Questão 10.

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE FÍSICA
MECÂNICA I - FMT 305 - 1° SEMESTRE DE 2003
período noturno
Prof. Maria José Bechara
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Tópico IV. O movimento descrito por sistemas não inerciais
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tempo previsto: duas semanas
IV.1 A invariança da força para referenciais inerciais pelas
transformações de Galileu para o espaço e o tempo.
IV.2 A segunda lei de Newton para um referencial acelerado: forças
físicas e forças de inércia; forças de inércia num referencial acelerado
em translação, em rotaçãõ e em movimento acerado qualquer.
IV.4 Efeitos inerciais da rotação da Terra (o planeta) nos movimentos
observados de sua superfície: direção radial, direção vertical e a
aceleração da gravidade local, o desvio da vertical na queda livre, o
pêndulo de Foucault e outros efeitos.
REFERÊNCIAS:
1. Jerry B.
Marion e Stephen T. Thornton em “Classical Dynamics of Particles and Systems” da
“Saunders College Publishing”, 4a. edição; Cap. 10
2. Keith
R. Symon em “Mecânica” da Editora Campus, Cap. 7.
referência de apoio:
3. H. Moysés Nussenzveigh em “Curso de Física Básica 1 - Mecânica” da Editora Edgard Blucher
Ltda. Cap. 13.
Mecânica I – Lista tópico IV
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QUESTÕES REFERENTES AO TÓPICO IV
Questão 1.
Um carro está em movimento retilíneo uniformemente acelerado ao longo de uma estrada. João, que está
dentro do carro, realiza algumas experiências com diferentes objetos. Maria, que está fora do carro em um
ponto fixo da estrada, observa João realizar essas experiências. Para cada uma das diferentes experiências
colocadas abaixo, descreva como João e/ou Maria, cada um em seu próprio sistema de referência, descrevem o
movimento dos objetos (ou seja, como o movimento dos objetos serão vistos por João em relação ao interior
do carro - sistema de referência não-inercial, e por Maria em relação à estrada - para estes experimentos um
sistema de referência inercial). Como parte de sua descrição, esboce, em cada caso, a trajetória dos objetos
observada por João e Maria.
Nos itens abaixo, considere que o chão do carro está em perfeito nível, ou seja, não possui nenhuma
inclinação.
(a) João coloca uma bola no nível do chão do carro. A bola permanecerá em repouso no lugar em que ele a
colocar? Justifique.
(b) João rola uma bola no chão do carro em linha reta e com velocidade uniforme em relação a ele mesmo
(i) em direção à frente do carro;
(ii) em direção à parte de trás do carro;
(iii) em direção à lateral do carro.
(c) João deixa cair uma bola de suas mãos de uma altura h em relação ao chão do carro.
(d) João lança uma bola verticalmente para cima e a pega de volta quando ela retorna.
(e) João monta um pêndulo fixo no teto do carro. Aqui a questão é como o pêndulo parecerá pendurado em
relação ao teto do carro para cada um dos dois observadores.
(f) João lança uma bola em direção à frente do carro com velocidade inicial horizontal.
(g) João lança uma bola com velocidade inicial horizontal diretamente para a parte de trás do carro.
Considere o caso particular em que a magnitude dessa velocidade horizontal seja igual à velocidade
horizontal do carro em relação à estrada.
(h) João tem, em repouso no chão do carro, um balde com água. Aqui a questão é se a superfície da água
fica paralela ao chão do carro ou tem alguma inclinação com relação a ele, sempre do ponto de vista de
cada um dos dois observadores.
Questão 2.
Um bloco de massa m encontra-se em repouso sobre um plano inclinado com
ângulo de inclinação . O plano inclinado, inicialmente em repouso sobre uma
mesa horizontal, é colocada em movimento com aceleração crescente de

magnitude A . Se e é o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano,
para que valor de A o bloco começará a deslizar para cima sobre o plano?
2
Mecânica I – Lista tópico IV
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Questão 3.
Uma haste AOB (figura ao lado) gira em um plano vertical (o plano yz)
em torno de um eixo horizontal (o eixo x) passando por O e
perpendicular a este plano com uma velocidade angular constante .
Admitindo que não existem forças de atrito, determine o movimento
de uma partícula P de massa m que se move ao longo da haste.
Um problema equivalente existe quando AOB é trocado por um tubo
oco e fino, dentro do qual a partícula se move.
Questão 4.
Assumindo a Terra como sendo uma esfera com centro em O, girando em torno de seu eixo com velocidade
angular


(figura abaixo) e desprezando o efeito da rotação da Terra em torno do Sol,
a) Mostre que a equação de movimento de uma partícula relativamente a um observador na superfície da terra é
dada por:

d2r
dr 

 g  2         r
dt 
dt 2

GM 
onde
g   3      R ,
 
 


