prova 3 - Escola Carlos Nabais

PROVA 3
Exercício 1:
No vale da Sabedoria vivem 5000 indivíduos, todos com o mesmo nível de
rendimento, no montante de M. Você é o gestor de uma empresa que deseja
vender livros e revistas para este Vale, estando, por isso, interessado em
conhecer melhor o potencial deste mercado. Estudos de mercado indicaram que
as preferências de cada um destes indivíduos podem ser descritas por
U ( x, y, z )  ln( x)  ln( y )  z , onde x e y representam as quantidades
consumidas de livros e revistas, respectivamente, e z representa o rendimento
utilizado no consumo dos restantes bens.
a) Escreva a restrição orçamental de cada habitante do Vale, sendo Px e Py os
preços de livros e revistas, respectivamente. Explique cuidadosamente.
Resolução: A restrição orçamental seria:
px x  p y y  z  M .
b) Determine as funções procura individuais e agregadas dirigidas a livros e a
revistas. (Cotação: 1.5 valores)
Resolução: As funções de procura individuais resultam de resolver o problema:
Max ln x  ln y  z
.
s.a. p x x  p y y  z  M
As condições de primeira ordem levariam a:
1
1

 x  p x
x  p
x


 1  p

1
y
 y 
,
y
py


1  
z  M  p x  p y
x
y
p x  p y  z  M

y

 x
onde as duas primeiras são as expressões das funções de procura individual de livros e
revistas, respectivamente. As funções procura agregadas serão:
5000

x  p

x
.

 y  5000

py
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c) Os bens livros e revistas são substitutos ou complementares? Quanto
aumentaria a procura de cada um dos bens se o rendimento aumentasse em 1%?
Resolução: Os bens são independentes, porquanto as elasticidades preço cruzadas são
nulas. Por outro lado, se o rendimento aumentasse, as procuras manter-se-iam
constantes, sendo o acréscimo de rendimento integralmente dispendido em outros bens.
d) Suponha que o rendimento de cada habitante do Vale é igual a 100 e que os
preços de livros e revistas são, respectivamente, p x  1 e p y  0.5 . Quantos
livros e quantas revistas espera vender no Vale, se alcançar 10% de quota de
mercado?
Resolução: Substituindo os valores nas funções procura agregada, obter-se-ia a
procura total de 5000 livros e 10000 revistas. Se a empresa alcançar uma quota de
mercado de 10% venderá 500 livros e 1000 revistas.
Exercício 2:
Uma certa empresa tem uma função de custos de curto prazo descrita por
C ( q, K ) 


q3 1 2
 q  K 2  q , onde q é a quantidade produzida e K é o factor
K 2
fixo no curto prazo.
a) Verifique que a função de custos de longo prazo é descrita por
C (q, K )  2q 2  q . Qual o nível óptimo de K, para cada nível de produção?
Resolução: O nível óptimo de longo prazo para o factor K obtém-se resolvendo o
problema:
q3 1 2
min K C (q, K ) 
 q  K 2  q ,
K 2
ou seja:
q3
 2  K 0 K q.
K
Portanto, substituindo esta função por K na função de custos de curto prazo obtém-se a
função de custos de longo prazo, C (q, K )  2q 2  q .


