Sistemas Lineares

TÓPICOS DE MATEMÁTICA
PROF.: PATRÍCIA ALVES
1. Verifique se 3, 2
7x 11y  1.
SISTEMAS LINEARES
x  5 y  z  5

é solução da equação
7x  2 y  3z  8 .
2x  5 y 11z  8

2. Dada a equação linear 2x  y  7 , verifique
se os pares abaixo são soluções:
a) 2, 3
b) 2, 7
c) 5, 3
3. Verifique se as triplas ordenadas abaixo são
soluções da equação x  2y  4z  1.
a) 1,3, 1
b) 0, 4, 1
c) 1,1,1
4. Determine m de modo que o par m, 2m 1
seja solução da equação 3x 11y  4 .
5. Dada a equação linear mx1  2x2  4x3  3 ,
determine m de modo que a tripla 1,1, 2
seja uma de suas soluções.
6. Determine duas soluções da equação
xyzt0.
7.
Dê
duas
soluções
x  2x  5x  16 .
1
2
da
equação
3
8. Cíntia tem que pagar uma compra de R$
35,00 e só dispõe de notas de R$ 1,00 e de R$
5,00. De quantos modos distintos poderá fazer
o pagamento?
9. Verifique se 3, 2 é solução do sistema
x  y  1
.

2x  3y  0
10. Verifique se 1,1,1 é solução do sistema
11. Verifique se 1,1,1 é solução do sistema
x  y  z  0

x  y  z 4
.
x  y  2z  5

12. Considere o sistema `5x  7 y  12 .
a) Apresente algumas de suas soluções.
b) Como ele é classificado?
2x  3y  z  1

13. Classifique o sistema x  y  z  0
.
2x  2 y  2z  7

14. Construa a matriz incompleta A e a
completa B de cada um dos sistemas:
 x y
7

a)  x  z  8

 y  z  9
4x  y  z  1

b) x  2 y  z  2

 z  5
x
3x  2 y  4

c) x  y  7
4x  y  2

15. Construa a matriz incompleta A e a
completa B de cada um dos sistemas:
a) 3x1  4x2  5x3  x4  11
2x  y  3z  13
b)

x  y 10z  4
16.
Escreva
o
sistema
associado
representação matricial em cada caso:
 3 2  x   0 
a)  2 5  y    0 

   
à
 x  y  z  2
 y  z  1


2z  8

 x  y  2z  5
c)  y  3z  2

 x
 5 7 2  11
b) 1 1 3 y   
13

    
 z 
17. Classifique o sistema dado por:
 1 1  x   8 
a)  4 3 
 11 

  y   
11 7    76 


 
1
1
1

 x   3 
b)  2 4 3  y   11 

   
3 3 3 z  10 

   

18. Seja o sistema de equações lineares
9x  y  18

, cuja solução é dada pelo par
3x  y  12
ordenado a, b  . Determine o valor de a  b .
19. Verifique se cada um dos sistemas abaixo
está escalonado.
 x  3y  7
a) 
 2 y 5
3x  2 y  11
b) 
x  3y  1
xyz0

c)  y  z  5

z  8

20. Indique quais sistemas estão escalonados.
 2x  y  z  t  5
a) 
2z  3t  4

 x  5 y  3z  8

b)  3y  7z  2

 2 y  5z  3
3x  2 y  z  t  1

c) 
3y  z  t  10

2z  3t  5


x  y  z  1
d) x  y  3z  5

21. Resolva e classifique os seguintes sistemas
escalonados:
3x  2 y  5
a) 
  y  7
b)

22. Resolva e classifique os seguintes sistemas
escalonados:
 x  y  z  2t  5
y  z  3t  3

a) 
2z  t  4


3t  6

b)  x  y  2z  7

 y  2z  8
23. Resolva os seguintes sistemas:
a) x  y  z  3
b)  2x  y  z  t  11

z  t 2

24. Uma das soluções de  x  y  z  2 é

 y  2z  m
1, 1, 0 . Determine o conjunto solução desse
sistema.
25. Escalone e resolva os seguintes sistemas:
x  2 y  1
a) 
3x  2 y  11
3x  5 y  1
b) 
x  2 y  0
26. Escalone e resolva os seguintes sistemas:
3x
6x  24 yy  17
a) 

