UNIDADE 1: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE PROBABILIDADES

UNIDADE 1: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE PROBABILIDADES
OBJETIVOS DA UNIDADE:
- Explorar a variabilidade dos dados, dos resultados observados e a incerteza associada às decisões;
- Introduzir a probabilidade como uma medida de possibilidade de resultados e risco em decisões;
- Entender e diferenciar o significado de proporcionalidade, proporção, o que é provável e presumível;
- Identificar fenômeno determinístico e aleatório.
- Observar as regras da probabilidade em situações que são considerados eventos múltiplos;
- Calcular a probabilidade de um evento para cada situação específica: soma, multiplicação e
probabilidades condicionais.
A estatística consiste em trabalhar com o acaso e a incerteza. A teoria da probabilidade é um
importante instrumento analítico em uma sociedade que é forçada a medir incertezas. Tanto nos
negócios como nas situações corriqueiras da vida, temos nossa opinião, mas não temos certeza do
resultado do que nos propomos a realizar. Podemos estar incertos se devemos ou não promover
uma oferta de certo produto, se existe congestionamento no transito no roteiro do nosso caminho,
se existe vírus no software que pretendemos instalar, se devemos negociar com determinado
sindicato quando há forte indício de greve, se devemos investir em determinado equipamento
quando há boas chances de recuperarmos o investimento a ser efetuado, contratar determinado
funcionário que nos parece ser promissor, etc.
Nesta unidade veremos como a incerteza pode realmente ser medida, como associar-lhe
números e como interpretar estes valores chamados de “probabilidades”, que vai nos permitir a
tomar decisões adequadas, auxiliar a desenvolver estratégias. O ponto principal é a possibilidade de
quantificar o quanto provável será a ocorrência de determinada situação.
6.1 A Probabilidade de um Evento
As probabilidades devem sempre estar relacionadas a algum “evento”, estes podem ser os
mais variados possíveis: chuva, lucro, nascer menina, ocorrer uma carta de ouro, sair ponto 6 no
dado, sair bola vermelha de uma urna, etc.
A probabilidade de um evento A, é representada por P( A) será sempre um número entre 0
e 1 e indica a chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1 é a P( A) , maior será a
chance de ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de zero, menor a chance de ocorrência
do evento A.
A um evento impossível temos que P( A) = 0 ( a probabilidade de se obter ponto 7 ao se
jogar um dado)
A um evento certo temos que P( A) = 1 ( a probabilidade de sair cara ou coroa quando se
joga uma moeda)
Portanto, temo que 0  P ( A)  1
As probabilidades podem ser expressas em decimais, porcentagens ou frações:
0,10 = 10% =
1
1
; 0,25 = 25% =
10
4
1 = 100%
6.2
Espaço Amostral e Eventos
Uma experiência aleatória deve ser subentendida sempre que for possível:
- repetir a experiência indefinidamente, fixadas algumas condições;
- mesmo mantendo as condições iniciais, sempre será impossível influenciar no resultado.
Um espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência,
resultados estes que podem ser de natureza quantitativa ou qualitativa.
Eventos é qualquer subconjunto do espaço amostral, isto é, qualquer resultado ou conjunto
de resultados do espaço amostral. Portanto os resultados de um experimento chamam-se eventos.
Conjunto é uma coleção bem definida de objetos e itens
Podemos descrever os elementos de um conjunto de duas maneiras:
- relacionando todos eles, ou relacionando apenas um número suficientes deles, de modo a deixar
claro quais são os elementos do conjunto.
Ex: A  1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
A  1,2,3,...,10
- enunciando uma regra, ou a definição das características comuns aos elementos do conjunto.
Ex: B = todos os inteiros positivos menores que 9
Para podermos falar de probabilidades, temos de ter sempre um espaço amostral, que é o
conjunto de todos resultados possíveis de um experimento. O termo experimento sugere a
incerteza do resultado.
Um espaço amostral é o conjunto dos resultados possíveis de uma experiência.
Eventos são os resultados possíveis desta experiência
Por exemplo, um experimento pode consistir na retirada de uma carta de um baralho,
registrando a cor da carta. O espaço amostral será constituído pelas duas cores possíveis: vermelha
ou preta; o experimento poderia também ser a respeito dos naipes, neste caso o espaço amostral
será composto pelos quatros naipes possíveis: ouro, paus, copas e espadas
Outro experimento poderia consistir na inspeção de uma máquina de uma fabrica, com vista
à ocorrência de peças com defeitos durante o espaço de tempo de uma hora, o espaço amostral
pode ser 0, 1, 2, 3, 4, ... n peças.
6.3. Métodos do Cálculo da Estimativa: Clássico; Freqüência relativa e
Subjetivo
O cálculo da estimativa da ocorrência de um evento será igual á razão entre o número de
casos favoráveis e o número de casos possíveis de ocorrer, sendo todos igualmente prováveis.
P( A) 
n( A)
onde
n(U )
P( A) = probabilidade de ocorrer o evento A
n( A)  número de elementos do evento A
n(U )  número total de resultados possíveis
EXEMPLOS:
1) Qual a probabilidade de se obter um ponto par no lançamento de um dado?


