divisível por 3 - Blog Pedagogia IMES

Metodologia do Ensino
da Matemática – Aula 09
IMES – Fafica
Curso de Pedagogia – 3º Ano
Prof. MSc. Fabricio Eduardo Ferreira
[email protected]
Divisível, Múltiplo e Divisor (I)
Quando um número é divisível por outro?
Quando a divisão do primeiro pelo segundo for exata.
27
3
43
5
0
9
3
8
Podemos dizer que 27 é divisível por 3,
Podemos dizer que 43 não é divisível por 5,
porque a divisão de 27 por 3 é exata.
porque a divisão de 43 por 5 não é exata.
Pelo mesmo motivo também podemos dizer que:
Podemos dizer que 3 é divisor de 27.
Podemos dizer que 5 não é divisor de 43.
Divisível, Múltiplo e Divisor (II)
27
3
43
5
0
9
3
8
Quando um número é múltiplo de outro?
Podemos dizer que 27 é múltiplo de 3,
pois 3 x 9 é exatamente 27.





Quando há um número natural que multiplicado
pelo primeiro resulta no segundo.
Podemos dizer que 43 não é múltiplo de 5,
pois não existe nenhum número natural
que multiplicado por 5 resulta em 43.
Observações:
O 1 é considerado divisor universal pois todo número é divisível por 1;
O 0 é considerado múltiplo universal pois todo número multiplicado por 0 resulta em 0;
Nenhum número é divisível por zero, pelo motivo citado anteriormente;
O zero é divisível por qualquer número (exceto si mesmo);
Todo número (exceto zero) é divisível por si mesmo.
Números Pares e Números Ímpares
O que é um número par?
É todo número natural divisível por dois.
0
2
4
6
O que é um número ímpar?
É todo número natural não divisível por dois.
3
1
7
8
5
9
Identificando números pares e ímpares
14
17
Como reconhecer um número par?
É todo número natural terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Como reconhecer um número ímpar?
É todo número natural terminado em 0, 2, 4, 6 ou 8.
O número 1.735.916 é par pois termina em 6.
O número 2.864.203 é ímpar pois termina em 3.
Critérios de divisibilidade (I)
Quando um número é divisível por 2?
O número 1.735.916 é divisível por 2 pois é par.
Um número é divisível por 2 quando for par.
O número 2.864.203 não é divisível por 2 pois é ímpar.
Quando um número é divisível por 3?
Um número é divisível por 3 quando a
soma de seus algarismos for divisível por 3.
Verifique se o número 495 é divisível por 3.
Verifique se o número 361 é divisível por 3.
495
3
361
3
0
165
1
120
4 + 9 + 5 = 18
3 + 6 + 1 = 10
e 18 é divisível por 3
e 10 não é divisível por 3
Critérios de divisibilidade (II)
Quando um número é divisível por 5?
Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.
O número 3.971.860 é divisível por 5
O número 5.405.268 não é divisível por 5
pois termina em 0.
pois termina não termina nem em 0 nem em 5.
Quando um número é divisível por 6?
Um número é divisível por 6 quando for divisível
por 2 e 3 simultaneamente.
Verifique se o número 930 é divisível por 6.
930
é divisível por 2
⇒ é divisível por 6
é divisível por 3
Verifique se o número 640 é divisível por 6.
640
é divisível por 2
⇒ não é divisível por 6
não é divisível por 3
930
6
640
6
0
155
4
106
Critérios de divisibilidade (III)
Quando um número é divisível por 4?
Verifique se o número 680 é divisível por 4.
Um número é divisível por 4 quando
seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4.
Verifique se o número 842 é divisível por 4.
80
4
42
4
0
20
2
10
Quando um número é divisível por 8?
Verifique se o número 1728 é divisível por 8.
Um número é divisível por 8 quando
seus três últimos algarismos forem divisíveis por 8.
Verifique se o número 8436 é divisível por 8.
728
8
436
8
0
91
4
54
Critérios de divisibilidade (IV)
Quando um número é divisível por 9?
