Economia * Aula 7 Teoria da firma: tecnologia e função de produção

Teoria da firma: tecnologia e função de produção.
Propriedades da tecnologia.
Custos e Curva de Oferta
ZAZ 0763 – ECONOMIA
Prof. Rubens Nunes
Produção
PRODUTOS
INSUMOS
RESÍDUOS
Irreversibilidade
Quem produz?
• Unidades produtivas: “FIRMAS”
• Questões não respondidas (Microeconomia)
– A quem pertencem?
– Quem administra?
– Como a firma é administrada?
– Como é organizada?
• O que ela pode fazer?
• Firma vista como CAIXA PRETA
FIRMA como CAIXA PRETA
PRODUTOS
INSUMOS
FIRMA
RESÍDUOS
Possibilidades de Produção
um vetor y = (y1, y2, y3 , ..., yn) no espaço de bens
da economia representa uma possibilidade de
produção se:
• y1= y2= y3 = yn = 0 (possibilidade de inação)
ou
• existir em y pelo menos um yi > 0 e um yj < 0
(i≠j) e a transformação do insumo j no produto i,
nas quantidades yi e yj, for tecnicamente
possível
Conjunto de Possibilidades de Produção
y2
y1
Função de Produção
PRODUTO (y)
produção tecnicamente impossível
produção eficiente
desperdício de insumo
INSUMO (x)
Simplificação: um
insumo e um produto
y = f(x)
y é a maior quantidade de produto que se pode
obter com a quantidade x de insumo
Produto marginal de um insumo ou fator
Produto (y)
Produto Total
D y2
D y1
Produto Marginal
D x1 = 1
D x2 = 1
Produto Marginal
Insumo (x)
Produto marginal de um insumo ou fator
Produto (y)
Produto Total
Dy
Produto Marginal = dy/dx
Dx→0
Insumo (x)
Função de Produção – Rendimentos do Insumo
ou fator de produção
y - produto
x - insumos
DECRESCENTES
CONSTANTES
CRESCENTES
d2y/dx2 < 0
d2y/dx2 = 0
d2y/dx2 > 0
Função de produção e Rendimentos do Fator
Produto
Rendimentos
Decrescentes
Rendimentos
Constantes
Rendimentos
Crescentes
Insumo
Requisito de insumos
INSUMO (x)
desperdício de insumo
produção eficiente
produção tecnicamente impossível
PRODUTO (y)
x = f-1(y)
x é a menor quantidade de insumo necessária para
obter com a quantidade y de produto
Requisito de insumos e Custo
Variável Total
INSUMO (x)
CUSTO TOTAL
produção eficiente
PRODUTO (y)
x = f-1(y)
C(y) = w.f-1(y) = wx
w: preço do insumo
Custo Total e Custo Médio
Custo Total
Custo Médio
Custo Médio = Custo Total / quantidade
1
y (quantidade)
Custo Total e Custo Marginal
Custo Total
Custo Marginal
Custo Marginal = D Custo Total / D quantidade
Custo Marginal = d Custo Total / d quantidade
D CT
Dy
y (quantidade)
Custo Total, Médio e Marginal
Exemplo
Custo Total
C(y) = 1500 + 15 y – 3 y2 + y3
Custo Médio
C(y) / y = 1500/y + 15 – 3 y + y2
Custo Marginal
dC(y)/dy = 15 – 6 y + 3y2
Custo Total, Médio e Marginal
Problema do Produtor (1)
• Produtor é tomador de preços nos mercados de
produtos e insumos
• Que quantidade produzir para ter o lucro
máximo?
• Lucro = Receita Total – Custo Total
π = py –wx(y)
dπ/dy = p – w dx/dy = 0 (C.P.O.)
p =w dx/dy
preço do produto = custo marginal
Maximização de Lucros (1)
Custo Total (y)
Receita Total(y)
RT (y1)
CT (y1)
Em y1, RT cresce mais
rapidamente que CT
Lucro
Aumentar y
aumentará o lucro
y1
y (quantidade produzida)
Maximização de Lucros (1)
Custo Total (y)
Receita Total(y)
RT (y*)
CT (y*)
Lucro
Em y*, RT e CT crescem
à mesma taxa → o lucro é
máximo
y*
y (quantidade produzida)
Maximização de Lucros (1)
Custo Total (y)
Receita Total(y)
Lucro (y)
y*
Lucro p
y (quantidade produzida)
Maximização de Lucros (1)
• Inclinação de RT
RT = py
dRT/dy = p (preço)
• Inclinação de CT
dCT/dy (custo marginal)
• Condição de lucro máximo (firma tomadora de preços)
p = dCT/dy
preço = custo marginal
Maximização de Lucros (1)
Custo Marginal (y)
Preço (y)
y (quantidade produzida)
Problema do Produtor (2)
• Produtor é tomador de preços nos mercados de
produtos e insumos
• Que quantidade de insumo utilizar para ter o
lucro máximo?
• Lucro = Receita Total – Custo Total
π = p y(x) –wx
dπ/dx = p dy/dx – w = 0 (C.P.O.)
w =p dy/dx
preço do insumo = valor do produto marginal
Exemplo: Rendimento de um fator
DERESZ (2001) estudou os efeitos da suplementação da
pastagem de capim-elefante com concentrado sobre a produção
e composição do leite e variação de peso vivo de vacas mestiças
Holandês x Zebu. Os tratamentos foram: sem concentrado (SC) e
com 2,0 kg de concentrado/vaca/dia (CC).
“A diferença média durante o período experimental foi de 1,5
kg de leite entre o tratamento com 2,0 kg de concentrado por
vaca/dia e sem concentrado, respectivamente.”
•
Deresz, F. “Produção de Leite de Vacas Mestiças Holandês x Zebu em Pastagem de CapimElefante, Manejada em Sistema Rotativo com e sem Suplementação durante a Época das
Chuvas” Rev. Bras. Zootec. vol.30 no.1 Viçosa Jan./Feb. 2001
Questão (a)
• Suplementar ou não suplementar?
• Não temos a função de produção inteira, mas
apenas dois pontos dela (x = 0; x’= 2) e a
variação do produto no intervalo (Δy = 1,5)
• Só podemos determinar o rendimento médio
do insumo (concentrado)
Produto médio = Δy / Δx =
0,75 kg leite / kg concentrado
O valor do produto médio do insumo deve
ser igual ou maior que o preço do insumo
Dy
pw
Dx
valor do produto médio  preço do insumo
1,5
pw
2
4
p w
3
Se o preço do leite for igual a 4/3 do preço
do concentrad o, o produtor será indiferent e
a dar ou a não dar o suplemento .
Questão (a)
• Se p/w > 4/3, então a suplementação será
lucrativa
• Se p/w < 4/3, a suplementação reduzirá o
lucro
– nesse caso, o leite que a vaca produz a mais não
paga o custo da suplementação
Como será a função de produção?
Dy
1,5
Sem conhecer a função
de produção, nem os
preços do leite e do
suplemento, não é
possível determinar qual
é a suplementação
economicamente ótima.
2,0
x
Questão (b)
Suponha que a resposta da suplementação seja
dada por y = 0,75x0,5, onde y é o incremento da
quantidade de leite / vaca / dia e x é a
quantidade de concentrado / vaca / dia.
Mostre que a suplementação ótima é aquela
em que o preço do suplemento é igual ao valor
de seu produto marginal.
Suplementação ótima
p  py  wx
p  p 0,75 x  wx
p
0,5
 p 0,5. 0,75x  w  0
x
0,5
p 0,375 x
0,5
w
produto marginal de x
y  0,75 x
dy
0,5
 0,375 x
dx
0,5