A   ponto par   2,4,6  n( A)  3




U   pontos do dado  1,2,3,4,5,6  n(U )  6


3 1
P( A)    0,5  50%
6 2
2) Lançando-se duas vezes uma moeda, qual a probabilidade de ocorrer duas “caras”?
Seja c a ocorrência de “cara” e k a ocorrência de “coroa”
Os casos possíveis de ocorrer são os arranjos: cc, ck, kc, kk


A  sair duas caras   cc  n( A)  1


U  cc, ck , kc, kk  n(U )  4
1
P( A)   0,25  25%
4
3) Qual a probabilidade de se obter uma “dama” retirando se ao acaso uma carta de um
baralho?
Baralho  13 cartas de cada naipe e 4 naipes  total 52 cartas


A  damas do baralho   n( A)  4




U  cartas do baralho   n(U )  52


4
1
P( A) 

 0,0769  7,69%
52 13
4) Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 bolas vermelhas. Ao acaso, duas bolas vão ser
retiradas da urna simultaneamente. Qual a probabilidade de que estas bolas sejam
brancas?
Tenho dentro da urna 5 bolas brancas, quero retirar duas.
Existem C 5, 2 (combinação de 5 bolas tomadas duas a duas) maneiras de sair as bolas
brancas
Existem C11, 2 (combinação das 11 bolas tomadas duas a duas) maneiras de sair as bolas
A = combinações das 5 bolas brancas tomadas 2 a 2
U=
combinações das 11 bolas tomadas 2 a 2
P( A) 
 n( A)  10
 n(U )  55
10
 0,1818  18,18%
55
Observe que C n , p 
Agora resolva você!
n!
(este valor pode ser obtido usando a calculadora científica)
p!(n  p)!
LISTA DE EXERCÍCIOS 1
1. Qual a probabilidade de se obter ponto menor que 3 quando se joga um dado?
a) 50%
b) 33,33%
c) 25%
d) 66,66%
2. Extrai-se uma carta de um baralho, qual a probabilidade de se obter:
2.1.Uma figura?
a) 23,08%
b) 1,92%
c) 3,85%
d) 13,08%
2.2. Um “valete” ou um “rei”?
a) 17,08%
b) 25,38%
c) 5,38%
d) 15,38%
2.3. Uma carta vermelha?
a) 25%
b) 75%
c) 50%
d) 35%
3. Em uma urna temos: 30 bolas azuis, 25 bolas pretas, 20 bolas vermelhas e 15 bolas
brancas, e vamos retirar ao acaso uma bola desta urna. Qual a probabilidade dela ser::
3.1 Azul?
a) 22,06%
b) 30%
c) 25%
d) 33,33%
3.2. Preta?
a) 17,28%
b) 27,78%
c) 28,87%
d) 18,38%
3.3. Vermelha?
a) 22,22%
b) 33,33%
c) 37,25%
d) 25,25%
3.4. Branca?
a) 11,25%
b) 25%
c) 16,67%
d) 67,67%
3.5. Branca ou vermelha?
a) 38,89%
b) 30%
c) 45,2%
d) 28,89%
3.6.Azul ou branca?
a) 30%
b) 40%
c) 25%
d) 50%
4. No lançamento simultâneo de 2 dados, qual a probabilidade de que:
4.1. A soma dos pontos obtidos seja 9?
a) 30%
b) 40%
c) 25%
d) 50%
4.2. O produto dos pontos obtidos seja menor que 20?
a) 65%
b) 67,67%
c) 34,5%
d) 77,78%
4.3. Os pontos obtidos sejam iguais?
a) 16,67%
b) 65%
c) 26,65%
d) 32,25%
(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5)(1,6) 
(2,1); (2,2);........ ..............(2,6)


