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UNIFRA
Curso de Mestrado Profissionalizante em
Ensino de Física e de Matemática
Centro Universitário
Fransciscano
ENSINO E APRENDIZAGEM
DE PROBABILIDADE ATRAVÉS
DA METODOLOGIA DE
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
ST E FANE L AYA NA GA F F U RI
O R IE NTADOR( A ) : PR O F. ª DR . ª E L E N I
B ISO G N IN
Objetivo
Investigar as contribuições
que a metodologia de
Resolução de Problemas
oferece para o processo de
ensino-aprendizagem dos
conceitos de Probabilidade,
nas aulas de Estatística, para
os alunos do Curso de
Administração.
Objetivos Específicos
Diagnosticar as
concepções prévias dos
alunos sobre as noções
iniciais de
Probabilidade.
Pesquisar de que maneira
a metodologia de
Resolução de Problemas
contribui para o processo
de ensino-aprendizagem e
a construção dos
conceitos de
Probabilidade.
Analisar, por meio de
situações-problema, a
aprendizagem adquirida
pelos alunos, quando da
utilização da metodologia
de Resolução de
Problemas.
Procedimentos Metodológicos
Nesta pesquisa, busca-se
analisar as possibilidades da
metodologia de Resolução
de Problemas para o ensino
dos conceitos de
Probabilidade. Desse
modo, têm-se as seguintes
questões de pesquisa:
Que contribuições a Metodologia da
Resolução de Problemas propicia para o
estudo de Probabilidade?
A metodologia de Resolução de
Problemas favorece o desenvolvimento
da aprendizagem dos conceitos de
Probabilidade?
Metodologia da pesquisa
A presente pesquisa é de abordagem qualitativa,
pois tem como foco analisar o modo como os
alunos interpretam e dão sentido as suas
experiências relacionando-as ao mundo em que
vivem. Enquanto que a metodologia é
investigativa, e se propõe a analisar as
contribuições que a metodologia de Resolução de
Problemas proporciona ao ensino e aprendizagem
dos conceitos de Probabilidade.
Instrumentos de Pesquisa
Os instrumentos de coleta de dados que foram utilizados
para o acompanhamento das atividades foram os seguintes:
Teste
Diagnóstico;
Observação
participante;
Registros no
diário de
campo da
pesquisadora;
Análise das
produções e
registros dos
sujeitos da
pesquisa.
Participantes da pesquisa
O trabalho foi realizado na disciplina de Estatística,
com alunos do terceiro semestre do curso de
Administração, do Centro Universitário Franciscano –
UNIFRA, no município de Santa Maria - RS.
Teste Diagnóstico
Com a finalidade de avaliar as concepções
prévias dos alunos, realizamos a
elaboração, aplicação e análise de um
Teste Diagnóstico, contendo sete
questões, que abordam os elementos que
compõem as noções iniciais de
probabilidade.
Atividades desenvolvidas
Com a finalidade de
conduzir os trabalhos em
sala de aula, foram
seguidas as etapas da
metodologia de
Resolução de Problemas
sugeridas por Onuchic e
Allevato (2009) que são:
Preparação do problema
Leitura em conjunto
Resolução do problema
Observar e incentivar
Registro da resolução na lousa
Plenária
Formalização do conteúdo
As atividades propostas para serem trabalhadas em sala de aula
foram separadas por sessões e agrupadas de acordo com o objetivo
proposto.
Sessão 1 – Experimentos Aleatórios e
Experimentos Determinísticos
O objetivo dessa questão é que o aluno distinga os experimentos
determinísticos dos experimentos aleatórios.
1.1 Analise os seguintes experimentos:
Lançamento de um dado.
Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar seu naipe.
Lançamento de uma moeda.
Sortear um número em uma rifa e verificar o número.
Verificar a que temperatura determinado leite ferve.
Germinação de uma semente.
Se choverá no próximo mês.
Chutar uma bola ao gol e verificar a velocidade com que ela atinge o solo.
A cor da próxima camiseta que você irá comprar.
Encontrar um semáforo em condições normais de funcionamento, e observar qual é a cor que ele
está indicando.
É possível identificar se são experimentos
determinísticos ou experimentos aleatórios?
Classifique-os.
Dica: consulte o dicionário para verificar o
significado das palavras aleatório e
determinístico.
