Apresentação do PowerPoint

MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
PROFESSOR
JOÃO LAURO
M ATE MÁTI CA E SUA S T E C NOLOG IAS
P ROF E SSOR: JOÃ O LAURO SOUSA
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
 O Conjunto dos números reais é formado pela união de todos os
números racionais com todos os números irracionais.
ℝ = 𝑥 𝑥 é 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝑜𝑢 𝒊𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍
ℝ
𝐈
ℚ
ℤ
ℕ
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CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Propriedade Fundamental dos Números Reais.
 Todo número real elevado a um expoente par é sempre positivo.
Exemplos:
𝑎) +5
2
= 25
𝑏) −5
2
= 25
𝑐) +3
4
𝑑) −3
4
= 81
ℝ = 𝑥 𝑥 é 𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝑜𝑢 𝒊𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍
= 81
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Observação importante:
 Todo número que elevado a um expoente par gerar uma potência
negativa não é real. Esses números existem e farão parte de um novo
conjunto que será chamado de CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS.
UNIDADE IMAGINÁRIA
 No estudo dos números complexos, chamaremos de unidade imaginária
ao número 𝒊 , tal que 𝒊𝟐 = −𝟏.
Portanto, através dessa definição observamos que:
 Se 𝒊𝟐 = −𝟏 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝒊 = −𝟏
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A partir dessa definição já podemos calcular, por exemplo, raiz quadrada de
números negativos.
Exemplos:
𝑎)
−9 =
(9) ∙ −1 =
𝑏)
−16 = 𝟒𝒊
𝑐)
−3 = 𝟑 𝒊
9 ∙ −1 = 3 ∙ 𝑖 = 𝟑𝒊
𝑑) ± −49 = ±𝟕𝒊
Atenção, não devemos esquecer que esses números não são reais.
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No universo dos números complexos, todas as equações do 2º grau
possuem solução.
Exemplo 1:
𝑎) 2𝑥 2 + 18 = 0 ,
𝑈=ℂ
2𝑥 2 = −18
−18
𝑥 =
= −9
2
2
𝑥 2 = −9 ⇒ 𝑥 = ± −9
𝑆 = ±3𝑖
⇒ 𝒙 = ± 𝟑𝒊
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Exemplo 2:
𝑏) 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = 0 ,
∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
−𝒃 ± ∆
𝒙=
𝟐𝒂
𝑆 = 2±𝑖
𝑈=ℂ
2
⟹
∆= −4
− 4 ∙ 1 ∙ 5 = 16 − 20 = −4
⟹
− −4 ± −4
4 ± 2𝑖 2 2 ± 𝑖
𝑥=
=
=
=𝟐±𝒊
2∙1
2
2
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FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
 Sejam 𝒂 𝑒 𝒃 números reais quaisquer e 𝒊 a unidade imaginária, chama-se
forma algébrica de um número complexo à expressão 𝒂 + 𝒃𝒊.
Portanto, se 𝒛 ∈ ℂ ⟺ 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊.
𝒂 → 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑧
𝒃 → 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑧
Particularidades
1ª) 𝑆𝑒 𝒂 ≠ 𝟎 𝑒 𝒃 ≠ 𝟎, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜.
2ª) 𝑆𝑒 𝒂 = 𝟎 𝑒 𝒃 ≠ 𝟎, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜.
3ª) 𝑆𝑒 𝒃 = 𝟎, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙.
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Exemplos:
a) 𝑧1 = −3 + 8𝑖 ⇒ 𝑎 = −3 𝑒 𝑏 = 2
b) 𝑧2 = 4 − 𝑖 ⇒ 𝑎 = 4 𝑒 𝑏 = −1
𝑐) 𝑧3 = −10𝑖 ⇒ 𝑎 = 0 𝑒 𝑏 = −10
⇒
⇒
⇒
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜.
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜.
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜.
𝑑) 𝑧4 = 7 ⇒ 𝑎 = 7 𝑒 𝑏 = 0
⇒
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙.