R é o raio da terra, e  a velocidade de rotação da Terra em torno de seu eixo, ̂ é a direção radial em relação ao
centro da Terra.
b) Mostre que
 
    r  g ,
para r R de modo que a
equação de movimento pode ser aproximada por:

 dr
d2r
 g  2  v , v 
dt
dt 2
 
c) Mostre que, se a partícula move-se próximo à superfície da
Terra, as equações de movimento no sistema de referência do
observador na superfície do Planeta são dadas por:
x  2 cos  y
y  2 cos  x  sen z 
z   g  2 sin  y
onde x, y , z e  estão definidos na figura.
d) Um objeto de massa m inicialmente em repouso é abandonado de uma altura pequena comparada ao raio
da terra. Mostre que após de um tempo t, o objeto é desviado de uma quantidade
1
gt 3 sin  para
3
leste, quando são desprezados os efeitos de ordem igual ou superior a 2.
(Sugestão: integre as equações obtidas no item c) obtendo x , y , z e integre novamente para obter x, y e z
sempre utilizando as condições de contorno em t  0 , x  y  z  0 e x  y  0 , z  h . As equações
obtidas para x, y e z serão equações integrais, as quais podem ser resolvidas pelo método das aproximações
sucessivas.
Exemplo: dada a equação
3
Mecânica I – Lista tópico IV
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t
f t   g t    f u du
0
aproximamos sucessivamente a solução por
f 0 t   g t 
t
f 1 t   g t    f 0 t dt
0
t
f 2 t   g t    f 1 t dt
0
.
.
.
.
Questão 5.
Um tubo cilíndrico oco AOB de comprimento 2a (figura ao lado) gira
com uma velocidade angular

 em torno de um eixo vertical que
passa pelo centro O. Uma partícula está inicialmente em repouso
no tubo, a uma distância b de O. Suponha que não existe força de
atrito. Determine para um referencial inercial
(a) A posição da partícula em um instante qualquer.
(b) A velocidade da partícula em um instante qualquer.
(c) Quanto tempo a partícula levará para sair do tubo e qual será
sua velocidade de saída?
Questão 6.
(a) Resolva o problema de um corpo em queda livre, do ponto de vista de um observador cujo movimento de
translação, em relação ao observador inercial na Terra (despreze a rotação terrestre), tenha aceleração g.
Resolver o problema significa escrever e resolver as equações neste sistema de coordenadas acelerado.
(b) Faça a transformação de volta para o sistema fixo em relação à Terra.
Questão 7.
Mostre que, devido à rotação da terra em torno de seu eixo, o peso de um objeto de massa m na co-latitude 
é m
g   Rsen     Rsen  cos  
2
2
2
2
2
onde R é o raio da terra.
Questão 8.
4
Mecânica I – Lista tópico IV
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(a) Prove que o ângulo  , entre uma vertical “real” (direção da radial em relação ao centro da Terra) na
latitude  e a vertical “aparente” (direção do fio de plumo na superfície da Terra) é dado por :
tg 
 2 Rsen  cos 
g   2 Rsen 2 
onde R é o raio da Terra, e g é o valor da aceleração da gravidade para um referencial inercial na Terra.
(b) Qual é o valor do máximo de desvio entre a radial e a vertical? Justifique, e comente o que representa o
denominador da expressão acima.
(c) Qual é o valor do mínimo de desvio? Onde ocorre, em termos de posição geográfica na Terra? Quais as
razões físicas para este valor mínimo?
Questão 9.
(a) Obtenha as equações de movimento de um pêndulo simples, lenvando em conta a rotação da terra em
torno de seu eixo.
(b) Suponha que o pêndulo do item (a) realiza pequenas oscilações em torno de sua posição de equilíbrio, de
modo que o movimento seja no plano horizontal. Determine as equações do movimento do plano neste
caso particular.
(c) Resolva as equações de movimento do pêndulo, no caso do movimento do item (b), explicitando as
supondo condições adequadas para que este movimento aconteça.
(d) Dar a interpretação física da(s) solução(es) .
Questão 10.
Um projétil situado na co-latitude  é disparado com velocidade v0 na direção sudeste formando um ângulo 
com a horizontal.
(a) Encontrar a posição do projétil após um intervalo de tempo t.
(b) Demostrar que após o intervalo de tempo t o projétil é defletido na direção do plano vertical do movimento
inicial numa quantidade dada por :
1
sent 3  v0 cos(    )t 2
3
(c) Mostrar que quando o projétil atinge a horizontal ele está a uma distância do lançamento dada por:
v0 sen 2
3g 2
3 cos  cos   sensen 
na direção oeste do ponto onde deveria cair quando não se leva em conta a rotação axial da Terra.
Questão 11.


F  kr dirigida para o origem.

Introduzindo um sistema de coordenadas que gira em torno do eixo z com velocidade  , escolhida de modo

que a força centrífuga cancele exatamente a força F , encontre as equações diferenciais de movimento.
Uma partícula pode mover-se
no plano xy sob ação de uma força
Determine os movimentos resultantes da partícula para este sistema de coordenadas “girante”.
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