RESOLUÇÃO
Lançamento de um dado. Experimento determinístico
Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e verificar seu naipe. Experimento
aleatório
Lançamento de uma moeda. Experimento determinístico
Sortear um número em uma rifa e verificar o número. Experimento aleatório
Verificar a que temperatura determinado leite ferve. Experimento determinístico
Germinação de uma semente. Experimento aleatório
Se choverá no próximo mês. Experimento aleatório
Chutar uma bola ao gol e verificar a velocidade com que ela atinge o solo. Experimento
determinístico
A cor da próxima camiseta que você irá comprar. Experimento determinístico
Encontrar um semáforo em condições normais de funcionamento, e observar qual é a
cor que ele está indicando. Experimento aleatório
Sessão 2 – Características de um experimento
aleatório
Essas atividades têm como objetivo definir as características de um experimento aleatório.
Dica: Utilize materiais concretos para realizar os experimentos.
2.1 Lance uma moeda e observe a face voltada para cima.
a) É possível repetir esse experimento várias vezes em condições semelhantes?
Sim.
b) Existe a possibilidade de estabelecer o conjunto de todos os resultados possíveis
desse experimento? Se existir essa possibilidade, quais são os possíveis resultados?
Sim. Os possíveis resultados são cara ou coroa.
c) Ao lançar a moeda, pode-se prever qual será a da face voltada para cima?
Não.
2.2 Retire uma carta de um baralho comum e observe seu naipe.
a) É possível repetir esse experimento várias vezes em condições semelhantes?
Sim.
b) Existe a possibilidade de estabelecer o conjunto de todos os resultados
possíveis desse experimento? Se existir essa possibilidade, quais são os
possíveis resultados?
Sim, as possíveis possibilidades são as 52 cartas do baralho.
c) Ao retirar a carta, pode-se prever qual será a da face voltada para cima?
Não.
Sessão 3 – Espaço Amostral e Evento
O objetivo dessa sessão é conceituar espaço amostral e evento.
Dica: Utilize materiais concretos para realizar o experimento
3.1 Utilize os materiais manipuláveis (dado, caixa com fichas numeradas e
moedas) para executar os seguintes experimentos aleatórios:
 a) Lance um dado comum e observe o número da face voltada
para cima.
 b) Da caixa com 10 fichas numeradas de 1 a 10 retire uma
ficha e observe seu número.
 c) Lance simultaneamente duas moedas comuns distintas e
observe cada uma das faces voltadas para cima.
DESCREVER
O conjunto de todos os
resultados possíveis do
experimento aleatório
A.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
O conjunto de todos os
resultados possíveis do
experimento aleatório
B.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10}
O conjunto de todos os
resultados possíveis do
experimento aleatório
C.
S = {(cara, coroa);
(coroa, cara); (cara,
cara); (coroa, coroa)}
3.2 Lance simultaneamente um dado e uma moeda comuns e
observe as faces voltadas para cima.
3.2.1 Descreva o conjunto de todos os resultados possíveis.
A = {(1, cara); (2, cara); (3, cara); (4, cara); (5, cara); (6, cara); (1,
coroa); (2, coroa); (3, coroa); (4, coroa); (5, coroa); (6, coroa)}
3.2.2 Determine os subconjuntos “E” do conjunto “A” que satisfaçam as
condições a seguir:
a) Ocorrência de número par no dado.
E = {(2, cara); (2, coroa); (4, cara); (4, coroa); (6, cara); (6, coroa)}
b) Ocorrência de número ímpar no dado e coroa na moeda.
E = {(1, coroa); (3, coroa); (5, coroa)}
c) Ocorrência de cara na moeda.
E = {(1, cara); (2, cara); (3, cara); (4, cara); (5, cara); (6, cara)}
d) Ocorrência de um número primo no dado e cara na moeda.
E = {(2, cara); (3, cara); (5, cara);}
Sessão 4 – Tipos de Eventos
O propósito desta sessão é conceituar e
distinguir os seguintes tipos de eventos:
Eventos
certos
Eventos
impossíveis
Eventos
complementares
Eventos
independentes
e dependentes
Eventos
mutuament
e exclusivos
(ou
disjuntos)
Eventos
não
exclusivos
(ou
conjuntos)
Dica: Use os materiais concretos (dado e caixa com fichas) para executar
os experimentos.
4.1 Use os materiais concretos para executar o seguinte experimento:
Lance um dado de 6 faces e observe o número da face voltada para
cima e descreva:
a) O espaço amostral do experimento.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Os subconjuntos unitários do espaço amostral.
A = {1}; B = {2}; C = {3}; D = {4}; E = {5}; F = {6}
c) A ocorrência de um número menor ou igual a 6.