𝑒) 𝑧5 = 0 ⇒ 𝑎 = 0 𝑒 𝑏 = 0
⇒
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙.
Conclusão Importante
 Todo número real é complexo, mas nem todo número complexo é real.
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CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
𝐈
ℚ
ℕ
ℝ
ℂ
ℤ
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ
Todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional, todo número
racional é real, todo número real é complexo.
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ESTUDO DA FORMA ALGÉBRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO
Igualdade
 Dois números complexos na forma algébrica são iguais, quando suas
partes reais são iguais e suas partes imaginárias também são iguais.
𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝒄 + 𝒅𝒊
⟺
(𝒂 = 𝒄) 𝒆 (𝒃 = 𝒅)
Ex.: Determine x e y para que os números complexos
𝒛𝟏 = 𝟐𝒂 + 𝟔 + 𝟑𝒂 − 𝒃 𝒊 𝒆 𝒛𝟐 = 𝟒 + 𝒊 sejam iguais.
𝒛𝟏 = 𝒛𝟐
⇒
2𝑎 + 6 + 3𝑎 − 𝑏 𝑖 = 4 + 𝑖
2𝑎 + 6 = 4
⇒
2𝑎 = −2
⇒
3𝑎 − 𝑏 = 1
⇒
3 −1 − 𝑏 = 1
𝒂 = −𝟏
⇒
−3 − 𝑏 = 1
⇒
𝒃 = −𝟒
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OPERAÇÕES ENTRE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
Adição e Subtração
 Nos dois casos, basta nós reduzirmos os termos semelhantes entre eles.
(parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária)
𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒄 + 𝒅𝒊
⟺
𝒂+𝒄 + 𝒃+𝒅 𝒊
𝒂 + 𝒃𝒊 − 𝒄 + 𝒅𝒊
⟺
𝒂−𝒄 + 𝒃−𝒅 𝒊
Multiplicação
 Nesse caso, basta nós aplicarmos a propriedade distributiva da
multiplicação e lembrarmos que 𝒊𝟐 = −𝟏.
𝒂 + 𝒃𝒊 ∙ 𝒄 + 𝒅𝒊
⟺ 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅𝒊 + 𝒃𝒄𝒊 + 𝒃𝒅𝒊𝟐
𝒂𝒄 + 𝒂𝒅𝒊 + 𝒃𝒄𝒊 + 𝒃𝒅(−𝟏) ⟺
⟺
𝐚𝐜 − 𝐛𝐝 + 𝐚𝐝 + 𝐛𝐜 𝐢
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Ex.: 𝑧1 = 7 − 4𝑖 ; 𝑧2 = −10 + 𝑖 ; 𝑧3 = 3𝑖
𝒂) 𝑧1 + 𝑧2 = 7 − 4𝑖 + −10 + 𝑖 = 7 − 4𝑖 − 10 + 𝑖 = −𝟑 − 𝟑𝒊.
𝒃) 𝑧1 − 𝑧2 = 7 − 4𝑖 − −10 + 𝑖 = 7 − 4𝑖 + 10 − 𝑖 = 𝟏𝟕 − 𝟓𝒊.
𝒄) 𝑧2 + 3 ∙ 𝑧1 − 2 ∙ 𝑧3 = −10 + 𝑖 + 3 ∙ 7 − 4𝑖 − 2 ∙ 3𝑖 =
= −10 + 𝑖 + 21 − 12𝑖 − 6𝑖 = 𝟏𝟏 − 𝟏𝟕𝒊.
𝒅) 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 7 − 4𝑖 ∙ −10 + 𝑖 = −70 + 7𝑖 + 40𝑖 − 4𝑖 2 =
= −70 + 7𝑖 + 40𝑖 − 4 ∙ −1 = −70 + 7𝑖 + 40𝑖 + 4 = −𝟔𝟔 + 𝟒𝟕𝒊.
𝒆) 𝑧1
2
= 7 − 4𝑖
2
= 7 − 4𝑖 ∙ 7 − 4𝑖 = 49 − 56𝑖 + 16𝑖 2 = 𝟑𝟑 − 𝟓𝟔𝒊.