(3,1);........ .......................(3,6) 
OBS: U  
  n(U )  36
(
4
,
1
);........
..........
..........
..(
4
,
6
)


(5,1);........ ......................(5,6) 


(6,1);........ ......................(6,6) 
5. No lançamento de dois dados e na observação dos pontos das faces superiores determine a
probabilidade do produto ser menor que 15.
a) 55,55%
b) 61,11%
c) 63,89%
d) 41,66%
6. Em uma urna temos: 10 bolas azuis, 20 bolas pretas e 22 bolas vermelhas, e vamos retirar ao
acaso uma bola desta urna. Qual a probabilidade dela ser Preta?
a) 38,46%
b) 20%
c) 22%
d) 19,23%
7. Extrai-se uma carta de um baralho, qual a probabilidade de se obter um “ás”?
a) 76,92%
b) 0,76%
c) 5,77%
d) 7,69%
8. Extrai-se uma carta de um baralho, qual a probabilidade de se obter uma figura preta?
a) 50%
b) 11,54%
c) 1,15%
d)17,31%
RESPOSTAS:
1) b
2.1) a 2.2) d 2.3) c
3.1) d 3.2) b 3.3) a 3.4) c 3.5) a
4.1) b 4.2) d 4.3) a
5) c
6) a 7) d 8) b
3.6) d
Os eventos podem relacionar-se entre si de maneira complementar, mutuamente excludente
ou ainda coletivamente exaustivo.
Eventos Complementares
Eventos Excludentes
Eventos Coletivamente exaustivos
Dado um evento A, o evento B é seu
complementar se tiver (conter) todos os outros
resultados possíveis do espaço amostral
São os eventos que não tem elemento comum,
ou se não podem ocorrer simultaneamente,
Os eventos serão coletivamente exaustivo se
nenhum outro resultado é possível para o
experimento em questão.
EXEMPLOS
1.
a)
b)
c)
2.
a)
b)
c)
3.
a)
b)
c)
São eventos complementares:
Joga-se uma moeda. Evento A = sair cara; Evento B = sair coroa.
Joga-se um dado. Evento A = sair um número par; Evento B = sair um número ímpar.
Ocorre um acidente no trânsito. Evento A = sair ferido; Evento B = saiu não ferido.
São eventos mutuamente excludentes:
Número de irmão de cada aluno da sala. Ter 1 irmão; 2 irmãos; 3 irmãos.
Tirar nota abaixo da média; tirar nota acima da média.
Dirigir um carro, andar a pé.
São eventos coletivamente exaustivos:
Ganhar, perder ou empatar num jogo de futebol
Ser feliz ou não ser feliz
Ter sido promovido ou não ter sido promovido
A estimativa da ocorrência de um evento pode ser determinado de 3 maneiras:
1) Método Clássico – Quando o espaço amostral tem resultados igualmente provável.
- Em uma caixa temos 10 fusíveis “bons” e 3 “defeituosos”. Retira-se um fusível ao acaso, a
probabilidade dele ser defeituoso é de: P( A) 
n( A) 3

 23,08%
n(U ) 13
2) Método Empírico – Tem como base a freqüência relativa de ocorrência de um evento num
grande número de provas repetidas.
- Uma pesquisa de trafego realizado no trecho de uma avenida revelou que dos 200 carros que
foram vistoriados 25 tinham pneus em más condições. A probabilidade de que o próximo carro a
ser vistoriado tenha pneus bons é;
P( A) 
número de ocorrência s de A
175

