Axiomas de Euclides

Axiomas de Euclides
MTM135 – Geometria Euclidiana
Prof. Thiago Santos
Definição ( Ângulo )
 Um par de semiretas com mesma origem é um ângulo.
B
C
A
Definição ( Ângulo ...)
 As semiretas que formam o ângulo será chamado de
lado e o ponto em comum é o vértice.
 Se as semiretas forem denotadas por 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 ,
denotaremos o ângulo correspondente por ∡𝐵𝐴𝐶.
 Se as semiretas forem coincidentes, dizemos que ∡𝐵𝐴𝐶 é
ângulo nulo.
 Se as semiretas forem opostas, dizemos que ∡𝐵𝐴𝐶 é
ângulo raso.
Definição ( Região Angular)
𝑅∡𝐴 = ℘𝑙,𝐶 ∩ ℘𝑟,𝐵
onde,
1. ∡𝐴= ∡𝐵𝐴𝐶
2. 𝑙 = 𝐴𝐵, 𝑟 = 𝐴𝐶
3. ℘𝑙,𝐶 é o semiplano relativo a 𝑙 que contém C.
4.
℘𝑟,𝐵 é o semiplano relativo a 𝑟 que contém B.
Definição ( Região Angular...)
Região Angular
D
C
Ponto Interior
B
A
Ponto Exterior
E
Axioma III.1
 Para cada ângulo ∡𝐵𝐴𝐶 do plano existe um número real
associado, denotado por 𝑚(∡𝐵𝐴𝐶), satisfazendo as
propriedades:
1. 0 ≤ 𝑚(∡𝐵𝐴𝐶) ≤ 180.
2. 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 = 0 se, e somente se, ∡𝐵𝐴𝐶 for ângulo nulo.
3. 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 = 180 se, e somente se, ∡𝐵𝐴𝐶 for ângulo raso.
4. 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 = 𝑚 ∡𝐶𝐴𝐵 .
Definição ( medida de ângulo)
 O número 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 é a medida do ângulo ∡𝐵𝐴𝐶.
Axioma III.2
Axioma III.2
 Se ∡𝐵𝐴𝐶 é um ângulo não-trivial e D é um ponto interior
então
𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 = 𝑚 ∡𝐵𝐴𝐷 + 𝑚 ∡𝐷𝐴𝐶 .
 Se ∡𝐵𝐴𝐶 é um ângulo raso e D é um ponto em um dos
lados da reta 𝐵𝐶 então
𝑚 ∡𝐵𝐴𝐷 + 𝑚 ∡𝐷𝐴𝐶 = 180.
Definição ( ângulos suplementares)
 ∡𝛼 e ∡𝛽 são suplementares se 𝑚 ∡𝛼 + 𝑚 ∡𝛽 = 180.
Axioma III.3
 Para toda semireta 𝐴𝐵, todo número real 𝑎, 0 < 𝑎 < 180,
e cada semiplano ℘ determinado por 𝐴𝐵, existe uma
única semireta 𝐴𝐷 ⊂ ℘ tal que
𝑚 ∡𝐵𝐴𝐷 = 𝑎
D
∡𝛼
A
B
∡𝛽
C
Exercício. Considere os seguintes ângulos com as
medidas dadas:
𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 = 110
𝑚 ∡𝐵𝐴𝐷 = 120
Calcule a medida de ∡𝐶𝐴𝐷 quando:
1. D está do mesmo lado de C;
2. D e C estão em lados opostos, sempre em relação
a 𝐴𝐵.
Congruências de segmentos
Definição
Dois segmentos são congruentes se
possuem a mesma medida
 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷 se, e somente se, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷.
 Notação: “≡”
 Obs: “igual” é diferente de “congruente”
Exercício. Prove que congruência de
segmentos é uma relação de
equivalência.
Definição (ponto médio)
Dado um segmento 𝐴𝐵, dizemos que um
ponto M ∈ 𝐴𝐵 é um ponto médio de 𝐴𝐵
se 𝐴𝑀 ≡ 𝑀𝐵.
Congruências de ângulos
Definição
Dois ângulos são congruentes se
possuem a mesma medida.
∡𝐵𝐴𝐶 ≡ ∡𝐸𝐷𝐹 se, e somente se,
𝑚 ∡𝐵𝐴𝐶 = 𝑚(∡𝐸𝐷𝐹)
Definição ( bissetriz )
Dado um ângulo ∡𝐵𝐴𝐶, dizemos que uma
semireta 𝐴𝐷 é uma bissetriz de ∡𝐵𝐴𝐶 se:
1. O ponto D pertence ao interior de
∡𝐵𝐴𝐶.
2. ∡𝐵𝐴𝐷 = ∡𝐷𝐴𝐶.
D
∡𝛼
A
B
∡𝛼
C
Fatos conhecidos que iremos assumir:
O ângulo com medida 90 é chamado de
ângulo reto;
O ângulo com medida menor que 90 é
chamado de ângulo agudo;
O ângulo com medida maior que 90 é
chamado de ângulo obtuso;
Ângulo opostos pelo vértice.
Triângulo
Definição
Um triangulo é uma figura formada pela união
de três segmentos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶, onde A, B e C são
pontos não colineares.
Notação: Δ𝐴𝐵𝐶
Os pontos A, B e C serão chamados vértices.
Os segmentos 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 serão os lados ou
arestas.
Continua na próxima aula...