Exemplo em juros compostos - Liga de Investimentos | UFRJ

Introdução à Matemática
Financeira
Caio Sousa,
Luis Carlos Franco,
Pedro Henrique Vecchiati.
GESTÃO 2015.2
EMENTA
O que é Matemática Financeira?
Juros
Dinheiro no Tempo
Taxa de Desconto
Taxa Nominal x Taxa Efetiva
Fluxo de Caixa
Sistema de Amortização
Estudo de Viabilidade Econômica
Introdução
O objetivo desse módulo é proporcionar o entendimento sobre
conceitos e elementos básicos da Matemática Financeira;
Eles serão de extrema importância ao longo de todo o curso;
Começaremos com a revisão de alguns assuntos de conhecimento
geral, para então iniciarmos a introdução de novos tópicos.
O que é a Matemática Financeira?
É a matemática envolvida para solução de problemas
no âmbito de análise de dados financeiros em geral.
Aonde está a matemática Financeira
Presente no cotidiano:
- Financiamentos, juros, amortização
Analise de alternativas de investimentos
- Empréstimos bancários;
- Aplicações financeiras
-Avaliações de Projetos (...)
Juros
Conceitualmente, o juros é uma forma de remuneração paga a
quem possui os recursos.
R$ 10.800,00
12 meses
R$ 10.000,00
tempo
Juros
Juros Simples X Juros Compostos
Juros Simples
O regime de juros simples é caracterizado pela incidência da taxa
apenas sobre o valor do capital inicial.
J = VP * i * n
j
Para se encontrar o valor do montante:
VF = VP * (1+ j * n)
O Regime de juros simples, cresce de forma linear.
Juros Simples
Você está interessado em comprar um jet-ski novo, vai à loja,
e vê que o seu preço original é de R$ 22.500,00. Sendo você
um bom negociador negociou o jet-ski em dinheiro por R$
20.000,00. Sabendo disso, você pegou esse dinheiro
emprestado com um grande amigo, porém seu amigo que
não é bobo, mas também não quer te explorar, quer te cobrar
0,75% a.m com prazo de 1 ano em regime de juros simples.
Pegar esse dinheiro emprestado, é um bom negócio?
Juros Compostos
• É o regime mais utilizado no sistema financeiro;
• Também é conhecido como juros sobre juros;
• Os juros gerados a cada período são incorporados ao capital
(C) para calcular os juros do período seguinte;
• Cresce de forma exponencial.
Juros Compostos
Regime de juros Compostos
VF = VP x (1+i)n
Regimes de Capitalização
É a forma com que se verifica o crescimento do capital;
Ou seja, é a transformação do capital (valor inicial) em montante
(valor final), através da aplicação de uma taxa ao longo do tempo;
O regime de capitalização pode ser simples ou composto;
Juros Compostos
Agora você conversa com seu amigo sobre o
empréstimo para comprar o seu jet mas agora ele
lhe propõe emprestar os R$ 20.000,00 em cash,
porém você deve devolver a ele o dinheiro com
uma taxa de juros de 0,75% a.m. em regime de
juros compostos, ao final de 1 ano. Você acha que
negociou bem esse empréstimo?
Regime Simples x Regime Composto
Exemplo em juros compostos:
E se R$ 3.000,00 forem aplicados por dez meses à
taxa de juros compostos de 4% ao mês, análise a
diferenças entre os dois regimes. Qual parece ser
mais vantajoso??
Regime de Capitalização Composta
Exemplo:
Qual o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo
prazo de 9 meses, à taxa de juros compostos de 2% ao
mês?
Solução:
FV = C(1 + i)n
FV = 15.000,00 (1 + 0,02)9
FV = 15.000,00 x 1,19509 = 17.926,35
Valor do Dinheiro no Tempo
“Time is money”
Benjamin Franklin
Valor do Dinheiro no Tempo
O Dinheiro varia no tempo, isso se dá por causa da taxa
de juros, com ela o dinheiro capitaliza se andar pra
frente ou é descontado se andar pra trás.