 87,5%
número total de provas ou observações 200
3) Método Subjetivo – Utiliza estimativas pessoais de probabilidade, tendo como base um certo
grau de crença, ou seja, a probabilidade neste caso é uma avaliação pessoal do grau de viabilidade de
um evento.
- Um corretor de seguros estima em 30% a probabilidade de vender hoje uma apólice de seguros a
um jovem casal.
6.4. A Matemática da Probabilidade
Muitas aplicações de estatística utilizam a probabilidade de “combinações” de eventos: União
ou intersecção de dois eventos
Evento União: Ocorrer o evento A ou o evento B. A probabilidade de ocorrer um evento
A ou um evento B (ou ambos) numa prova é igual à soma das probabilidades dos eventos
ocorrerem separadamente, menos a probabilidades de ocorrerem simultaneamente.
P( A  B)  P( A ou B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
se A  B   então P( A  B)  P( A)  P( B)
Exemplos:
1) Qual a probabilidade de sair 5 ou 6 quando se joga um dado.
1
1




A  sair 5; B  sair 6 P( A) 
P( B) 
6
6




1 1 2 1
A  B    P( A  B)      33,33%
6 6 6 3
2) Qual a probabilidade de sair um número par ou um número menor que 3 quando se joga
um dado.


A  número par   2,4,6


n( A)  3  P( A) 


B  número menor que 3  1,2


A  B  2
P( A  B) 
3 1

6 2
n( B )  2  P ( B ) 
n( A  B )  1  P ( A  B ) 
2 1

6 3
1
6
1 1 1 3  2 1 4 2
  
   66,67%
2 3 6
6
6 3
Evento Intersecção: Ocorrer o evento A e o evento B. A probabilidade de dois eventos A e
B ocorrerem simultaneamente numa prova é igual à probabilidade de um, multiplicada pela
probabilidade condicional do outro em relação ao primeiro.
P( A  B)  P( A)  P( B / A)
ou
P( A  B)  P( B)  P( A / B) .
Quando os eventos A e B forem independentes “Quando a ocorrência de um não influencia
a ocorrência do outro”, então:
P( A  B)  P( A)  P( B)
EXEMPLOS:
1) Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho, qual a probabilidade de ocorrer
“figura” e “espadas”?
A   figura  n( A)  12  P( A) 
B  espadas  n( B)  13
12 3

52 13


A  B   figura de espadas   n( A  B)  3


n( A  B ) 3 1
P( B / A) 

 ( probabilid ade de sair espada, sabendo que saiu figura )
n( A)
12 4
3 1 3
P( A  B)  P( A)  P( B / A)   
 5,77%
13 4 52
2) Joga-se duas moedas, qual a probabilidade de ocorrer cara nas duas?
A = sair cara na 1ª moeda B = sair cara na 2ª moeda
Sair cara na segunda moeda, não depende do resultado da primeira, A e B são eventos
independentes.
P( A) 
1
2
P( B) 
1
1 1 1
 P( A  B)     25%
2
2 2 4
3) Uma rifa é composta por 50 números irá definir o ganhador de 2 prêmios sorteados um
de cada vez. Se você adquiriu 5 números, qual é a probabilidade de ganhar os 2 prêmios?
 Quero ganhar o primeiro e o segundo premio.
5
1

50 10

Ganhar o primeiro premio  P (1) 

Para o segundo premio, tenho 4 números e restam 49 números  P (2) 

P(1e2) 
4
49
1 4
4


 0,00816  0,82%
10 49 490
4. Um projeto para ser transformado em lei deve ser aprovado pela Câmara dos Deputados
e pelo Senado. A probabilidade de que certo projeto seja aprovado pela Câmara dos
Deputados é de 40%. Caso seja aprovado na Câmara dos Deputados, a probabilidade de
ser aprovado no Senado é de 80%. Calcule a probabilidade deste projeto ser
transformado em lei.
 O projeto deve ser aprovado pela Câmara dos Deputados e pelo Senado
P( DeS )  0,40  0,80  0,32  32%
5. Uma urna A contém 6 bolas vermelhas e 8 bolas azuis e uma urna B contém 4 bolas
vermelhas e 6 azuis. Uma prova consiste em retirar, ao acaso uma bola da urna A e
passar para a urna B e, em seguida retirar uma bola da urna B. Qual a probabilidade de
que ela seja azul?
Urna A
6V
Passar 1 V
8A
ou
Passar 1 A
Urna B
4V
Sair 1 bola Azul
6A
 P (V ) 
6
14

1° caso: Passamos uma bola vermelha para a urna B

Na urna B ficamos com 5V e 6A com um total de 11 bolas, agora devemos tirar uma bola
azul da urna B

