n - UFMG

Módulo 9
4 Algoritmos
4.1 Definição e Características
4.2 Fatoração
4.3 Pesquisa
4.3.1 Pesquisa Sequencial
4.3.2 Pesquisa Binária
DCC 001
Programação de Computadores
2° Semestre de 2011
Prof. Osvaldo Carvalho
DCC001 - 2011-2
1
Algoritmos e Programas
DCC001 - 2011-2
2
Algoritmos e Programas
 Algoritmo
 Prescrição de passos para transformar uma informação
de entrada em outra informação de saída
 Cada passo prescrito deve ser uma operação
garantidamente realizável
 seja por operações elementares
 seja por outro algoritmo
 Programa
 Um programa é a concretização de um algoritmo em
uma linguagem executável
DCC001 - 2011-2
3
Questões sobre Algoritmos e Problemas
 Especificação:
 Para qual problema precisamos de um algoritmo?
 Correção:
 O algoritmo resolve mesmo o problema proposto?
 Eficiência:
 Qual é o consumo de recursos computacionais (tempo e
memória, essencialmente) para se resolver o problema?
DCC001 - 2011-2
4
Especificação
 Surge de um processo de análise de um problema de
transformação de informação
 Não é estática; muitas vezes uma especificação é
modificada durante o processo de desenvolvimento, ou
mesmo durante o uso de um programa

Ex. O caso de equações de 2º grau com o primeiro coeficiente igual
a zero não foi previsto em nossos exemplos
 Em problemas reais muitas vezes a especificação é a etapa
mais demorada
DCC001 - 2011-2
5
Correção
 Podemos verificar se um algoritmo atende a
uma especificação por um exame de sua
estrutura – uma prova formal de sua correção
 Na prática somente algoritmos pequenos têm
uma prova de correção viável
 Testes são usados para ganhar convicção do
bom funcionamento de um algoritmo
 Testes podem descobrir erros, mas quase
nunca garantir sua ausência
DCC001 - 2011-2
6
Somador em Cascata
Entrada b
Entrada a
SC
DCC001 - 2011-2
SC
SC
SC
7
Somador
Testes ou Prova Formal?
 Para testar completamente um somador de
32 bits são necessários 264 testes!
 Se estamos convencidos da correção de um
circuito de soma completa, não temos
problemas em aceitar a correção do somador
 É da compreensão da estrutura do somador
que vem a nossa convicção; testes viáveis
cobrem uma fração ínfima do espaço de
entradas
DCC001 - 2011-2
8
Eficiência
 Algoritmos com a mesma funcionalidade podem diferir
muito em sua eficiência
 O termo complexidade é usado para designar uma função
que descreve como o uso de recursos computacionais
cresce com o tamanho da entrada de um algoritmo
 Procura-se determinar a complexidade de um algoritmo de
forma independente da velocidade de um computador
específico e de outros fatores que afetam o tempo de
execução de um programa
DCC001 - 2011-2
9
Fatoração
DCC001 - 2011-2
10
Fatoração de Inteiros
 Consiste em descobrir o menor divisor > 1 de um
número inteiro n >= 2 dado

(se este fator for igual a n, n é primo)
 Uma boa parte da segurança da informação em uso
hoje em dia depende da dificuldade computacional
de se fatorar um número


Chaves criptográficas podem ser quebradas por fatoração
Estas chaves são produtos de dois primos grandes, com
1024 ou 2048 bits cada
DCC001 - 2011-2
11
A função MenorFator
function p = MenorFator(n)
p = 2;
while modulo(n,p) <> 0
p = p + 1;
end
endfunction
function ehPrimo = Primo(n)
ehPrimo = (n == MenorFator(n));
endfunction
DCC001 - 2011-2
12
O programa Fatora.sce
exec("MenorFator.sci");
n = input("n = ");
while n >= 2
timer();
p = MenorFator(n) ;
tempoGasto = timer();
// Imprime o resultado
printf("\nTempo = %8.6fs, %6d é divisível por %6d",...
tempoGasto,n,p);
if n == p then
printf(" **PRIMO**")
end
n = input("n = ");
end
DCC001 - 2011-2
13
Dois Casos de Fatoração
 Para 131101, primo, são feitas 131101
chamadas da função modulo
 Para 131103, somente 3 chamadas!
 Conclusão: o tempo de execução pode
depender da instância específica do problema
 Para a fatoração, primos são o pior caso
Tempo = 3.062500s, 131101 é divisível por 131101 **PRIMO**
n = 131103
Tempo = 0.000000s, 131103 é divisível por
DCC001 - 2011-2
3
14
Variações no Tempo de Execução
n = 131101
Tempo = 2.984375s, 131101 é divisível por 131101 **PRIMO**
n = 131101
Tempo = 3.078125s, 131101 é divisível por 131101 **PRIMO**
n = 131101
Tempo = 3.015625s, 131101 é divisível por 131101 **PRIMO**
 Um mesmo programa pode apresentar variações no
tempo de execução de uma mesma instância de um
problema
 O principal motivo é o compartilhamento do
computador
DCC001 - 2011-2
15
Tempos do Programa Fatora.sce em dois
computadores
Somente
números
primos
DCC001 - 2011-2
16
Função de Complexidade
 n é o tamanho de uma instância de um problema
 Uma função
g n caracteriza a complexidade de
um algoritmo quando o seu tempo de execução é
limitado por g n multiplicado por uma constante
 A idéia é absorver na constante diferenças de
desempenho entre computadores específicos
 Escreve-se T n  O g n
(“big O notation”)