dy
p
w
dx
Preço do leite p = $ 0,50 / kg
Preço do concentrado w = $ 0,25 / kg
1.4
1.2
y = 0,75x0,5
1
0.8
0.6
dy/dx = 0,375x-0,5
0.4
w = 0,25
0.2
p.dy/dx = 0,1875x-0,5
0
0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Produto
0,5625 kg
Produto Marginal
1
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Valor do Produto Marginal
Preço do Concentrado
2
Custo Marginal, Médio e Curva de
Oferta
Firma tomadora de preços maximiza lucro
produzindo a quantidade y para a qual
preço = custo marginal
p2
p1
p0
✗
y0
y0
y1
y2
Curva de Oferta
Curva de Oferta
• Firma tomadora de preços
• conduta: escolhe y tal que preço = dC/dy,
se preço ≥ custo médio
• A Curva de Oferta corresponde ao ramo da
curva de custo marginal acima da curva de
custo médio
• Para preços menores que o custo médio, a
oferta é zero
Passos da derivação da
Curva de Oferta
1. Conjunto de Possibilidades de Produção
2. Função de Produção (subconjunto tecnicamente
eficiente)
3. Requisito de Insumos (inversa da função de produção)
4. Função Custo Total: quantidade de insumo requerida
para produzir determinada quantidade de produto x
preço do insumo (eficiência econômica)
5. Custo Médio e Custo Marginal
6. Curva de Oferta
Escolha ótima de insumos
Reduzindo a simplificação: vários
insumos e um produto
Tecnologias com vários insumos
Demanda Derivada por Insumos
Isoquantas ou Curvas de Isoproduto
x2
In
.....
I4
I3
I2
I1
x
Cada ponto de uma isoquanta representa uma1 combinação de
insumos diferente que gera a mesma quantidade de produto
f(x1, ..., xn) = ŷ
Taxa Marginal de Substituição
• Cada isoquanta está associada a uma
quantidade produzida
• Dada uma combinação de insumos na
isoquanta, qual é a proporção em que os
insumos podem se substituir, de modo a
manter constante o nível de produto?
• Tal proporção é a taxa marginal de
substituição.