x  y  5
b) 
3x  3y  15
27. Um grupo de 12 amigos reuniu-se durante
um almoço de confraternização de fim de ano.
Todos foram unânimes em pedir o prato
sugerido pelo garçom e 10 deles pediram
sobremesa perfazendo uma despesa total de R$
230,00 com esses dois itens. Sabendo-se que a
cota de quem pediu sobremesa foi de R$ 20,00,
calcule o preço unitário de cada um desses
itens.
28. Para dar R$ 1,80 de troco a um cliente, o
caixa de um supermercado pretende usar
exatamente 20 moedas. Se ele dispõe apenas de
moedas de 5 centavos, 10 centavos e 25
centavos, de quantos modos distintos ele pode
compor tal quantia?
29. Em um restaurante há 12 mesas, todas
ocupadas. Algumas, por 4 pessoas; outras, por
apenas 2, num total de 38 fregueses. Qual o
número de mesas ocupadas por apenas 2
pessoas?
30. Escalone e resolva os seguintes sistemas:
x  2 y  z  9

a) 2x  y  z  3
3x  y  2z  4

x  y  3

b) x  z  4
 y  z  3

31. 30. Escalone e resolva os seguintes
sistemas:
x  y  2z  1

a) x  y  z  2
x  2 y  z  2

x  3y  2z  2

b) 3x  5 y  4z  4
5x  3y  4z  10

32. Resolva, por meio de escalonamento, os
seguintes sistemas:
x  y  z  2

a) 2x  z  1

3x  y  1
2x  3y  z  1

b) 3x  3y  6z  0
7x  2 y  9z  2

4x  y  7z  9

c) 5x  3y  z  0
7x 11y 17z  19

x y  z t  6

 yzt1
d) 
3z  2t  2


9t  36

33. Dado o sistema:
x  y  z  1

x  y  z  1
x  y  z  1

a) Existe uma solução do tipo
y  2a e z  a ?
b) Ache todas as suas soluções.
x  a 1,
34. Escalone e resolva os seguintes sistemas:
x  y  2z  7

a) 2x  y  3z  10
x  y  z  1

x  2 y  3z  5

b) 2x  5 y  2z  3
x  3y  z  2

35. Em determinado concurso, os candidatos
fizeram uma prova contendo 25 questões. Pelas
normas do concurso, os candidatos não
poderiam deixar questões em branco e, na
correção da prova, seriam atribuídos 2 a
cada resposta certa e 1 a cada resposta
errada. A nota da prova seria a soma dos
valores atribuídos às questões. Se um candidato
obteve nota 17, qual o número de questões que
ele acertou?
36. Uma loja de departamentos, para vender
um televisor, um DVD e um aparelho de som,
propôs a seguinte oferta: o televisor e o DV
custam juntos R$ 1 100,00; o televisor e o
aparelho de som custam juntos R$ 1 500,00.
Quanto pagará um cliente que comprar os três
produtos anunciados?
37. Diz-se que a matriz quadrada tem posto 1
se uma de suas linhas é não-nula e as outras
são múltiplas dessa linha. Determine os valores
de a, b e c para os quais a seguinte matriz
3 3 tem posto 1.

2


A   3a  b  2c

 b  c  3a

1
2
1
1
2



6

c  2a  b 

3
40. Classifique e resolva os seguintes sistemas:
x  2 y  0
a) 
3x  5 y  0
11x  4 y  0
b)

5x  2 y  0

x  3y  0
c) 5x 15 y  0

41. Classifique e resolva os seguintes sistemas:
2x  3y  z  0

a)  x  4 y  z  0
3x  y  2z  0

x  2 y  z  0

b) 2x  y  3z  0
4x  3y  z  0

x  y  4z  m  2

.
42. É dado o sistema mx  3y  z  0
6x  m  3 y 15z  0



a) Determine m para que o sistema seja
homogêneo.
b) Utilizando o item a , resolva o sistema.
44. Resolva os seguintes sistemas homogêneos:
x  y  0

x  y  0
a) 2x  3y  0

5x  8 y  0
3x  4 y  5z  0

b) x  y  z  0
45. Seja A a matriz formada pelos coeficientes
do sistema linear abaixo:
 x  y  z    2

x   y  z    2
x  y   z    2

a) Ache as raízes da equação det A  0 .
(Sugestão: x3  3x  2  x3  x  2x  2 e
fatore.)
b) Ache a solução geral desse sistema para
  2 .
46. O sistema abaixo é escalonado.
 x  3y  0
m 1 y  0



