Apresentação do PowerPoint

Introdução
•
Ponto
Reta
A, B, C,...
r, s, p,...
Plano
ß,Ω,...
Relação entre um ponto e uma reta
A
•
r
•B
O ponto A pertence à reta r
O ponto B não pertence à reta r
Relação entre pontos
A
•
E
•
B
•
D
•
C
•
F
•
Os pontos A, B e C são colineares
(existe uma reta que passa pelos três)
Os pontos D, E e F são colineares
(não existe reta que passa pelos três simultaneamente)
Relação entre duas retas de um plano
c
m
r
p
a
n
e
b
No exemplo anterior, temos:
As retas c e m são distintas e paralelas;
As retas b e e são concorrentes e oblíquas;
As retas a e r são coincidentes (paralelas iguais);
As retas p e n são concorrentes e perpendiculares.
Ponto e Reta e Ponto e Plano
Dado um ponto P e uma reta r, temos P ɛ r ou P ɇ r
Dado um ponto P e um plano α, temos P ɛ α ou P ɇ α
Exemplo:
B
•
A
•
•
C
E
•
D
•
•
X
No exemplo anterior, temos:
B ɛ r; B ɇ s; D ɛ s;
D ɇ r; A ɛ r;
A ɛ s, E ɇ r; E ɇ s
Posições de pontos no espaço
Pontos colineares
Pontos tais que existe uma reta à qual eles
pertençam simultaneamente.
A•
B•
C•
Pontos coplanares
Pontos tais que existe um plano que os contém
simultaneamente.
•X
•L
•A
Posições relativas de 2 retas
no espaço
Duas ou mais retas são coplanares quando existe
um plano que contém todas elas.
AB,BC,CD,DA e AC são
coplanares porque o plano
(ABCD) as contém.
Retas coplanares que não têm ponto comum são
chamadas de retas paralelas distintas.
CD e GH, AD e EH, CG e DH
Retas que têm um único ponto comum são
chamadas retas concorrentes.
FG e GH, CG e FG, AD e DH, etc.
Observações:
Duas retas concorrentes são sempre coplanares.
Dadas duas retas, quando não existe um plano contém as
duas, elas são chamadas de retas reversas
(ou não coplanares)
Concorrentes
Coplanares
Duas retas
no espaço
Paralelas
Não coplanares (reversas)
Distintas
Coincidentes
( iguais)
Determinação de um plano
Um único plano passa por três pontos não colineares.
Um plano, também pode ser determinado por:
Posições relativas entre dois
planos no espaço
Dois planos irão assumir no espaço as
seguintes posições relativas entre si:
Planos paralelos, Planos secantes e
Planos coincidentes.
Planos paralelos
Dois planos são considerados paralelos se não possuírem
pontos em comum ou se uma reta pertencente ao plano α
for paralela a uma reta pertencente ao plano β.
Planos secantes
Dois planos são secantes quando forem distintos e a
intersecção entre eles formar uma reta.
Planos coincidentes
Planos coincidentes equivalem a um mesmo plano.
Ou seja, todos os seus infinitos pontos e planos
pertencem ao outro.
Posições relativas de uma reta
e um plano
Existem três tipos de posições, sendo:
contida, incidente e paralela.
Contida
Quando a reta estiver contida no plano , ou seja, quando
todos os pontos de r pertencerem ao plano a.
Incidente
Quando a reta tem somente um ponto uniforme com
o plano. Ou seja, quando a reta r tem o ponto P em
comum com o plano a, ela intersecta o plano em um
determinado ponto.
Paralela
Quando a reta não tem nenhum ponto em comum
com o plano, ou seja, a reta r está paralela ao plano a.
r e a não tem pontos em comum.
Paralelismo no espaço
Regra
As retas só são paralelas quando na possuem nenhum
ponto em comum com a outra. Ou seja, duas retas
distintas somente são paralelas quando não possuem
pontos em comum.
Exemplo
 Em dois planos paralelos podem existir retas que
não sejam paralelas.
