Matematica2

VESTIBULAR UFPE – UFRPE / 1995
2ª ETAPA
NOME DO ALUNO: _______________________________________________________
ESCOLA: _______________________________________________________________
SÉRIE: ____________________
TURMA: ____________________
MATEMÁTICA 2
1.
7.
Na figura abaixo, o cubo tem aresta igual a 9 cm e a
pirâmide tem um vértice no centro de uma face como base
a face oposta. Se V cm3 é o volume da pirâmide,
Sejam 1 e 2 planos que se interceptam em uma reta  e
formam um ângulo de 45. Em 1 escolha os pontos P1,
P2, P3, P4 e P5 distando respectivamente 3cm, 7cm, 8cm,
determine
1
V
3
.
15cm e 21cm de  . A reta perpendicular a 1
passando pôr P i intercepta 2 em um ponto Q i. Qual o
valor,
em cm, de
P1Q1 + P2 Q2
+
P3Q3 + P4 Q4 + P5Q5
?
8.
Na figura abaixo, o retângulo ABCD têm área igual a 153
cm2. Quanto mede o lado, em cm, do quadrado AB’C’D’?
2.
Na figura abaixo, temos um retângulo inscrito em uma
circunferência com centro O e raio igual a 5cm. Se
OP vale
3
5
do raio da circunferência, determine a área,
em cm2 , do retângulo.
9.
Qual o maior valor assumido pela função  : [ -7, 10 ]  ,
definida por  (x) = x2 – 5x + 9 ?
10.
3.
Sobre uma circunferência de raio medindo 9cm marcam-se
dois pontos P e Q, de forma que o arco PQ meça 3cm.
Quanto mede, em cm, o segmento PQ ?
4.
Um cone circular reto, com altura igual a 60cm, é
interceptado por um plano perpendicular ao seu eixo,
resultando numa circunferência de raio igual a 40cm. Se a
distância deste plano à base do cone é de 30cm, quanto
mede o raio, em cm, da base do cone?
5.
Sabendo que os pontos (2,-3) e (-1,6) pertencem ao
gráfico da função  :    definida por (x) = ax + b,
determine o valor de b - a.
6.
Considere a reta de equação cartesiana ( 1 + 4 ) x + ( 1 +
2 )y = 2 + 5 + 6, onde  é um número real. Determine o
valor de ,   0, para o qual esta reta tem declividade
igual a – 1.
Sejam x e y números reais tais que log2 ( x3 y2 ) = 12 e
log2 ( x5 y3) = 11. Qual o valor de log2 ( y2 )?
11.
Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10
faces com quatro lados e 1 face com dez lados. Determine
o número de vértices deste poliedro.
12.
Seja r o raio, em cm, da circunferência inscrita em um
triângulo retângulo com catetos medindo 6cm e 8cm.
Quanto vale 24r ?
13.
17.
Um prisma com 3cm de altura tem seção transversal como
se mostra na figura abaixo. Calcule o volume, em m 3,
deste prisma.
Seja ABC um triângulo tal que
AB  BC  5cm
e
AC  8cm. Quanto mede, em mm, a altura deste
triângulo com relação ao lado AC ?
18.
Constrói-se uma pirâmide sobrepondo-se 15 blocos, cada
qual na forma de um paralelepípedo retângulo de altura
igual a 1m e base quadrada cujos lados medem 15m,
14m, 13m, 12m, 11m, 10m, 9m, 8m, 7m, 6m, 5m, 4m, 3m,
2m e 1m, respectivamente ( veja um corte desta pirâmide,
na figura abaixo, obtido através de um dos seus planos de
simetria). Sabendo que
nn  12n  1
,
6
V
volume da pirâmide é V m3, determine
.
31
12  2 2  3 2  ...  n 2 
14.
PQ está contido na reta de
x  y  2 . Seja V cm3 o volume do
Na figura abaixo, o segmento
e que o
equação cartesiana
sólido obtido ao girarmos a região hachureada, através de

uma rotação de 360, em torno do eixo Oy . Ache o
inteiro mais próximo de V.
19.
15.
A figura abaixo ilustra a planificação da superfície de um
cubo com arestas medindo 10cm. O ponto B é o centro de
uma de suas faces e o ponto A está em outra face
distando das arestas desta de 3cm, 5cm, 5cm e 7cm.
Seja C a curva de menor comprimento ligando A e B e
totalmente contida nas faces do cubo. Qual o
comprimento, em cm, de C ?
16.
Seja r uma reta que passa pelo centro da circunferência C1
x 2  6 x  y 2  8 y  23  0 , e
que é perpendicular à reta y  x . Uma circunferência C2,
de equação cartesiana
concêntrica com a primeira, é tangente ao eixo das
ordenadas O y no ponto P. Determine a área do triângulo
cujos vértices são o ponto P e os pontos de interseção da
reta r com C1
Um queijo tem a forma de um cilindro circular reto com 40
cm de raio e 30 cm de altura. Retira-se do mesmo uma
fatia, através de dois cortes planos contendo o eixo do
cilindro e formando um ângulo de 60. Se V é o volume,
em cm3, do que restou do queijo ( veja a figura abaixo),
determine
V
10 3 
.
20.
Se a equação y =
2 x 2  px  32 define
uma função
real y =  (x) cujo domínio é o conjunto dos reais, encontre
o maior valor que p pode assumir.
0-0) O triângulo ABC é equilátero.
21.
Na figura abaixo a circunferência é tangente à reta
ponto A e é tangente à reta
 1 no
 2 no ponto B. O lado AD do
paralelogramo ABCD mede 6cm. Se S é a área, em cm2,
da região interior ao paralelogramo e exterior à
circunferência, quanto vale
S
6 
?
1-1) O triângulo ACD é isósceles.
2-2)
      é divisível por 2.
3-3)
AD = 1.
4-4) Os triângulos ABC e ACD têm áreas iguais.
26.
Analise as seguintes afirmações:
22.
Seja C um cubo cujo lado mede 5cm e  um plano
contendo duas diagonais de C. Particiona-se C em 125
cubos com lado medindo 1cm através de planos paralelos
às faces de C. O plano  contém o centro de quantos
destes 125 cubos com lado medindo 1cm ?
23.
Quatro bolas esféricas de raio
3 2
2
cm cada, estão
dispostas sobre uma mesa plana de forma que seus
centros formam um quadrado de lado igual a 3 2 cm.
Uma quinta bola, de mesmo raio, é colocada sobre estas
quatro bolas tangenciando as mesmas. Seja  o plano que
é tangente a esta quinta bola e paralelo à mesa. Se d, em
cm, é a distância do plano  à mesa, determine o valor de


