Equação da onda em uma dimensão

Equação da onda em uma dimensão
2 f
2
x

1 2 f
2
2
v t
 0
onde v é a velocidade da onda
Soluções, para uma onda que se propaga, são da forma:
f ( x, t )  f ( x  vt )
onde f (u) pode ser qualquer função diferenciável até segunda
ordem.
Equação da onda eletromagnética 1-D
2 E
2 E
  2  0
2
x
t
onde E é o campo elétrico. O
campo magnético obedece à
mesma equação.
Solução de termos de ondas harmônicas:
E ( x, t )  B cos[k ( x  vt )]  C sin[k ( x  vt )]
kx  (kv)t
ou
E ( x, t )  B cos(kx   t )  C sin(kx   t )
onde:

k
 v 
1

Números complexos simplificam o
tratamento matemático das ondas!
Exemplo: adição de ondas de mesma frequência, mas fases
iniciais diferentes, resulta em uma onda com a mesma
frequência.
Isto não é tão obvio usando funções trigonométricas, mas é
fácil usando-se exponenciais complexas
Etot ( x, t )  E1 exp i(kx   t )  E2 exp i (kx   t )  E3 exp i (kx  t )
 ( E1  E2  E3 ) exp i(kx   t )
Onde todas as fases iniciais são agrupadas em E1, E2, e E3.
E0 exp[i(kx   t )] é chamada de onda plana.
Os contornos dos máximos de uma onda plana, chamados de
frentes de ondas, são planos. Eles se extendem por todo o espaço.
As frentes de onda de uma onda plana
são igualmente espaçadas e são
perpendiculares à direção de
propagação da onda.
Geralmente
desenhamos
somente linhas; é
mais fácil.
Ondas localizadas no
espaço: feixes
Uma onda plana tem frentes de ondas planas
ilimitadas. Não têm existência real.
As ondas reais são mais localizadas. Podemos fazer uma
aproximação realistica de uma onda como uma onda plana
propagando-se na direção z multiplicada por uma Gaussiana em x e y:
 x2  y 2 
E ( x, y, z, t )  E0 exp 
 exp[i(kz  t )]
2
w 

exp(-x2)
z
w
y
x
Frentes de onda localizadas
x
Feixe de laser
quando atinge
parede.
exp(-t2)
Ondas localizadas no tempo:
pulsos
t
Se podemos limitar um
feixe no espaço the
multiplicando por uma
Gaussiana em x e y,
podemos também limitála no tempo
multiplicando por uma
Gaussiana no tempo.
E
t
 t2 
 x2  y 2 
E ( x, y, z, t )  E0 exp   2  exp  
 exp[i(kz   t )]
2
w 
  

Esta é a equação de um pulso de laser.