Um número é divisível por 9 quando a
soma de seus algarismos for divisível por 9.
Verifique se o número 540 é divisível por 9.
Verifique se o número 960 é divisível por 3.
540
9
960
9
0
60
6
106
5+4+0=9
e 9 é divisível por 9
9 + 6 + 0 = 15
e 15 não é divisível por 9
Quando um número é divisível por 10?
Um número é divisível por 10 quando terminar em zero.
O número 3.951.540 é divisível por 10
O número 5.480.025 não é divisível por 10
pois terminou em 0.
pois não terminou em 0.
Revisão
Quando um número é divisível por 2?
Um número é divisível por 2 quando for par.
Quando um número é divisível por 3?
Um número é divisível por 3 quando a
soma de seus algarismos for divisível por 3.
Quando um número é divisível por 4?
Um número é divisível por 4 quando
seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4.
Quando um número é divisível por 5?
Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.
Quando um número é divisível por 6?
Um número é divisível por 6 quando for divisível
por 2 e 3 simultaneamente.
Quando um número é divisível por 8?
Um número é divisível por 8 quando
seus três últimos algarismos forem divisíveis por 8.
Quando um número é divisível por 9?
Um número é divisível por 9 quando a
soma de seus algarismos for divisível por 9.
Quando um número é divisível por 10?
Um número é divisível por 10 quando terminar em zero.
Número Primo
É todo número natural que é divisível
APENAS por 1 e si mesmo.
O que é um número primo?
𝐷 11 = 1,11
𝐷 6 = 1,2,3,6
𝐷 7 = 1,7
𝐷 8 = 1,2,4,8
Percebemos que alguns números possuem vários divisores, enquanto outros possuem apenas dois divisores.
Observações:
 A palavra primo deriva de primeiro, pois utilizando os números primos podemos obter todos os
demais números naturais;
 Os números que não são primos recebem o nome de compostos, precisamente pelo fato de poderem
ser obtidos através da multiplicação de números primos.
Crivo de Eratóstenes
É um procedimento desenvolvido por Eratóstenes de Cirene (século III a.C.) que permite descobrir números primos.
Eratóstenes de Cirene
( 276 a.C.;  194 a.C.)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1.
Escreve-se a sequência de números desejada a partir de 2;
2.
Circula-se o primeiro número (o dois) e criva-se (risca) seus múltiplos;
3.
Circula-se o novo primeiro número da sequência (três) e criva-se seus múltiplos;
4.
Repete-se o procedimento até acabarem os números;
5.
Os números circulados são os primos e os crivados os compostos.
Um pouco mais sobre números primos
𝑃 = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …
Observações:
 Os números primos são infinitos (prova foi feita por Euclides de Alexandria);
 O único número primo e par é o dois (por quê?);
 Nem todos os números ímpares são primos (dê contraexemplos).
Como saber se determinado número é
primo ou composto?
Reconhecendo um número primo (I)
Exemplo 1) Verifique se o número 101 é primo.
𝑃 = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …
101
2
101
3
101
5
101
7
1
50
2
33
1
20
3
14
101
9
101
11
2
11
2
9
Logo 101 é primo.
Exemplo 2) Verifique se o número 121 é primo.
121
2
121
3
121
5
121
7
1
60
1
40
1
24
2
17
121
9
121
11
4
13
0
11
Logo 121 é composto.
Reconhecendo um número primo (II)
Como saber se determinado número é primo ou composto?
Divida o número desejado pela sequência dos números primos até que uma das duas opções ocorra:
 a divisão der não exata; continue dividindo até que o resultado dê igual ou menor que o divisor.
Neste caso o número é primo;
 a divisão der exata. Neste caso o número é composto.
Qual a importância dos números primos?
A dificuldade de verificar se um número é primo é chave de todo sistema de criptografia computacional.
Em outras palavras o fato de ser difícil verificar se grandes números são primos acaba
protegendo transações bancárias, senhas de internet, compras on-line, etc.