; Faculdade de Engenharia da
Universidade do Porto
[7] Taranath, Bungale S.; “Structural Analysis & Design of Tall Buildings ”; McGraw-Hill; New York; 1988
[8] Zalka, Karoly A.; “Global Structural Analysis of Buildings ”; E & FN Spon ; London and New York; 2000
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