Probabilidade de sair Azul da urna B  P ( A) 


6
11
A probabilidade de passarmos uma bola vermelha e tirar uma bola Azul será
6 6
36
P(VA)   
14 11 154
8
2° caso: Podemos também passar uma bola azul para a urna B  P ( A) 
14

Na urna B ficaram 4V e 7A, total de 11 bolas, agora devemos tirar uma bola azul da urna B

Probabilidade de sair Azul da urna B  P ( A) 

A probabilidade de passarmos uma bola Azul e tirar uma bola Azul será
P ( AA) 

7
11
8 7
56
 
14 11 154
Como pode acontecer o 1° caso ou o 2° caso, concluímos que
P( A) 
36
56
92


 0,5974  59,74%
154 154 154
6. Um piloto de Fórmula 1 tem 50% de probabilidade de vencer determinada corrida,
quando esta se realiza sob chuva. Caso não chova durante a corrida, sua probabilidade de
vitória é de 25%. Se o serviço de Meteorologia estimar em 30% a probabilidade de que
chova durante a corrida, qual a probabilidade deste piloto ganhar esta corrida?
 O piloto pode ganhar a corrida com chuva ou sem chuva
 Ganhar com chuva = 50% e probabilidade de chover = 30%
 0,5 . 0,3 = 0,15
 Ganhar sem chuva = 25% e probabilidade de não chover =70%
 0,25 . 0,7 = 0,175
 P( ganhar )  0,15  0,175  0,325  32,5%
6.5. Técnicas de Contagem
Ao utilizarmos o método Clássico para determinarmos a probabilidade de um determinado
evento, é preciso conhecer o número total de resultados possíveis de um experimento, para isto
empregamos técnicas de contagem.
1. Listar os resultados possíveis.
Responder questões do tipo Verdadeiro ou Falso.
Se houver apenas uma questão, as possibilidades serão:
V ou F  2 possibilidades.
Se tivermos 2 questões, as possibilidades serão:
VV; VF; FV ou FF  4 possibilidades.
Quando tivermos 3 questões, as possibilidades serão:
VVV; VVF; VFV; VFF; FVV; FVF; FFV; FFF  8 possibilidades
Podemos aprimorar esta técnica de contagem no emprego das árvores de decisão:
Fig. 1 - A utilização de um diagrama em árvore
n° 2
Questão n° 1
V
V
n° 3 resultados
V
VVV
F
V
VVF
VFV
F
V
VFF
FVV
F
FVF
V
FFV
F
FFF
F
V
F
F
Podemos expandir o diagrama em árvore, para quantas questões forem necessárias, mas não
é prático, se tivéssemos três alternativas complicaria ainda mais, mesmo porque não necessitamos
de todos os resultados, e sim, sabermos quantos resultados é possível, para isso utilizamos o
principio da multiplicação.
O princípio da multiplicação afirma que, se o primeiro experimento admite a resultados
possíveis, o segundo tem b resultados possíveis, podendo ocorrer qualquer combinação desses
resultados, então o número de resultados possíveis deste experimento será a x b
 Jogando-se uma moeda e um dado, a moeda pode apresentar dois resultados e o
dado pode apresentar seis resultados, logo o número total de resultados é 2 . 6 = 12
 Na jogada de 3 dados, cada um pode apresentar 6 resultados diferentes, o número
de resultados possíveis é 6 . 6 . 6 = 36
 Tenho 5 camisas e 3 gravatas diferentes, o número de resultados possíveis de
camisas e gravatas será: 5 . 3 =15
 A probabilidade de um aluno que responde aleatoriamente 10 testes do tipo
“verdadeiro ou falso” acertar todas as 10 questões será:
Número de resultados possíveis  2 . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 210 = 1024
Destes 1024 resultados possíveis apenas um tem a combinação dos 10 resultados
corretos, logo  P(10 resultados corretos) =
1
 0,00097656  0,0976%
1024
Quando a ordem dos elementos não importa, o número de todas as combinações possíveis será
dado por: C n, p 

n!
p!(n  p)!
lembrando que n!  n  (n - 1)  (n  2)  .........3  2  1
Quantos comitês, podemos formar com 3 pessoas cada um, se temos um grupo de 10
pessoas?
C10,3 
10!
10! 3628800 3628800