Para que valores de m o sistema admite
somente a solução nula ou trivial?
x  2 y  0
.
47. Seja o sistema 
2x

my

0

a) Escalone-o.
b) Determine m para que o sistema admita
soluções próprias (diferentes da trivial).

 e a matriz
48. Dada a matriz A   1 0 
 2 3 
x
incógnita X   , chama-se autovalor de A
 y 
qualquer valor real de  que faz com que a
equação matricial AX   X tenha soluções
não-nulas para X .
a) Determine os autovalores de A .
b) Para cada um dos valores encontrados no
item anterior, obtenha a expressão da matriz
X.
49. Resolva usando a Regra de Cramer:
x  4 y  0
a) 
3x  2 y  5
2x  y  2
b) 
x  3y  3
5x  4 y  6
c) 
x  y  1
50. Resolva usando a Regra de Cramer:
3x  y  z  1
 3z  1
a) 2x
4x  y  2z  7
x  y  z  5

b) x  2 y  4z  4
3x  y  2z  3

51. Resolva usando a Regra de Cramer:
x  y  z  0

a) x  y  2z  1
x  2 y  z  4

x  y  z  1

b) x  y  z  1
2x  3y  2z  0

52. Qual o valor de y no sistema abaixo?
2x  y  z  12
 2 y  z  13
xyz0

53. Indique o valor de z no sistema abaixo:
x y z
4

 2x  z  w  4

 y  z  w  2

x  z  2w  2
54. Resolva o sistema abaixo sabendo que x é
o preço do sorvete, y é o preço do chocolate e
z é o preço do chiclete.
30x  45 y  60z  207

50x  35 y  40z  193
40x  30 y  45z  174

55. Uma vendedora de loja de roupas
masculinas atendeu no mesmo dia três clientes
e efetuou as seguintes vendas:
Cliente 1 - 1 calça, 2 camisas e 3 gravatas
valor: R$ 156,00
Cliente 2 - 2 calças, 5 camisas e 6 gravatas
valor: R$ 347,00
Cliente 3 - 2 calças, 3 camisas e 4 gravatas
valor: R$ 253,00
Quanto custou cada gravata?
56. . Resolva o sistema abaixo pela Regra de
Cramer:
2 1 1
 x  y  z  1
1 1 1
  0

x y z
3 2 1
   4
x y z
1
1
1
(Sugestão: Faça  x ' ,  y ' e  z ' .)
x
y
z
 a 1 x  by  1
é
57. A solução do sistema 
 a 1 x  2by  3
x  1 e y  2 . Determine os valores de a e b .
58. Resolva o sistema de incógnitas x e y
abaixo.
ax  by  c

bx  ay  d
59. Um nutricionista pretende misturar três
tipos de alimentos  A, B e C  de forma que a
mistura resultante contenha 3 600 unidades de
vitaminas, 2 500 unidades de minerais e 2 700
unidades de gorduras. As unidades por gramas
de vitaminas, minerais e gorduras
alimentos constam da tabela a seguir:
A
B
C
dos
Vitaminas Minerais Gordura
40
100
120
80
50
30
120
50
60
Quantos gramas do alimento C devem compor
a mistura?
60. Uma empresa deve enlatar uma mistura de
amendoim, castanha de caju e castanha-dopará. Sabe-se que o quilo do amendoim custa
R$ 5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00,
e o quilo da castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada
lata deve conter meio quilo da mistura e o
custo total dos ingredientes de cada lata deve
ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de
castanha de caju em cada lata deve ser igual a
um terço da soma das outras duas.
a) Escreva o sistema linear que representa a
situação descrita.
b) Resolva o referido sistema, determinando as
quantidades, em gramas, de cada ingrediente
por lata.
61. Determine todos os valores de x, y e z que
satisfazem o sistema:
x
y
z
2
  x2  2  1
 3
 y z 9

3 3
4 x 16 y  4 z  4