A raiz de uma equação

7º ano ‘B’ CAF 2014 matemática
Professor: Francisco Maciel – [email protected]
A LINGUAGEM CORRENTE E A LINGUAGEM ALGÉBRICA DAS EQUAÇÕES
DO PRIMEIRO GRAU - INCLUINDO CONCEITOS E PROPRIEDADES DAS
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU - CONCEITOS
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A linguagem corrente e a linguagem algébrica;
Membros de uma equação;
Termos de uma equação;
A raiz de uma equação;
Conjunto universo de uma equação;
O conjunto solução de uma equação;
Equações equivalentes;
Princípios aditivo e multiplicativo de equivalência.
O que é uma equação?
Equação é toda sentença matemática expressa por uma igualdade,
Onde os números desconhecidos são representados por letras.
Cada letra que representa um número desconhecido chama-se incógnita.
As equações constituem uma das mais importantes ferramentas que a matemática
dispõe, para a resolução de problemas ligados a situações concretas. O inglês Isaac
Newton escreveu em seu livro Aritmética Universal: “para resolver problemas
referentes a números, ou relações entre quantidades, basta traduzir tal problema da
linguagem corrente para a linguagem da álgebra, isto é, a linguagem das equações.
Acompanhe ilustração com incógnitas de números múltiplos inteiros:
Linguagem corrente
Um número qualquer
O dobro de um número qualquer
O triplo de um número qualquer
O quádruplo de um número qualquer
O quíntuplo de um número qualquer
O sêxtuplo de um número qualquer
O sétuplo de um número qualquer
O óctuplo de um número qualquer
O nônuplo de um número qualquer
O décuplo de um número qualquer
Linguagem algébrica
X
2X
3X
4X
5X
6X
7X
8X
9X
10 X
Duas vezes o número em questão
Três vezes o número em questão
Quatro vezes o número em questão
Cinco vezes o número em questão
Seis vezes o número em questão
Sete vezes o número em questão
Oito vezes o número em questão
Nove vezes o número em questão
Dez vezes o número em questão
Acompanhe ilustração com incógnitas de números múltiplos fracionários:
Linguagem corrente
A metade de um número qualquer ou
Um meio de um número qualquer.
A terça parte de um número qualquer ou
Um terço de um número qualquer.
A quarta parte de um número qualquer ou
Um quarto de um número qualquer.
A quinta parte de um número qualquer ou
Um quinto de um número qualquer.
A sexta parte de um número qualquer ou
Um sexto de um número qualquer.
A sétima parte de um número qualquer ou
Um sétimo de um número qualquer.
A oitava parte de um número qualquer ou
Um oitavo de um número qualquer.
A nona parte de um número qualquer ou
Um nono de um número qualquer.
A décima parte de um número qualquer ou
Um décimo de um número qualquer.
Um onze avos de um número qualquer
Um doze avos de um número qualquer
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
X
9
X
10
X
11
X
12
ou
ou
ou
ou
ou
ou
ou
ou
ou
ou
ou
Linguagem algébrica
1
1 X
X
X   
2
2 1
2
1
1 X
X
X   
3
3 1
3
1
1 X
X
X   
4
4 1
4
1
1 X
X
X   
5
5 1
5
1
1 X
X
X   
6
6 6
6
1
1 X
X
X   
7
7 1
7
1
1 X
X
X   
8
8 1
8
1
1 X
X
X   
9
9 1
9
1
1 X
X
X   
10
10 1 10
1
1 X
X
X   
11
11 11 11
1
1 X
X
X   
12
12 1 12
Acompanhe ilustração com incógnitas de números múltiplos inteiros e
fracionários:
Equação escrita na linguagem corrente
a) Um número aumentado de 30 é igual a 20.
b) 5 menos um certo número resulta 13.
c) A diferença entre a metade de um número e 15 é igual a 40.
d) Somando três décimos de um número com 12, obtemos 15.
e) A soma da quarta parte de um número com meio é igual a dois
quintos.
f) o triplo de um número somado com o seu quadrado resulta 50.
g) A soma de dois números inteiros e consecutivos é igual a 19.
h) A soma de três números inteiros e consecutivos resulta 15.
i) Um número mais 5 é igual a 18.
j) Um número mais seu dobro vale 30.
k) O triplo de um número menos dois, resulta 13.
l) A diferença entre o triplo e o dobro de um número é igual a 6.
m) O triplo da diferença, entre um número e dois, vale 12.
o) O dobro de um número menos 1 resulta 9.
p) O dobro de um número mais 3 vale 11
q) O quádruplo de um número mais 1 vale 13.
r) A quinta parte de um número menos 3 é igual a 7.
s) A terça parte de um número mais a sua metade vale 10.
t) Um número mais os seus dois quintos vale 14.
u) O dobro da soma de um número com 5 resulta 14.
v) A soma do dobro de um número com 5 resulta 17.
x) O triplo da soma de um número com 2 resulta 21.
z) A soma do triplo de um número com 2 vale 20.
Equação escrita na linguagem algébrica
X  30  20
5  X  13
X
 15  40
2
3
3X
X  12  15 ou
 12  15
10
10
X 1 2
 