Na sequência de uma política de liberalização dos preços das matérias primas,
os custos desta empresa são incertos (dependendo dos preços internacionais das
matérias primas), podendo  assumir o valor de 45 com probabilidade 0.6 ou de
105 com probabilidade 0.4. A empresa é neutra ao risco e, em virtude de utilizar
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contratos de longo prazo para a venda do seu produto, necessita de decidir a
quantidade a produzir antes de saber qual o custo das matérias primas. Esta
empresa é monopolista na produção deste bem, cuja procura é descrita pela
expressão Q( p)  225  p .
b) Qual a quantidade que a empresa vai produzir? Que preço praticará? Qual o
lucro esperado? (Cotação: 1.5 valores)
Resolução: Sendo neutra ao risco a empresa vai escolher a sua produção de forma a
maximizar o seu lucro esperado:
Max q 225  qq  2q 2  0.6  45  0.4  105q ,
ou seja:
225  2q  4q  69  0  q  26 .
O preço será 199 e o lucro esperado será 2028.
c) Quais os motivos que poderão justificar que a empresa deseje utilizar
contratos de longo prazo para a venda do seu produto?
Resolução: A empresa deverá utilizar contratos de longo prazo quando existir a
possibilidade de comportamento estratégico, após a produção, por parte do comprador.
Talvez seja o caso de a empresa produzir um produto com elevado grau de
especificidade, que não possa ser facilmente vendido a outro comprador.
d) Quererá a empresa realizar um contrato de longo prazo que permita fixar os
preços das matérias primas, de tal modo que a função de custos seja sempre a
menor (isto é C (q)  2q 2  45q )? Quanto é que a empresa estaria disposta a
pagar por esse contrato?
Resolução: Caso os custos da empresa fossem sempre descritos por C (q)  2q 2  45q
a produção óptima da empresa resultaria de:
Max q 225  q q  2q 2  45q ,
pelo que:
225  2q  4q  45  0  q  30 .
O preço seria 195 e o lucro seria 2700. Portanto, a empresa estaria disposta a pagar até
672 para escrever esse contrato de longo prazo.
Suponha que o monopolista realizou o contrato de longo prazo para compra de
matérias primas pelo menor preço. Não satisfeitos com o lucro alcançado, os
seus administradores desejam aumentar o lucro pelo o que contrataram um
consultor externo que lhes propôs a adopção de uma política de descontos.
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e) Qual o desconto óptimo? Será esta a única forma possível de aumentar os
lucros?
Resolução: A política óptima de descontos permitiria vender a quantidade eficiente:
225  q  4q  45  0  q  36 .
O preço a ser pago pela última unidade teria de ser igual a 189. Uma política óptima de
descontos poderia então ser a de praticar o preço de 225 e conferir um desconto de 16%
(ou seja o preço de 189) nas unidades além de 18. Como é sabido existiriam muitas
outras formas de determinar uma política óptima de descontos, mas tal poderia ser feito
através de tarifas de duas partes, venda de cabazes de unidades, etc.
O governo, entendendo que a empresa tem um poder de mercado excessivo,
decidiu proibir a política de descontos de preços (ou qualquer outra
discriminação de preços), abrindo também o mercado a outra empresa. A nova
empresa, tem a função de custos C B (q B )  2q B2  85q B . As duas empresas vão
competir por via das quantidades. Porém, antecipando a entrada da nova
empresa, a empresa já instalada actua como líder de quantidades.
f) Quais as quantidades que serão produzidas pelas duas empresas, que preço
será praticado e que lucros serão alcançados? (Cotação: 2 valores)
Resolução: Trata-se de um duopólio de Stackelberg. A empresa B (seguidora)
determina a sua quantidade resolvendo:
Max (225  q A  q B )q B  2q B2  85q B ,
pelo que:
140  q A
.
225 q A 2q B  4q B  85  q B 
6
Então, a empresa A (líder) produzirá por forma a:
140  q A 

Max  225  q A 
q A  2q A2  45q A ,
6


pelo que:
940
1210  5q A  24q B  270  q A 
 32.414 .
29
520
5065
1767200
Portanto, q B 
 17.931 , p 
 174.655 ,  A 
 2101 .308 e
29
29
841
811200
B 
 964.566 .
841
Passado algum tempo, a concorrência entre as empresas atenuou-se, evoluindo
para um acordo implícito de cartel.
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g) Comente a afirmação: “Qualquer que seja a quantidade a produzir pelo cartel,
para se alcançar o custo mínimo serão sempre utilizadas as fábricas das duas
empresas.”
Resolução: O cartel produzirá igualando os custos marginais nas duas fábricas. Como
o custo marginal da primeira unidade produzida pela empresa A é igual a 45, e o da
empresa B é igual a 85, para valores inferiores a 85 (isto é produções inferiores a 15) só
se produzirá na empresa A.
h) Calcule as quantidades que cada empresa deve produzir por forma a
maximizar o lucro conjunto, o preço de mercado e os lucros das empresas,
nestas circunstâncias.
Resolução: As produções serão decididas como se de um monopolista com duas
fábricas se tratasse:
Max 225  q A  q B q A  q B   2q A2  45q A  2q B2  85q B ,
pelo que:
225  2q A  2q B  4q A  45 q A  25
.


225  2q A  2q B  4q B  85
q B  15
Os restantes valores são p  185 ,  A  2250 e  B  1050 .

 

i) Será este acordo estável a longo prazo? Responda em termos genéricos sem
necessitar de realizar cálculos. (Cotação: 1 valor)
Resolução: Este acordo não seria estável a curto prazo. A sua estabilidade a longo
prazo depende do factor de desconto.
Exercício 3:
Descreva brevemente como se determina a função de custos de uma empresa, a
partir da função de produção e dos preços dos factores.
Resolução: Caso se disponha da função de produção e dos preços dos factores, a
função de custos de uma empresa pode ser determinada a partir da resolução do
problema de minimização do custo de utilização de factores sujeito à produção de certa
quantidade. Exemplificando, se F ( K , L) for a função de produção e rK e rL foram os
preços dos factores, resolve-se o problema:
min rK K  rL L
.
s.a. F ( K , L)  q
As condições de primeira ordem levam-nos a:
F

rK   K

F
 K  K (q, rK , rL )

,
rL  
L
 L  L(q, rK , rL )

 F ( K , L)  q

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que são as funções procura de factores. Substituindo estas funções na expressão dos
custos obtemos a função de custo: C (q, rK , rL )  rK K (q, rK , rL )  rL L(q, rK , rL ) .
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