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
d) A ocorrência de um número múltiplo de 7.
D=Ø
4.2 Use a caixa com fichas numeradas de 1 a 12 para retirar uma ficha.
Descreva os conjuntos:
a) Ocorrência de número divisor de quatro.
e) Ocorrência de número ímpar.
A = {1, 2, 4}
E = {1, 3, 5}
b) Ocorrência de número múltiplo de 6.
f) O conjunto D U E.
B = {6, 12}
D U E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
c) O conjunto “C” tal que C = A ∩ B.
g) O conjunto D ∩ E.
C=Ø
D∩E=Ø
d) Ocorrência de número par.
D= {2, 4, 6}
Sessão 5 – Cálculo de Probabilidades
O objetivo dessa sessão é construir o conceito de probabilidade.
5.1 (Questão adaptada do Exame Nacional do Ensino Médio de
2009). Um time de futebol amador ganhou uma taça ao vencer
um campeonato. Os jogadores decidiram que o prêmio seria
guardado na casa de um deles. Todos quiseram guardar a taça
em suas casas. Na discussão para se decidir com quem ficaria o
troféu, travou-se o seguinte diálogo:
A partir desse diálogo, responda:
a) Em sua opinião, quem é o jogador com maior chance de levar a taça para casa,
dentre os 11 jogadores do time? Por quê?
b) Qual a probabilidade de Pedro ficar com a taça?
c) Qual a probabilidade de Tadeu ficar com a taça?
d) Qual a probabilidade de Ricardo ficar com a taça?
e) Uma nova sugestão de sorteio foi dada pelo time, usar um dado e uma moeda da
seguinte forma: atribui-se valor 1 para cara e o valor 7 para coroa; jogam-se
simultaneamente a moeda e o dado, e somam-se os resultados. Por exemplo, saindo
cara e “5” ganha Pedro, pois a soma seria 6. No caso de sair coroa e “6”, joga-se
novamente, pois a soma seria 13 e ninguém tem essa camisa. Nessa nova maneira
de sortear, quem levaria a maior vantagem?
Solução
Sessão 6 – Probabilidade Condicional
O objetivo dessa sessão é construir o conceito de Probabilidade Condicional e resolver
problemas relativos a esse conceito.
Dica:Use os materiais concretos para executar os experimentos.
6.1 Cada aluno receberá uma ficha com um dos números inteiros
de 1 a 35 e será feito o sorteio de um brinde. Será contemplado
aquele que possuir a ficha com o mesmo número da bolinha
sorteada entre 35 bolinhas numeradas de 1 a 35.
 a) Qual a probabilidade de o número sorteado ser o seu?
 b) Qual a probabilidade de o número sorteado ser par?
 c) Qual a probabilidade de o número sorteado estar no seu grupo
de trabalho?
Solução
6.2 Essa atividade será feita utilizando dois dados de 6 faces cada.
Cada integrante do grupo deverá escolher um número de 1 a 6.
Em seguida, cada participante jogará um dado de cada vez, uma
única vez. Se o número escolhido aparecer em pelo menos um
dos dados, a pessoa vence.
 a) Qual o número que tem a maior probabilidade de sair?
 b) Qual o número que você escolheu?
 c) Qual a probabilidade de sair esse número em pelo menos
um dos dados?
 d) Qual é a probabilidade de você ganhar sendo que você não
obteve o número escolhido no primeiro dado?
Solução
Sessão 7 – Teoremas Fundamentais
O objetivo dessa sessão é
abordar os conceitos dos
Teoremas Fundamentais:
Teorema da Soma e o
Teorema do Produto.
Dica: Para auxiliar a resolução
dessas atividades utilize materiais
concretos como caixa com fichas
coloridas, baralho e o jogo de
peças conhecido como Dominó.
7.1 Utilize a caixa que contém fichas coloridas. A caixa contém cinco fichas
vermelhas, três fichas azuis, quatro fichas brancas e uma ficha verde. Retire uma
ficha da caixa e responda:
a) Qual a probabilidade dessa ficha ser
vermelha?
S = {13 fichas}; A = {5 fichas vermelhas}
P = n(A)/ n(S) = 5/13 = 0, 38 = 38%
b) Qual a probabilidade dessa ficha ser
azul?
S = {13 fichas}; B = {3 fichas azuis}
P = n(B)/ n(S) = 3/13 = 0, 23 = 23%
c) Qual a probabilidade dessa ficha ser
branca?