Taxa Marginal de Substituição
y  f x1, x 2 , ..., x n 
yy
f
dx 2
x1

f
dx1
x 2
Produto Marginal do Insumo 1
Produto Marginal do Insumo 2
Taxa Marginal de Substituição
y  f x1, x 2 , ..., x n 
Df 
f
f
f
dx1 
dx 2  ...
dx
x1
x 2
x n n
y  y,
f
f
f
Df 
dx1 
dx 2  ...
dx n  0
x1
x 2
x n
substituindo apenas x 2 por x1, mantendo y fixo
f
f
Df 
dx1 
dx 2  0
x1
x 2
f
f
dx 2  
dx1
x 2
x1
f
dx 2
x
 1
f
dx1
x 2
Se
Insumos substitutos perfeitos
Isoquantas lineares (convexidade fraca)
x2
TMS constante
I1
I3
I2
x1
Insumos complementares perfeitos
Não se define a TMS para complementos perfeitos
x2
Tecnologia de coeficientes fixos ou
Tecnologia de Leontieff
I3
I2
I1
x1
Função de Produção Cobb-Douglas
y = x1ax2b a > 0; b>0
Função de Produção Cobb-Douglas
y = x1ax2b
a=0,5 ; b=0,5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
9.6
8
1
6.4
4.8
0
0
9.6
9
8.4
7.8
7.2
6.6
6
1.6
5.4
x1
4.8
4.2
3.6
3
2.4
1.8
1.2
3.2
0.6
0
y
x2
Função de Produção Cobb-Douglas
y = x1ax2b
a=0,3 ; b=0,7
10
9
8
7
6
5
4
3
2
9.6
8
1
6.4
4.8
0
0
9.6
9
8.4
7.8
7.2
6.6
6
1.6
5.4
x1
4.8
4.2
3.6
3
2.4
1.8
1.2
3.2
0.6
0
y
x2
Função de Produção Cobb-Douglas
y = x1ax2b
a=0,8 ; b=0,6
30
25
20
y 15
10
9.6
5
8
6.4
4.8
0
9.6
9
8.4
7.8
7.2
6.6
6
1.6
5.4
x1
4.8
4.2
3.6
3
2.4
1.8
1.2
3.2
0.6
0
0
x2
Função de Produção Cobb-Douglas
y = x1ax2b
a=1,2 ; b=1,6
700
600
500
400
y
300
200
9.6
8
100
6.4
4.8
0
9.6
9
8.4
7.8
7.2
6.6
6
1.6
5.4
x1
4.8
4.2
3.6
3
2.4
1.8
1.2
3.2
0.6
0
0
x2
Rendimentos de um fator e rendimentos
de escala
rendimento (=produto marginal) do fator 1
(quantidades dos demais fatores mantidas constantes)
y
rendimento do fator 1 =
 ax1a 1 x2b
x1
< 0  rendimento decrescente
 y
2
a 2 b 
x2  0  rendimento constante
2  a  a  x1
x1
> 0  rendimento crescente