 120
3!(10  3)! 3!7! 6(5040)
30240
podemos formar 120 comitês diferentes

De quantas maneiras podemos formar representações compostas por 1 homem e 2
mulheres se dispomos de 5 mulheres e 6 homens?
mulheres  C5, 2 

5! 120

 10
2!3! 12
hom ens  C 6,1 
6! 720

 6  P(2M ,1H )  10  6  60
1!5! 120
A Pizzaria ‘La Gôndola” oferece os seguintes tipos de pizza: presunto, cogumelo,
pimentão, atum, tomate e mussarela. De quantas maneiras podemos escolher 3 tipos de
pizzas?
C 6,3 
6! 720

 20 podemos fazer o pedido de 20 maneiras diferentes
3!3! 36
LISTA DE EXERCÍCIOS 2
.
1. O Sr Pedro guarda seu dinheiro em uma caixa. Esta contém 3 notas de R$100,00; 5 notas
de R$ 50,00; 6 notas de R$10,00 e 8 notas de R$ 5,00. Se ele retirar da caixa duas notas
simultaneamente e ao acaso, qual a probabilidade de que uma seja uma de R$100,00 e a
outra de R$50,00
a) 8,6%
b) 6,4%
c) 15%
d) 10,6%
2. Uma rifa é composta por 100 números e irá definir o ganhador de 3 prêmios sorteados um
de cada vez. Se você adquiriu 4 números, qual é a probabilidade de ganhar os 3 prêmios?
a) 0,001%
b) 5%
c) 0,002%
d) 2%
3. Uma urna A contém 8 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Outra urna contém 6 bolas
brancas e 7 bolas vermelhas. Passa-se uma bola, da urna A para a urna B, e em seguida
retira-se uma bola da urna B. Qual a probabilidade desta bola ser branca?
a) 47,25%
b) 67,8%
c) 56,8%
d) 75,2%
4. Um vendedor prevê que a probabilidade de consumar uma venda durante o primeiro
contato telefônico com um cliente é de 45%, mas melhora para 60% no segundo contato,
caso o cliente não tenha comprado no primeiro contato. Suponha que este vendedor faça
no máximo dois contatos para cada cliente. Se ele entrar em contato com um cliente calcule
a probabilidade de esse cliente:
4.1) efetuar a compra
a)78%
b) 45%
c) 65%
d) 25%
4.2) não efetuar a compra
a) 45%
b) 75%
c) 65%
d)22%
5. Três companhias A, B e C disputam a obtenção do contrato de fabricação de um foguete
meteorológico. A chefia do departamento de vendas de A estima que sua companhia tem
probabilidade igual à da companhia B de obter o contrato, mas que por sua vez é igual a
duas vezes a probabilidade de C obter o mesmo contrato. Determine a probabilidade de A
ou C obter o contrato
a) 60%
b) 50%
c) 40%
d) 70%
6. Numa sala há 6 homens e 4 mulheres e numa outra sala há 8 homens e 9 mulheres. Ao
tocarem a campainha da porta, sai uma pessoa de cada sala para atender. Qual a
probabilidade de que ambas sejam do mesmo sexo?
a) 33,33%
b) 39,41%
c) 49,41%
d) 66,84%
7. Uma empresa avalia em 60% a sua probabilidade de ganhar uma concorrência para o
recolhimento do lixo em um bairro A da capital. Se ganhar a concorrência no bairro A,
acredita que tem 90% de probabilidade de ganhar outra concorrência para o recolhimento
do lixo em um bairro B próximo de A Determine a probabilidade de a empresa ganhar
ambas as concorrências?
a) 45%
b) 54%
c) 75%
d) 57%
8. Um aluno propõe-se a resolver uma questão de um trabalho. A probabilidade de que
consiga resolver a questão sem necessidade de pesquisa é de 40%. Caso faça a pesquisa, a
probabilidade de que consiga resolver a questão é de 70%. Se a probabilidade do aluno
fazer a pesquisa é de 80%, calcule a probabilidade de que consiga resolver a questão.
a) 60%
b) 64%
c) 84%
d) 70%
Respostas: 1) 6,4% 2) 0,002% 3) 47,25%
5) a 6) c 7) b 8) b
4.a) 78%
4.b) 22%