S = {13 fichas}; C = {4 fichas brancas}
P = n(C)/ n(S) = 4/13 = 0, 30 = 30%
d) Qual a probabilidade dessa ficha ser
vermelha ou azul?
Temos que a probabilidade de sair uma
ficha azul é P(A) = 3/13 e a
probabilidade de sair uma ficha
vermelha é P(B) = 5/13, logo,
P(AUB) = P(A) + P(B) = 5/13 + 3/13 =
8/13 = 0,61 = 61%
e) Qual a probabilidade dessa ficha ser
branca ou amarela?
Temos que a probabilidade de sair uma
ficha branca é P(A) = 4/13 e a
probabilidade de sair uma ficha verde é
P(B) = 1/13, logo P(AUB) = P(A) + P(B) =
4/13 + 1/13 = 5/13 = 0,38 = 38%
7.2 Essa atividade será realizada entre os integrantes de cada grupo (em
duplas). Será feita uma aposta e o vencedor ganhará um lanche. Dupla A:
vamos lançar uma moeda comum três vezes e se nos três lançamentos sair
cara, nós ganhamos! Dupla B: vamos lançar um dado comum três vezes e se
tirarmos nos três lances o número seis, nós ganhamos.
 a) Quem você acha que tem a maior probabilidade de ganhar a aposta? Por quê?
 b) Qual a probabilidade de se obter cara no primeiro lançamento? E no
segundo? E no terceiro? (Dica: Utilize o diagrama de árvores)
 c) Qual a probabilidade de se obter 6 no primeiro lançamento do dado? E no
segundo? E no terceiro?
 d) É mais fácil tirar três caras na moeda ou três vezes o número 6 no dado?
 e) Quem tem a maior chance de ganhar: a dupla A ou a dupla B?
Solução
7.3 Para a experimentação dessa atividade utilize um jogo de
dominó, com as peças ilustradas abaixo:
a) Retire ao acaso uma peça desse dominó. Qual a probabilidade dessa peça ter
como soma um número par?
b) Coloque de volta a peça que você retirou. Agora retire novamente uma
peça. Qual a probabilidade dessa peça ter como soma 4 ou 6 pontos?
c) Novamente, coloque a peça que você retirou. Agora repita o seguinte
experimento: retire ao acaso desse dominó uma peça. Qual a
probabilidade da soma dos pontos dessa peça ser igual a 7?
d) Sem reposição da peça que você tirou, retire outra peça. Qual a
probabilidade da soma dos pontos dessa segunda peça também ser igual a 7?
Solução
7.4 Para esse experimento será utilizado um baralho de 52 cartas para cada
grupo.
Será solicitado a um dos alunos do grupo que retire duas cartas.
Qual a probabilidade de
obter uma carta
qualquer na primeira
retirada?
b) Após ser feita a
primeira retirada, qual a
probabilidade de obter
uma carta do mesmo
naipe na segunda
retirada?
c) Vamos supor que a
carta que você retirou
seja um rei de copas.
Qual a probabilidade de
se obter um dois de
copas na segunda
retirada?
d) E se antes da segunda
retirada, você tivesse
recolocado no baralho o
primeiro rei que obteve
na primeira retirada,
qual seria a
probabilidade de tirar
um segundo rei? As
chances aumentariam?
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1.
ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando matemática na sala de aula através da resolução de problemas.
Boletim Gepem, n. 55, p. 119, 2009.
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BATANERO, M. C. Didáctica de la Probabilidad y Estadística. Granada: Departamento de Didáctica de la
Matemática,1999.
3.
COUTINHO C. Q. S. Introdução ao conceito de probabilidade: uma visão frequentista. São Paulo: EDUC, 1996.
4.
LOPES, C. A. E. A probabilidade e a estatística no ensino fundamental: uma análise curricular. 1998.
Dissertação. (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas,
1998.
5.
LOPES, C. A. E. O conhecimento profissional dos professores e suas relações com estatística e probabilidade
na educação infantil. 2003. Tese. (Doutorado) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas,
Campinas, 2003.
6.
LÜDKE, M., ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisas em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986.
7.
ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: Bicudo, M. A. V.
(org.) Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas (Seminários e Debates). São Paulo:
UNESP, 1999, p. 199-218.
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ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de matemática através da
resolução de problemas. In: BICUDO, M. A.; BORBA, M. (Orgs). Educação Matemática – pesquisa em movimento.
2.ed. São Paulo: Cortez, 2004, p. 213-231.