2
Rendimentos de um fator e rendimentos
de escala
rendimento do fator 1
rendimento constante
a
2
 a  x1a  2 x2b  0  a 2  a  1
rendimento decrescente
a
2
 a  x1a  2 x2b  0  a 2  a  1
rendimento crescente
a
2
 a  x1a  2 x2b  0  a 2  a  1
Rendimentos de escala
rendimentos de escala: para l > 1 (fator de escala),
comparamos a produção de l plantas pequenas com
a produção de uma planta grande que processa l
vezes a quantidade de insumos da planta pequena
l(x1ax2b) = (lx1)a(l x2)b  constantes
l(x1ax2b) < (lx1)a(l x2)b  crescentes
l(x1ax2b) > (lx1)a(l x2)b  decrescentes
Economias de escala
b
a b a
l
x
l
x

l
x
x
 1  2 
1 2
a
b
a  b  1  l x x  lx1  lx2 
a
b
1 2
a
b
(retornos constantes de escala)
a+b>1 (retornos crescentes de escala)
a+b<1 (retornos decrescentes de escala)
Economias de Escala: Custo de tanques
de expansão
Capacidade
(em l)
330
550
1.100
1.600
2.200
Preço
Custo por
unitário (R$)
litro
2.062
3.094
3.639
4.584
5.464
6,24
5,62
3,31
2,86
2,48
Custo de resfriamento do leite
escala e utilização da capacidade instalada
milésimos de R$
por litro
6
50%
5
4
70%
3
100%
90%
50%
70%
2
90%
50%
50%
100%
1
70%
70%
90%
90% 100%
100%
0
0
500
1000
1500
2000
litros
2500
Problema do Produtor
Problema do Produtor (I)
• Encontrar a quantidade a ser produzida tal
que o lucro seja máximo
max p y x  py  Cy x
y(x )
dC
p
dy
C.P.O.
Problema do Produtor (II)
• Encontrar a combinação de insumos de menor
custo, sujeito à restrição de produzir pelo
menos determinada quantidade de produto
min C y x1,..., x n 
x1 ,..., x n
sujeito a y  x1,..., x n   y

Solução do Problema do Produtor
x2
isocusto
x2 *
C*
y
w1 x1

y
w2
x2
isoquanta
x1 *
x1
Solução do Problema do Produtor
Insumos Substitutos Perfeitos
x2
C*
x2* isocusto
isoquanta
x1 *
x1
Passos da derivação da
Curva de Oferta
1. Conjunto de Possibilidades de Produção
2. Função de Produção (subconjunto tecnicamente eficiente)
3. Demanda de Insumos (inversa da função de produção)
(escolha da cesta de insumos minimizadora de custo)
4. Função Custo Total: quantidade de insumo requerida para
produzir determinada quantidade de produto cesta de
insumos minimizadora de custo x preços dos insumos
(eficiência econômica)
5. Custo Médio e Custo Marginal
6. Curva de Oferta
Reduzindo a simplificação: vários
insumos e um produto
A função custo pode ser obtida a partir da
função de produção
Função Custo da Tecnologia Cobb-Douglas
1. funçao de produçao
y  x1a x2b
2. minimizaçao de custo
C w , y   min w1 x1  w2 x2
tal que x1a x2b = y
3. lagrangeano do problema
L = w1 x1  w2 x2  l x1a x2b - y 
A função custo pode ser obtida a partir da
função de produção
Função Custo da Tecnologia Cobb-Douglas
4. condiçoes de 1a. ordem
L
 w1  lax1a 1 x2b  0
x1
L
 w2  lbx1a x2b 1  0
x1
L
 x1a x2b - y = 0
l
A função custo pode ser obtida a partir da
função de produção
Função Custo da Tecnologia Cobb-Douglas
5.demanda do insumo (fator) 2
w1 ax1a 1 x2b ax2
ax w
 a b 1 
 x1  2 2
w2 bx1 x2
bx1
bw1
substituindo x1 na funçao de produçao:
a
 ax2 w2  b