DCC001 - 2011-2
  
17
Complexidade da função MenorFator em função
do número de bits na entrada
 
T n   O 2n
DCC001 - 2011-2
18
Melhorando a Fatoração
 Se d é um divisor de n, existe d’ tal
que
d*d’ = n
 Temos ou d <= sqrt(n), ou d’ <=
sqrt(n)
 Portanto, ao fatorar só precisamos
testar os divisores menores ou
iguais à raiz de n
 P.ex., sqrt(12) = 3,464, e só
precisamos testar divisores
menores ou iguais a 3
DCC001 - 2011-2
d
1
2
3
4
6
12
d'
12
6
4
3
2
1
19
A Função
MenorFator2.sce
function p = MenorFator2(n)
limite = int(sqrt(n));
p = 2;
while modulo(n,p) <> 0 & p <= limite
p = p + 1;
end
if modulo(n,p) <> 0 then
p = n;
end
endfunction
 
T n   O 2  O2
n
DCC001 - 2011-2
n/2

20
Complexidade O(2^n) versus O(2^(n/2))
 Quando n = 10 bits a função modulo é chamada


~1024 vezes com o primeiro algoritmo, e
~32 com o segundo.
 Quando dobramos o tamanho do problema, com n
= 20 bits, a função modulo é chamada


~1048576 vezes com o primeiro algoritmo, ou seja,
1024 vezes o tempo para n = 10
~1024 vezes com o segundo algoritmo, ou seja, 32
vezes o tempo para n = 10!
DCC001 - 2011-2
21
Pesquisa
DCC001 - 2011-2
22
Pesquisa em Tabelas
 Localizar um elemento em uma tabela é
um problema clássico da computação
 Vamos ver dois algoritmos para isto:
Pesquisa Sequencial
 Pesquisa Binária

DCC001 - 2011-2
23
Pesquisa por um Número Primo
 Vamos utilizar algoritmos de pesquisa
para testar se um número é primo
 Obviamente isto só funciona para
números menores ou iguais ao maior
número presente na tabela
DCC001 - 2011-2
24
Tabela de Números Primos
 Números primos têm propriedades
matemáticas interessantes, e por isso
são muito estudados
 Na internet é possível encontrar
arquivos com os primeiros muitos
números primos
 O arquivo 200000primos.txt contém
os 200.000 primeiros números primos
DCC001 - 2011-2
25
Início e Final do Arquivo
200000primos.txt
DCC001 - 2011-2
26
Especificação
 Faça um programa que
 Leia o arquivo 200000primos.txt que contém os
primeiros 200000 números primos
 Leia repetidamente números inteiros e, para cada
número lido, verifique se o número é primo
utilizando a tabela lida.
 O programa deve parar quando o número lido for
0 (zero).
DCC001 - 2011-2
27
Pesquisa Sequencial
DCC001 - 2011-2
28
Pesquisa Sequencial
function p = seqSearch(key,table)
i = 1; // A chave nunca está à esquerda de i
while i <= length(table) & table(i) ~= key
i = i+1;
end
if i <= length(table) then
p = i;
else
Convenção para valor
p = -1;
retornado quando a
end
pesquisa falha
endfunction
DCC001 - 2011-2
29
O Programa VerificaPrimos3.sce
arqTab = xgetfile("*.txt",pwd(),"Arquivo com Tabela");
tabPrimos = fscanfMat(arqTab);
n = input("n = ");
while n >= 2
timer();eh_Primo = Primo3(n,tabPrimos); tempoGasto = timer();
// Imprime o resultado
printf("\nTempo gasto = %g segundos", tempoGasto);
if eh_Primo then
printf("\nO número %d é primo!\n\n",n);
else
printf("\nO número %d não é primo!\n\n", n)
end
n = input("n = ");
end
DCC001 - 2011-2
30
A Função Primo3.sce
function ePrimo = Primo3(n,tabela)
ePrimo = seqSearch(n,tabela) ~= -1;
endfunction
DCC001 - 2011-2
31
Complexidade da Pesquisa Sequencial
 Não é difícil ver que se n é o tamanho da tabela, o número
de comparações feito em uma pesquisa por um elemento
presente na tabela varia entre 1 e n
 Se considerarmos todas as chaves presentes na tabela como
tendo a mesma probabilidade de serem pesquisadas, o
algoritmo fará em média n/2 comparações
 O pior caso ocorre com pesquisas por chaves que não
constam da tabela, quando são feitas n comparações
 Nós dizemos que a complexidade da pesquisa sequencial é
O(n), ou seja, cresce linearmente com o tamanho da tabela
DCC001 - 2011-2
32
Pesquisa Binária
DCC001 - 2011-2
33
Pesquisa Binária
 Quando a tabela tem suas entradas em ordem
crescente (ou decrescente), podemos utilizar um
algoritmo muito mais eficiente para a pesquisa
 A chave é comparada com o elemento no meio da
tabela. Se a chave for