 Retas paralelas podem existir em planos que não
sejam paralelos.
1ª Propriedade
Quando dois planos distintos estão paralelos,
qualquer reta pertencente a um deles é paralela a o
outro plano.
2ª Propriedade
Quando a reta é paralela a um plano, ela é paralela a
pelo menos uma reta deste plano.
3ª Propriedade
Quando uma reta não estiver contida num plano ela
vai estar paralela a uma reta do plano e ao plano.
4ª Propriedade
Quando um plano intersecta (“fura”) dois planos
paralelos, as intersecções vão formar duas retas
paralelas.
5ª Propriedade
Quando um plano possui duas retas concorrentes,
paralelas a um outro plano, logo os planos
considerados também são paralelos.
Perpendicularismo no Espaço
Em geometria, perpendicularidade
(ou ortogonalidade, cujo símbolo é
┴) é uma noção que indica se dois
objetos (retas ou planos) fazem
um ângulo de 90º.
Retas perpendiculares
Z e Y são retas concorrentes
e perpendiculares
Z┴Y
Retas ortogonais
Retas que determinam quatro ângulos congruentes.
Se forem concorrentes, serão perpendiculares e retas
ortogonais são retas que determinam quatro ângulos
congruentes.
Reta e plano perpendiculares
Uma reta que intersecta um plano é perpendicular a
ele se ela é perpendicular a todas as retas desse plano
que passam pelo ponto de intersecção.
Se uma reta intersecta um plano e não é perpendicular
a ele, dizemos que ela é obliqua ao plano.
Gráfico 1
Gráfico 2
No Gráfico 1, t é perpendicular a α
e no Gráfico 2 R é oblíqua a α
Para uma reta ser perpendicular a um plano α é
preciso ser perpendicular a duas retas concorrentes
contidas em α, ou seja, são necessárias duas retas
porque uma reta não é suficiente para garantir o
perpendicularismo.
Por outro lado, bastam duas retas concorrentes,
ou seja, elas são suficientes, pois essas duas
concorrentes já determinam o plano α.
1ª Propriedade
Para que uma reta seja perpendicular a um plano, é
necessário e suficiente que ela seja perpendicular a
duas retas concorrentes contidas nesse plano.
Ǝ r, s e t | s ⊂α, t ⊂α, s ∩ t = {P},
r ┴ s e r ┴ t ⇔ r ┴α
2ª Propriedade
Dados um ponto P e uma reta r, existe um único
plano que passa por P e é perpendicular a r.
P e r ⇒Ǝ α | P € α e r ┴α
3ª Propriedade
Se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer reta
paralela a ela também é perpendicular ao plano.
r┴ α e s // r ⇒ s ┴α
4ª Propriedade
Se dois planos são paralelos, toda reta perpendicular a
um deles é também perpendicular ao outro.
α // β e r ┴α⇒ r ┴β
Retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas.
Planos perpendiculares a uma mesma reta são paralelos.
Planos Perpendiculares
Um plano é perpendicular a outro quando e somente
quando existe uma reta contida em um deles e
perpendicular ao outro.
β┴α⇔Ǝ r ⊂β | r ┴ α
Se dois planos concorrentes
não são perpendiculares,
dizemos que são oblíquos.
Se dois planos α e β são
oblíquos e a reta r está contida
em α, então r não é
perpendicular a β.
Quando uma reta é
perpendicular a um plano, todos
os planos que a contêm são
perpendiculares ao plano inicial.
1ª Propriedade
Se uma reta r e um plano α são ambos perpendiculares
a um plano β, a reta r é paralela ao plano α.
2ª Propriedade
Se dois planos α e β se intersectam segundo uma reta r
e se y é um outro perpendicular a cada m dos planos α
e β. Então y é perpendicular à reta r.
Teorema das 3 Perpendiculares
Dados: uma reta r perpendicular a um plano α
no ponto P;
uma reta s, contida em α, que não passa
por P;
uma reta t, contida em α, que passa por P
e é perpendicular a s no ponto A.