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OPERAÇÕES ENTRE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
Conjugado de um número complexo
 O conjugado de um número complexo 𝒛 na forma algébrica, é o número
complexo 𝒛 que tem a mesma parte real de 𝒛 e a parte imaginária é
simétrica de 𝒛.
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ⟺
𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊
Divisão
 Nesse caso, nós multiplicamos os dois termos da divisão (dividendo e
divisor) pelo conjugado do divisor.
𝒂 + 𝒃𝒊
𝒂 + 𝒃𝒊 ∙ 𝒄 − 𝒅𝒊
=
𝒄 + 𝒅𝒊
𝒄 + 𝒅𝒊 ∙ 𝒄 − 𝒅𝒊
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𝟓 + 𝟐𝒊
5 + 2𝑖 ∙ 3 − 𝑖
15 − 5𝑖 + 6𝑖 − 2𝑖 2
=
=
=
𝟑+𝒊
3+𝑖 ∙ 3−𝑖
3 2− 𝑖 2
𝒂)
=
𝒃)
15 − 5𝑖 + 6𝑖 − 2 ∙ −1
15 − 5𝑖 + 6𝑖 + 2
17 + 𝑖
𝟏𝟕
𝟏
=
=
=
+
𝒊
9 − −1
9+1
10
𝟏𝟎
𝟏𝟎
𝟑+𝒊
3 + 𝑖 ∙ 1 + 4𝑖
3 + 12𝑖 + 𝑖 + 4𝑖 2
=
=
=
2
2
𝟏 − 𝟒𝒊
1 − 4𝑖 ∙ 1 + 4𝑖
1 − 4𝑖
3 + 12𝑖 + 𝑖 + 4 ∙ −1
3 + 12𝑖 + 𝑖 − 4
−1 + 13𝑖
𝟏
𝟏𝟑
=
=
=
=−
+
𝒊
1 − 16𝑖 2
1 − 16 ∙ −1
17
𝟏𝟕
𝟏𝟕
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OPERAÇÕES ENTRE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA
Potências de 𝒊
 São as potências de base 𝑖 e expoente natural 𝑛.
𝒏=𝟎
⇒
𝒊𝟎 = 𝟏
𝒏=𝟒
⇒
𝒊𝟒 = 𝟏
𝒏=𝟏
⇒
𝒊𝟏 = 𝒊
𝒏=𝟓
⇒
𝒊𝟓 = 𝒊
𝒏=𝟐
⇒
𝒊𝟐 = −𝟏
𝒏=𝟔
⇒
𝒊𝟔 = −𝟏
𝒏=𝟑
⇒
𝒊𝟑 = −𝒊
𝒏=𝟕
⇒
𝒊𝟕 = −𝒊
As potências de base 𝒊 e expoente natural 𝒏 são periódicas,
repetindo-se de 4 em 4 unidades.
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As potências de base 𝒊 e expoente natural 𝒏 são periódicas,
repetindo-se de 4 em 4 unidades.
Regra
 𝒊 𝒏 = 𝒊 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔ã𝒐 𝒅𝒆 𝒏 𝒑𝒐𝒓 𝟒
𝒂) 𝒊 𝟐𝟖 = 𝒊 𝟎 = 𝟏
𝒃)
𝒊 𝟓𝟑
=
𝒊𝟏
=𝒊
𝒄) 𝒊 𝟖𝟔 = 𝒊 𝟐 = −𝟏
𝒅) 𝒊 𝟏𝟑𝟓 = 𝒊 𝟑 = −𝒊
𝒆) 𝒊 𝟐𝟎𝟏𝟔 = 𝒊 𝟏𝟔 = 𝒊 𝟎 = 𝟏
Lembretes:
 Ao dividirmos um número por 4, os restos
possíveis são 0 , 1 , 2 ou 3.
 Um número é divisível por 4 quando seus dois
últimos algarismos formam um número
divisível por 4.
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