DCC001 - 2011-2
Igual a este elemento: sucesso
Menor: a pesquisa é reaplicada à metade inferior da
tabela
Maior: a pesquisa é reaplicada à metade superior da
tabela
34
Procurando por
Procurando
por7171
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
DCC001 - 2011-2
20
35
46
48
58
68
71
74
87
98
6
7
8
9
10
68
71
74
87
98
6 68
7 71
7 71
35
Procurando
por
Procurando por
37 37
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
DCC001 - 2011-2
20
35
46
48
58
68
71
74
87
98
1
2
3
4
20
35
46
48
3 46
4 48
36
Pesquisa Binária
function p = BinarySearch(key,table,low,high)
printf("\nlength(table) = %d",high-low); //extra
if high < low then
p = -1;
else
m = int((low+high)/2);
if key == table(m) then
p = m;
else
if key < table(m) then
p = BinarySearch(key,table,low,m-1);
else
p = BinarySearch(key,table,m+1,high);
end
end
end
endfunction
DCC001 - 2011-2
37
O Programa VerificaPrimos5.sce
// Programa para deteção de números primos
exec("Primo5.sci")
exec("BinarySearch.sci")
arqTab = uigetfile("*.txt",pwd(),"Arquivo com Tabela");
tabPrimos = fscanfMat(arqTab);
n = input("n = ");
while n >= 2
timer(); eh_Primo = Primo5(n,tabPrimos); tempoGasto = timer();
// Imprime o resultado
printf("\nTempo gasto = %g segundos", tempoGasto);
if eh_Primo then
printf("\nO número %d é primo!\n\n",n);
else
printf("\nO número %d não é primo!\n\n", n)
end
n = input("n = ");
end
DCC001 - 2011-2
38
A Função Primo5.sci
function ePrimo = Primo5(n,tabela)
posicao = BinarySearch(
n,tabela,1,length(tabela));
ePrimo = (posicao <> -1);
endfunction
DCC001 - 2011-2
39
Pesquisa Binária
Passos para n = 16
 São 4 passos no pior caso
24
23
22
21
20
DCC001 - 2011-2
40
Pesquisa Binária
Qual é a maior tabela pesquisável com p passos?
 Com p passos uma pesquisa é completada
em uma tabela de tamanho <= 2p
20
21
22
2p
DCC001 - 2011-2
…
…
41
Complexidade da Pesquisa Binária
 A cada passo o tamanho da porção da tabela é




DCC001 - 2011-2
dividido por 2
No pior caso, o algoritmo termina quando o tamanho
dessa porção é igual a 1
Com p passos, reduzimos a 1 o tamanho da porção
examinada de uma tabela com n =~ 2p elementos
Temos no máximo log2(n) passos
Ou seja, a complexidade da pesquisa binária é
logarítimica
42
Complexidade linear x complexidade logarítmica
 Para pesquisar em uma tabela de 200.000
elementos, a pesquisa binária faz no máximo
log2(200.000) =~ 18 comparações
 Para a mesma tabela, a pesquisa sequencial pode
necessitar de 200.000 comparações;
 Se dobrarmos o tamanho da tabela, a pesquisa
binária fará no máximo 19 comparações (uma a
mais), enquanto que a pesquisa sequencial
poderá fazer 400.000 comparações!
DCC001 - 2011-2
43
Resumo
 Aspectos fundamentais do estudo de
algoritmos são especificação, correção e
complexidade
 Algoritmos podem ter desempenhos distintos
para instâncias distintas de um mesmo
problema
 Procuramos caracterizar a complexidade de
forma independente do desempenho de
máquinas específicas
DCC001 - 2011-2
44
Resumo
 Muitas vezes podemos encontrar melhores
algoritmos estudando propriedades do
problema de transformação de informação
 Algumas funções de complexidade indicam
que poderíamos esperar milênios pela
execução de um programa
DCC001 - 2011-2
45