análise de gráfico

Prof. Valderi Nunes
A arte de ser louco é jamais cometer a loucura de ser um
sujeito normal.
RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO REAL
Definição de função: Dados dois conjuntos, A e B, não vazios,
de nomina-se função de A em B, a uma relação f de A em B, em
que cada elemento x ∈ A tem em correspondência um único
elemento y ∈B, com (x; y) pertencente à relação f.
Com base na definição de função, podemos estabelecer a
seguinte regra:
Para que o gráfico cartesiano de uma relação seja de uma
função , é preciso que toda e qualquer reta vertical que passe
por qualquer ponto que representa um elemento do domínio da
relação encontre sempre em um único ponto o gráfico
apresentado.
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FUNÇÕES
RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO REAL
Não é uma função
Observe que existe elementos do domínio com mais de uma imagem.
A reta perpendicular ao eixo 0x toca o gráfico em mais de um ponto.
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FUNÇÕES
RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO REAL
Não é uma função
Observe que existem elementos do domínio sem nenhuma imagem.
Uma das retas perpendicular ao eixo 0x não toca o gráfico.
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FUNÇÕES
RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO REAL
Sim, é uma função
Observe que não existe elemento do domínio com mais de uma imagem.
A reta perpendicular ao eixo 0x toca o gráfico em um único de um ponto.
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FUNÇÕES
RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO REAL
Sim, é uma função
Observe que não existe elemento do domínio com mais de uma imagem.
A reta perpendicular ao eixo 0x toca o gráfico em um único de um ponto.
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FUNÇÕES
DOMÍNIO e IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL
Domínio de uma função: Projeção ortogonal do gráfico da função
no eixo 0x. (Eixo das abscissas).
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FUNÇÕES
DOMÍNIO e IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL
Imagem de uma função: Projeção ortogonal do gráfico da função no
eixo 0y. (Eixo das ordenadas).
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FUNÇÕES
DOMÍNIO e IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL
Intervalo fechado
y
d
Imagem da função
(Projeção no eixo 0y)
Domínio da função
(Projeção no eixo 0x)
c
a
b
x
D(f) = {x ϵ IR / a ≤ x ≤ b} ou D(f) = [ a ; b ]
Im(f) = {y ϵ IR / c ≤ y ≤ d} ou Im(f) = [ c ; d ]
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FUNÇÕES
DOMÍNIO e IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL
Intervalo aberto
y
d
Imagem da função
(Projeção no eixo 0y)
Domínio da função
(Projeção no eixo 0x)
c
a
b
x
D(f) = {x ϵ IR / a < x < b} ou D(f) = ] a ; b [
Im(f) = {y ϵ IR / c < y < d} ou Im(f) = ] c ; d [
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FUNÇÕES
DOMÍNIO e IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL
Intervalo semiaberto à direita
y
d
Imagem da função
(Projeção no eixo 0y)
Domínio da função
(Projeção no eixo 0x)
c
a
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b
x
D(f) = {x ϵ IR / a ≤ x < b}
ou D(f) = [ a ; b [
Im(f) = {y ϵ IR / c < y ≤ d}
ou Im(f) = ] c ; d ]
FUNÇÕES
DOMÍNIO e IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL
Intervalo semiaberto à esquerda
y
d
Imagem da função
(Projeção no eixo 0y)
Domínio da função
(Projeção no eixo 0x)
c
a
b
x
D(f) = {x ϵ IR / a < x ≤ b} ou D(f) = ] a ; b ]
Im(f) = {y ϵ IR / c ≤ y < d} ou Im(f) = [ c ; d [
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FUNÇÕES
DOMÍNIO e IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL
y
4
2
–2
0
2
D = {x ∈ IR | – 2 < x ≤ 4}
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4
x
Im = {y ∈ IR | 0 ≤ y ≤ 4}
FUNÇÕES
DOMÍNIO e IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL
y
5
3
5
0
–1
1
2
x
–3
–4
D = {x ∈ IR | x ≤ 5}
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Im = {y ∈ IR | – 3 < y ≤ 5 e y = – 4}
FUNÇÕES
DOMÍNIO e IMAGEM DE UMA FUNÇÃO REAL
y
6
3
1
0
D = {x ∈ IR | 0 < x ≤ 9}
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9
x
Im = {y ∈ IR | 1 ≤ y ≤ 6}
FUNÇÕES
CRESCIMENTO e DECRESCIMENTO DE UMA
FUNÇÃO REAL
constante
5
1
–5
0
11
2
5
–3
f(x) é crescente: x1 < x2 → f(x1) < f(x2)
f(x) é decrescente: x1 < x2 → f(x1) > f(x2)
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FUNÇÕES
CRESCIMENTO e DECRESCIMENTO DE UMA
FUNÇÃO REAL
constante
5
1
–5
11
0
2
5
–3
f(x) é crescente: [– 5 ; 2]
f(x) é constante: [2 ; 5]
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f(x) é decrescente: [ 5 ; 11[
FUNÇÕES
CRESCIMENTO e DECRESCIMENTO DE UMA
FUNÇÃO REAL
crescente
y
f(x) é constante: [1 ; 2]
5
–6
crescente
1
2
0
–1
4
–3
6
x
constante
f(x) é crescente: [– 6 ; 1] e [2 ; 4]
f(x) é decrescente: [ 4 ; 6 [
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FUNÇÕES
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO REAL
Raiz da função: É o valor de x que anula a função, isto é, f(x) = 0
No gráfico, é o ponto de
intersecção com o eixo das
abscissas.
y
raiz da função
f(x) < 0
(f(x) é negativa)
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–
f(x) > 0
+
(f(x) é positiva)
x
a
f(x) > 0, para x > a
f(x) < 0, para x < a
FUNÇÕES
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO REAL
y
f(x) > 0
(f(x) é positiva)
+
raiz da função
a
–
x
f(x) < 0
(f(x) é negativa)
f(x) > 0, para x < a
f(x) < 0, para x > a
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FUNÇÕES
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO REAL
y
raiz da função: x = – 2
(f(x) é positiva)
+
–
x
–2
(f(x) é negativa)
f(x) > 0, para x > – 2
f(x) < 0, para x < – 2
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FUNÇÕES
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO REAL
y
raiz da função: x = 3
(f(x) é positiva)
+
3
–
x
(f(x) é negativa)
f(x) > 0, para x < 3
f(x) < 0, para x > 3
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FUNÇÕES
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO REAL
y
(f(x) é positiva)
(f(x) é positiva)
+
+
1
raízes da função:
x=1ex=4
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–
4
x
(f(x) é negativa)
f(x) > 0, para x < 1 e x > 4
f(x) < 0, para 1 < x < 4
FUNÇÕES
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO REAL
y
raízes da função:
x=–2 ex=5
(f(x) é positiva)
+
–
–2
5
(f(x) é negativa)
–
x
(f(x) é negativa)
f(x) > 0, para – 2 < x < 5
f(x) < 0, para x < – 2 e x > 5
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FUNÇÕES
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