4 2 5
3 X  X 2  50
X  ( X  1)  19
X  ( X  1)  ( X  2)  15
X  5  18
X  2 X  30
3  2  13
3X  2 X  6
3( X  2)  12
2X 1  9
2 X  3  11
4 X  1  13
X
3  7
5
X X

 10
3 2
2X
X
 14
5
2( X  5)  14
2 X  5  17
3( X  2)  21
3X  2  20
Membros de uma equação
 A expressão situada à esquerda do sinal da equação é denominada de:
1º membro da equação.
 A expressão situada à direita do sinal da equação é denominada de:
 2º membro da equação.
I l u s t r a ç ã o:
4X + 10 = 3X – 1
1º membro
2º membro
Termos de uma equação
Cada uma das parcelas que compõem um membro de uma equação e denominada de
Termo da equação.
Uma dica importante: quem separa os termos são os sinais de (+) e (–)
I l u s t r a ç ã o:
Na equação: 2X – 1 = – 3X + 9.
2X e – 1 são termos do 1º membro.
– 3X e +9 são termos do 2º membro.
A raiz de uma equação
O valor da incógnita numa equação denomina-se raiz da equação.
Exemplo:
Na equação: X+5=12, vemos claramente que X vale 7, logo dizemos que a raiz dessa
equação é 7.
Conjunto universo
É o conjunto determinado a conter a raiz da equação.
Exemplo:
Na equação: X + 10 = 4, a raiz é – 6, se determinarmos o conjunto dos números naturais
para encontrar esse valor, diremos que a equação não tem solução no conjunto dos
números naturais. No entanto essa raiz é facilmente identificada no conjunto dos números
inteiros, portanto diremos que o conjunto dos números inteiros é conjunto universo dessa
equação.
Conjunto solução
O conjunto solução de uma equação é o conjunto formado pelas raízes dessa equação,
(caso existam).
Exemplos:
1º) Seja a equação: X + 5 = 9; essa igualdade é verdadeira apenas para X = 4, logo a raiz
dessa equação é somente 4. Assim diremos que o conjunto solução dessa equação é um
conjunto numérico, unitário, formado pelo elemento 4, e escrevemos: S = {4}.
2º) Seja a equação: ( X 2  16 ); essa igualdade é verdadeira para X = 4 e X = - 4, logo essa
equação possui duas raízes. Assim diremos que o conjunto solução dessa equação é o
conjunto: S = {- 4, 4}.
3º) Seja a equação: x² = – 25; Não existe número real que elevado ao quadrado resulte
negativo. Portanto diremos que o conjunto solução dessa equação é vazio ou simplesmente
não existe solução para essa equação e representamos por: S = { } ou S = 
Equações equivalentes
Duas ou mais equações são ditas equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução,
relativo ao mesmo conjunto universo.
Exemplos:
3 1
2
São equações equivalentes, pois todas possuem o mesmo conjunto solução.
2X 1  3
;
2X  3 1
;
2X  4
e
X 
Princípio aditivo de equivalência das equações
Adicionando ou subtraindo um mesmo número aos dois membros da equação, obteremos
uma nova equação, equivalente à equação dada.
Exemplo:
Seja a equação: 2X – 3 = 5
Adicionando 3 aos dois membros da equação, temos:
2X – 3 + 3 = 5 + 3
Efetuando as operações indicadas na equação, temos:
2X = 8
Observe que as equações: 2X – 3 = 5
mesmo conjunto solução.
e
2X = 8 são equivalentes pois possuem o
Princípio multiplicativo de equivalência das equações
Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma equação por um mesmo número
diferente de zero, obteremos uma nova equação equivalente à equação dada.
Exemplo:
Seja a equação: 6X = 8
Dividindo os dois membros da equação por 2, temos:
6X 8

2
2
Simplificando os termos, temos:
3X = 4 que é equivalente à 6X = 8.