 x y
 bw1  2
a
 aw2  a b

 x y
 bw1  2
x2a b
 aw 
 2
 bw1 
 aw 
x2   2 
 bw1 
a
y
a
a b
y
1
a b
A função custo pode ser obtida a partir da
função de produção
Função Custo da Tecnologia Cobb-Douglas
6. demanda do insumo (fator) 1
w1 ax1a 1 x2b ax2
bx w
 a b 1 
 x2  1 1
w2 bx1 x2
bx1
aw2
substituindo x 2 na funçao de produçao :
b
 bw 
x1a  1 x1   y
 aw2 
b
 aw 
x1a+b  2   y
 bw1 
b
x1a+b
 aw 
  2  y
 bw1 
 aw 
x1   2 
 bw1 
b
a b
y
1
a b
A função custo pode ser obtida a partir da
função de produção
7. Função Custo da Tecnologia Cobb-Douglas
 aw2 

C w, y   w1 
 bw1 
b
a b
y
1
a b
 aw2 

 w2 
 bw1 
a
a b
y
b
a

 a
b
1
a

b
a

b
a
a




C w, y         w1a b w2a b y a b
 b 
 b 


1
a b
A função custo pode ser obtida a partir da
função de produção
8. Função Custo Marginal da Tecnologia Cobb-Douglas
b
a

 a
b
1
a

b
a

b
a
a




C w, y         w1a b w2a b y a b
 b 
 b 


b
a

 a
a

b
a

b
dC
1  a 
 a   a b a bb a 1 b 1

w1 w2 y
   
 b 
dy a  b  b 


Custo Total - Tecnologia Cobb-Douglas
18.00
16.00
i) a = 0,5; b = 0,5
14.00
ii) a = 0,2; b = 0,5
12.00
iii) a = 0,8; b = 0,5
10.00
8.00
iv) a = 1,0; b = 1,2
w1=1; w2=1
6.00
4.00
2.00
0.00
C(y)i
C(y) ii
C(y) iii
C(y) iv
0.
10
0.
30
0.
50
0.
70
0.
90
1.
10
1.
30
1.
50
1.
70
1.
90
2.
10
2.
30
2.
50
2.
70
2.
90
3.
10
3.
30
3.
50
3.
70
3.
90
4.
10
4.
30
4.
50
Custo Médio - Tecnologia Cobb-Douglas
8.00
7.00
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
0.
10
0.
60
1.
10
1.
60
2.
10
2.
60
3.
10
3.
60
4.
10
4.
60
5.
10
5.
60
6.
10
6.
60
7.
10
7.
60
8.
10
8.
60
9.
10
9.
60
CMg
Custo Marginal - Tecnologia Cobb-Douglas
8.00
7.00
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00
y
Curto Prazo e Longo Prazo
Curto prazo x Longo prazo
• CP - Fatores de produção variáveis e fixos
y  f x1 , x2 , xm , xm1 , x1 , xn ,
• LP – Todos os fatores são variáveis
• CP – Os fatores de produção fixos geram
custos fixos.
• LP – Não há custo fixo
• Custo LP ≤ Custo CP
Custos – CP e LP
Custo Marginal LP
Custo Médio CP
Custo Marginal CP
Custo Médio LP