matdis 2006-1 2AP 28-06

\MATEMÁTICA DISCRETA
2º. AP (28-06-2006)
1.
Uma colônia de morcegos é contada a cada dois meses. As quatro primeiras
contagens foram de 1.200, 1.800, 2.700 e 4.050. Se esta taxa de crescimento continuar,
qual será a 12ª. contagem?
2.
Problema da Torre de Hanói.
Inicialmente os discos formam uma torre onde todos são colocados em um dos pinos
em ordem decrescente de tamanho.
Devemos transferir toda a torre para um dos outros pinos de modo que cada
movimento é feito somente com um disco, nunca havendo um disco maior sobre um
disco menor.
a)
Escreva um programa recursivo em pseudo-código (qualquer pseudo-código)
para resolver o problema da Torre de Hanói.
b)
Qual a menor quantidade de movimentos necessária para resolver o problema
com n discos? Qual a quantidade de movimentos que seu programa executa?
3. Uma árvore é uma estrutura definida recursivamente como se segue.
(i)
Um único nó é uma árvore.
(ii)
Dadas T1, ..., Tn árvores, adicionando-se um novo N nó (a raiz) e ligando-o (por
arestas) às raízes de cada árvore T1, ..., Tn, obtém-se uma nova árvore.
a) Prove por indução estruturada que em qualquer árvore o número de nós é igual ao
número de arestas mais 1.
4.
Um outro algoritmo para se ordenar n (n  2) números em ordem crescente, é
obtido primeiro encontrando os dois maiores números e em seguida (recursivamente)
ordenando os n – 2 números restantes. Note que na primeira parte do algoritmo são
feitas 2n -3 comparações.
a)
Escreva o pseudo-código deste algoritmo.
b)
Este algoritmo é mais eficiente do que o algoritmo “ordenação por seleção”
dado em classe? Note que no algoritmo de ordenação faz-se n-1 comparações para se
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obter o maior número e depois se ordena recursivamente os n– 1 números restantes.
Neste algoritmo são necessárias n(n – 1)/2 comparações.
5.
a)
Resolva as equações de recorrência.
an = 2an-1 + n2n;
a1 = 2.
b)
an = 2an/2 + n2;
a1 = 1;
n = 2m, n  1.
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