Então, se B é um ponto de r, a reta AB é
perpendicular à reta s.
Simbolicamente:
r ┴ α, r ∩ α = {P}
s ⊂ α, P ∉ s
t ⊂ α, P ∈ t, t ┴ s, t ∩ s = {A}
B∈r
Projeção ortogonal
Postulados/Axiomas
Ocorre quando há intersecção de um plano
com sua reta perpendicular através de um
ponto, formando assim uma projeção ortogonal
de um ponto sobre o plano, ou seja, o ponto P’
é a projeção ortogonal do ponto P sobre o
plano α.
De uma figura qualquer sobre um plano
Ocorre quando as projeções de uma figura
geométrica (qualquer conjunto de pontos) sobre
um plano, formando uma projeção ortogonal de
todos os pontos sobre o plano.
Exemplo:
Há uma projeção ortogonal da figura
geométrica F sobre o plano α.
Casos particulares
1º - A projeção ortogonal de uma reta sobre uma
plano pode ser tanto uma reta como um ponto
2º - A projeção ortogonal de um segmento sobre
um plano pode ser um segmento ou um ponto.
Distâncias
A distância entre dois pontos distintos pode formar
um segmento.
Dados os pontos a e b, a distância entre eles forma o
segmento A͞B, se A e B coincidirem, dizemos que a
distância entre eles é zero.
•B
A•
Distância de um ponto a uma reta
Tendo um ponto P e uma reta r, podemos traçar uma reta
que passa por P sendo perpendicular a r, no ponto A.
A distância do ponto P à reta r é a distância entre os
pontos P e A.
Distância de um ponto a um plano
Dados um ponto P e um plano α, podemos determinar P’,
que é a projeção ortogonal de P sobre α. A distância do
ponto P ao plano α é igual a distância entre os pontos P e P’.
Distância entre duas retas distintas e paralelas
A distância entre duas retas paralelas pode formar um reta
perpendicular a partir de qualquer ponto entre as retas
paralelas. Dadas as r e s paralelas, os pontos A e B formam
outra reta perpendicular.
Distância entre uma reta a um plano
Quando a reta é paralela ao plano e não está contida nele
A distância entre uma reta paralela e um plano pode formar
outra reta, que estará contida entre a reta paralela e o plano,
a partir de qualquer ponto da reta paralela.
Distância entre dois pontos distintos e paralelos
Distância formada a partir de qualquer ponto de dois
planos distintos e paralelos.
Distância entre duas retas reversas
Distância formada a partir de qualquer ponto da reta r
reversa e o plano α paralelo, que contem s.
A distância entre r e s é a distância desse ponto a esse plano.
O método dedutivo:
algumas demonstrações
Postulados/Axiomas
Propriedades aceitas como verdadeiras sem demonstração
Dados dois pontos distintos do espaço, existe
uma, e somente uma, reta que os contém.
Dados 3 pontos não colineares do espaço, existe
um, e somente um, plano que os contém.
Teoremas
Demonstrados a partir dos postulados e de outros teoremas
já demonstrados, usando argumentação lógica.
Existe um único plano α que contém uma reta r
e um ponto pertencente a ela.
Demonstração
•
P
Existência
P não pertence a r;
A e B são distintos pertencentes a r;
P, A e B são colineares.
Como, por um postulado, existe um único plano α contendo
A, B e P, e como a reta r tem dois de seus pontos (A e B)
em α, r está contida em α. Assim, de fato existe um plano
contendo r e P.
•
P
Unicidade
Todo plano que contiver r e P, conterá A e B.
Logo, será o plano α.
Dados uma reta r e um ponto A não pertencente a r,
existe uma reta que passa por A e é paralela a r.
•
P
Centro Educacional Monteiro Lobato
MATEMÁTICA
Professor Renilson Ribeiro
Grupo
Ana Luíza
Anne Lula
Jamille
Marina Amorim
Tarciso Reis
Vinícius David
Brumado/BA,
Jun/2012
2º ano EM