0-0) Dois
triângulos
equiláteros
quaisquer
são
semelhantes.
1-1) Dois triângulos retângulos são semelhantes se os
catetos de um são proporcionais aos catetos do outro.
2-2) Num triângulo qualquer, cada lado é maior que a
soma dos outros dois.
3-3) Se as diagonais de um quadrilátero se interceptam
nos seus pontos médios, então este quadrilátero é um
retângulo.
4-4) Se pelo ponto médio do lado AB de um triângulo ABC
traçarmos uma reta paralela ao lado BC, então esta
reta interceptará o lado AC no seu ponto médio.
27.
Analise as seguintes afirmações:
0-0) as retas 2x + 3y – 6 = 0 e 2y – 3x - 2 = 0 não são
paralelas.
1-1) o lugar geométrico dos pontos ( x ,y ) do plano Oxy
tais que 2x2 + 6y - 3y2 = 9 é uma elipse.
2-2) se ax + by + c = 0, a, b e c reais, representa uma reta
vertical, então b = 0.
3-3) as curvas y = x2 e y =
Oxy em um único ponto.
4-4) o ponto
2 1 d .
24.
Analise as seguintes afirmações:
0-0) Existem dois planos distintos, passando ambos por
um mesmo ponto e perpendiculares a uma mesma
reta.
1-1) Se dois planos forem perpendiculares, todo plano
perpendicular a um deles será paralelo ao outro.
2-2) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.
3-3) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta
paralela a um deles será perpendicular ao outro.
4-4) Uma reta perpendicular a duas retas concorrentes de
um plano é perpendicular a esse plano.
x
se interceptam no plano

2
1,

 2  é exterior à circunferência


= 1 e é interior à circunferência
x2 + y2
x2 + y2 = 2.
28.
Nas figuras abaixo, os triângulos ABC e A’B’C’ são
equiláteros com lados medindo 3cm, e DE e D’E’ são
arcos de circunferência com centro em O e raios iguais a
3cm e 2cm, respectivamente.
25.
Acerca da figura abaixo podemos afirmar que:
Seja S1 o sólido obtido pela rotação de 360 do triângulo
ABC em torno de
 1 , S2 pela rotação de 360 de A’B’C’
2
e S3 pela rotação de 360 da região
em torno
de
hachureada em torno de
 3 . Podemos afirmar que:
0-0) S1 é obtido de um cone circular reto retirando-se dois
outros cones circulares retos.
1-1) O volume de S1 é igual ao volume do cone com raio
igual a
3 3
3
cm e altura igual a
2
2
cm.
2-2) S2 é obtido de um cilindro circular reto retirando-se
dois cones circulares retos.
3-3) A área da superfície de S2 é igual à área de um cone
circular reto de raio
3 3
2
32.
Comparando as áreas do triângulo OAB, do setor circular
OAB e do triângulo OAC da figura abaixo, onde 0 <  <

, temos:
2
0-0)
1-1)
cm e altura 3cm.
4-4) S4 é obtido de um hemisfério retirando-se outro
hemisfério.
2-2)
29.
3-3)
Considere a seqüência an = n2, onde n é inteiro positivo.
Se bn = an + 1 - an , então, para todo inteiro positivo n,
temos:
4-4)
0-0) bn é um número primo;
1-1) bn é um número ímpar;
2-2) bn + 1 > bn;
3-3) bn + 1 - bn é constante;
bn
4-4)
é inteiro.
30.
Se a é um número real positivo, então o gráfico de y = a(
x2 + 2x ), x  ,
0-0) é uma parábola que passa pela origem (0,0).
1-1) é simétrico em relação à reta x = -1.
2-2) é uma parábola cujo vértice é o ponto (-1,a).
3-3) está contido na reunião dos 3 (três) primeiros
quadrantes.
4-4) não intercepta a reta y = - a .
31.
Acerca da função  : 
x
x
2
 1
3

 definida por (x) =
, podemos afirmar que:
0-0) (x) = x( x – 1 )-3( x + 1)-3 para todo x  ;
1-1) (x) =
1
1
1
 3
 x ,para todo x  ;
5
3x
x
3x
2-2) (x) > 0 quando x > 0;
3-3) (x) < 0,000000000000001 quando x > 1 000;
4-4) (x) = (-x) para todo x  .
sen  <  < tan  ;
sen 
< cos < 1;

sen 
< 1;
cos <

sen 
> tan  ;
cos >

1
1
1
cos <  < sen 
2
2
2
.