Valor do Dinheiro no Tempo
VF = VP * (1 + j)n
Qual o valor futuro de R$ 2.000,00 em 5 meses a 10%
pela Tabela Price?
Veremos adiante que a Tabela Price equivale ao à
uma taxa efetiva anual. Nesse exemplo tempos então
0,10/12 = 0,0083 a.m.
VF = 2000 * (1 + 0,0083)5 = R$ 2.084,39
Valor do Dinheiro no Tempo
Agora vamos trazer a valor presente, de um
recebível de R$ 2.000,00 em 5 meses a uma
taxa equivalente a anterior (0,0083).
VP = 2000/(1+0,0083)5 = R$ 1.919,03
Taxa de Desconto
• Dois tipos: Simples (Bancário) ou Composto (Racional);
VP = VF * (1 –j*n)
VP = VF / (1 + j)n
Taxa de Desconto
Você tem uma aplicação para resgate de R$
1.500,00 em 3 meses e deseja antecipar a retirada.
Vamos calcular o valor resgatado nos regimes de
desconto bancario e composto a 8%.
VP = VF * (1 – j*n) = 1500 * (1 – 0,08*3) = R$ 1.140,00
VP = VF/(1 + j)n = 1500 / (1,08)3 = R$ 1.190,75
Desconto Composto
Exemplo:
Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa
de 3% ao mês, produzindo um desconto no valor de R$
1.379,77. Calcular o valor nominal do título.
FV = PV * (1+J)n
Desconto Composto
Solução:
(FV – 1379,77) = FV/(1+0,03)3
1,0927 FV – 1507,7119 = FV
FV(1,0927 – 1) = 1507,7119
FV = R$ 16.259,6863
Taxas
“Esse assunto causa uma boa confusão, porque
as taxas são cotadas de várias maneiras. As
vezes, o modo como a taxa é cotada é resultado
da tradição, em outras, da legislação .
Infelizmente, em alguns casos, as taxas são
cotadas de maneiras deliberadamente enganosas,
para iludir tomadores de empréstimos e
investidores.”
Ross, Westerfild Jordan
Taxas
Taxa Efetiva X Taxa Nominal
Taxa Efetiva
No banco te ofereceram um produto que rende 15%
a.a. capitalizados mensalmente.
Taxa efetiva: 0,15 / 12 = 1,25 % a.m.
Taxa Efetiva Anualizada: (1+0,0125)^12 – 1 = 16,08 %
Taxa Over
Também chamada simplesmente de "taxa básica", a SELIC
é, no Brasil, a taxa de financiamento no mercado
interbancário para operações de um dia, ou overnight,
quando anual segue padrão DU/252 efetiva,
quando mensal, segue padrão DU/30 nominal.
Obs.: Obviamente, trata-se de uma taxa nominal e o número
de dias úteis que os juros serão capitalizados para o cálculo
da taxa efetiva deve ser informado.
Taxa Over
Vamos supor que a taxa “over” em determinado momento
esteja definida em 5,4% a.m (taxa nominal). Periodo com 22
dias úteis mensais. Qual a taxa efetiva do período?
Taxa Over
i = 5,4%/30 = 0,18% (Taxa Nominal)
A taxa efetiva dessa taxa para 22 dias uteis será:
i = (1+0,018)22 -1 = 4,04%
Podemos concluir que a taxa de 4,04% representa a taxa
efetiva para os 30 dias corridos do mês.
Fluxo de Caixa
O fluxo de caixa é um instrumento de gestão financeira que
projeta para períodos futuros todas as entradas e as saídas
de recursos financeiros;
Revela qual será o saldo de caixa para um período
determinado;
É uma estrutura flexível, podendo ser modificado de
acordo com as necessidades.
Fluxo de Caixa
Exemplo:
R$ 4.000,00
- R$ 5.000,00
- R$ 5.000,00
R$ 4.000,00
R$ 4.000,00
R$ 4.000,00
Valor Presente
Vamos trazer o fluxo de caixa a Valor Presente,
assim achamos o Valor Presente Líquido (VPL) do
nosso fluxo. Usar uma taxa de 0,05.
