Computação Gráfica

TRANSFORMAÇÕES
GEOMÉTRICAS
Roberto Alam
CONCEITO
Transformação geométrica é uma aplicação
bijectiva entre duas figuras geométricas, no
mesmo plano ou em planos diferentes, de forma
que, a partir de uma figura geométrica original se
forma outra geometricamente igual ou
semelhante.
TRANSFORMAÇÕES BASICAS EM 2D
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TRANSLAÇÃO
ESCALA
ROTAÇÃO
REFLEXÃO/ESPELHAMENTO
CISALHAMENTO
TRANSLAÇÃO
• Transladar significa movimentar o objeto.
Cada ponto em (x,y) pode ser movido por Tx
unidades em relacao ao eixo X e por Ty em
relação ao eixo Y, logo a novo posição do ponto
(x,y) é (x’,y’)
x’= x + TX
y’ = y + TY
TRANSLAÇÃO
• O mesmo ocorre se o ponto estiver no plano
3D.
x’= x + Tx
y’ = y + Ty
z’ = z = Tz
TRANSLAÇÃO
ESCALAR
• Escalonar significa mudar as dimensões do
objeto.
Para fazer com que uma imagem ou objeto
definida(o) por um conjunto de pontos mude de
tamanho, temos que multiplicar os valores de
suas coordenadas por um fator de escala.
ESCALAR
x’ = x .Sx
y ’= y . Sy
ESCALAR
ROTAÇÃO
Rodar um ponto P=(x,y) de um ângulo θ
relativamente à origem significa encontrar outro
ponto Q=(x´,y´) sobre uma circunferência
centrada na origem que passa pelos dois pontos,
com θ=∠POQ.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO
A multiplicação das coordenadas por uma matriz
pode resultar em uma translação.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO
• X’ = x cos Ɵ – y sen Ɵ
• Y’ = x sen Ɵ + y cos Ɵ
ROTAÇÃO
Para alterar a orientação de um objeto em
torno de um certo ponto, realizando uma
combinação da rotação com a translação, é
necessário antes de aplicar a rotação de
ânguloθ no plano da coordenadas em torno de
um ponto, realizar uma translação para localizar
esse ponto na origem do sistema, e aplicar a
rotação desejada e então realizar novamente
uma translação inversa.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO
Os sistemas de coordenadas com 3 eixos
ortogonais podem ser descritos por diferentes
posições dos eixos. A direção positiva na rotação
será a que obedecer a regra da mão direita de
ordenação dos eixos.
Posicione sua mão direita aberta na direção do
primeiro eixo, gire a mão de modo que ela
aponte para o segundo eixo, afaste o dedão dos
demais dedos.
ROTAÇÃO
Verifique se o dedão aponta no sentido do
terceiro eixo. Se isso for correto significa que os
três eixos são positivos.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO
Do contrário o sistema será negativo.
Exemplo:
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO
Outro método muito usada para a rotação é ao
invés de rotar o objeto em si, rota-se o próprio
espaço com o ângulo no sentido inverso. Um
exemplo clássico onde é empregado essa técnica
são os simuladores de vôo nos quais o piloto
manipula a visão do espaço movimentando a
cena.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO
Pode-se observar na figura anterior a rotação do
objeto usou o método de rodar consigo o
espaço cartesiano por um determinado angulo.
ROTAÇÃO
Os ângulos de Euler facilitam uma definição
precisa das rotações em relação a um sistema de
eixos.
Esses ângulos definem a rotação em um plano
pelo giro em torno de um vetor. São muito
usados na mecânica e na física.
ROTAÇÃO
ROTAÇÃO
Podemos definir três ângulos Euler em relação
ao eixos de X,Y e Z respectivamente. Um ângulo
que define o giro em torno do eixo x para os
pontos no plano yz, outro ângulo que define o
giro no eixo y no plano xz e o eixo z no plano xy.
ESPELHAMENTO
A transformação de espelhamento(reflexão) em
torno de um eixo, produz um novo objeto como
se o objeto anterior fosse reproduzido por um
espelho. No caso de uma reflexão 2D o espelho
pode ser considerado sobre o eixo vertical ou
horizontal e no caso da reflexão 3D o objeto
pode ser refletido em qualquer um dos 3 planos.
ESPELHAMENTO
CISALHAR
• Cisalhar(shearing ou skew) é uma
transformação que distorce o formato de um
objeto. Nela aplica-se um deslocamento aos
valores das coordenadas
CISALHAR
REFERÊNCIAS
• AZEVEDO, EDUARDO; CONCI, AURA. Computação Gráfica:
Teoria e Prática. 3° Edição. Rio de Janeiro: Campus, 2003. 368
p.
• LUZZARDI, PAULO R. G. (2012) Computação Gráfica dísponivel
em: http://infovis.ucpel.tche.br/luzzardi/CompGraf.pdf
acessado em 22/11/2012.