0
1
2
3
4
-R$ 100,00
R$ 30,00
R$ 50,00
R$ 0,00
R$ 70,00
Pagamentos
Serie Postecipada
PMT = VP * j / (1 – (1 + j)-n
Serie Antecipada
PMT = VP * j / (1 + j) * (1 – (1 + j) -n
Sequências de Capitais
Exemplo:
Um eletrodoméstico é vendido a prazo, em quatro
pagamentos mensais e iguais de R$550,00 cada,
vencendo o primeiro um mês após a compra. Se a
loja opera a uma taxa de juros de 5% a.m., qual o
seu preço a vista?
n=4
i=5% a.m.= 0,05 a.m.
R=550
V = 550 . [(1,05)4 – 1]/(1,05)4 . 0,05 = 1.950,27
Pagamentos
Um investidor aplica R$ 2.500,00 ao final de cada mês
durante um prazo de 20 anos, a uma taxa de 0,6% a.m.
Qual é o saldo final ?
R$ 1.334.405,85
Sistemas de Amortização
Amortização é o ato de acabar com uma dívida
através de pagamentos periódicos.
Em todos os sistemas, cada pagamento é a soma
do valor amortizado com os juros do saldo devedor.
Sistemas de Amortização
• Sistema de Amortização Francês (SAF) –
Sistema Price no Brasil
• Sistema de amortização constante (SAC)
• Sistema de Amortização Americano (SAA)
• Sistema Bullet
Sistemas de Amortização
Exemplo:
Um financiamento de R$150.000,00 foi pedido
para a aquisição de um imóvel. O período de
pagamento é de 6 anos, a taxa de juros mensal é
de 0,72%. O pagamento deve ser realizado de
acordo com o SAC, SAF, BULLET e SAA.
Estudo de Viabilidade Econômica
Esse estudo é extremamente importante para
a análise de projeções que permitam identificar
o real potencial de retorno do investimento.
Assim, pode-se decidir se os resultados
previstos serão interessantes ou não e se o
projeto deve ter prosseguimento;
Existem diversos indicadores utilizados para
esse ramo da Matemática Financeira, aqui
abordaremos os principais e mais recorrentes.
Estudo de Viabilidade Econômica
Taxa Mínima de Atratividade (TMA):
É a taxa de juros que deixa de ser obtida na melhor
aplicação financeira alternativa (custo de oportunidade);
Essa aplicação deve ser estipulada considerando os
objetivos de médio e longo prazo do investimento.
Estudo de Viabilidade Econômica
Valor Presente Líquido (VPL):
É a fórmula matemático-financeira capaz de
determinar o valor presente de pagamentos
futuros descontados a uma taxa de juros
apropriada, menos o custo do investimento inicial.
Em outras palavras, é o calculo de quanto os
futuros pagamentos somados a um custo inicial
estariam valendo atualmente.
Estudo de Viabilidade Econômica
• Taxa Interna de Retorno (TIR):
É a taxa para qual aquele fluxo de caixa se iguala a zero:
Ex: 0 = FV/(1+j)0 + FV’ / (1+j)1 + FV’’ / (1+J)2 (...)
Porém a TIR apresenta alguns problemas que discutiremos
agora...
Estudo de Viabilidade Econômica
• Índice Benefício Custo (IBC):
Indica o quanto se lucra por unidade de capital
investido;
É a razão entre o valor presente dos benefícios
esperados e o valor presente dos investimentos
necessários para realizar o projeto.
IBC > 1
IBC < 1
Aceitar o projeto.
Rejeitar o projeto.
Estudo de Viabilidade Econômica
• Período de Recuperação do Investimento (PRI) ou
“payback”
É o tempo necessário para se recuperar o capital investido.
Acumula-se, período a período, o valor presente (VP) de cada
benefício, até que a soma se iguale ao valor do investimento
inicial.
O período correspondente a última parcela será o PRI.
Obrigado