Medidas de Tendência Central e de Dispersão

MEDIDAS DE TENDÊNCIA
CENTRAL E DE DISPERSÃO
TIPOS DE VARIÁVEIS
Variável
característica de interesse que se pode
medir ou avaliar e que apresenta
distintos resultados: idade, sexo, grupo
de sangue, grau de educação, pressão
arterial etc
“Características que assumem valores diferentes em
diferentes indivíduos, locais, situações ou objetos”.
Tipos de Variáveis

Qualitativa: Dados são agrupados em categorias mutuamente
exclusivas.
- Nominal: não há um ordenação natural. As categorias não
necessariamente têm relação.
Ex: estado civil, sexo, grupo de sangue, profissão, CID, raça,
religião etc.
-Ordinal: Há um ordenação natural
Ex: status social, estágio da doença, gravidade da
doença, QI, escolaridade
Tipos de Variáveis

Quantitativa: é expressa por números
- Contínua: resulta de uma medida, assumem
qualquer valor em um intervalo lógico
Ex: peso, PA, nível de colesterol, estatura
- Discreta: Obtida através de uma contagem
Ex: FC, número de pacientes atendidos...
Variáveis e causalidade

Variável dependente (desfecho)
A variável que é utilizada para descrever ou medir o
problema investigado

Variáveis independentes (explanatórias)
Variáveis que são utilizadas para descrever ou medir
os fatores que se supõe causar ou influenciar
CARACTERÍSTICAS DA DISTRIBUIÇÃO DE
FREQÜÊNCIAS

Geralmente a distribuição de freqüências possui:



tendência central
dispersão (variação)
A forma da distribuição determina qual o tipo de
medida descritiva mais adequada a ser usada.
MEDIDAS DESCRITIVAS

Medidas de tendência central:
 média

(aritmética, geométrica), mediana e moda.
Medidas de dispersão:
 amplitude,
padrão.
amplitude interquartílica, variância, desvio
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Média aritmética: é o resultado da soma dos valores
de todas as observações, dividida pelo número de
observações.
X =
x1 + x2 + x3 + ... + xn
N
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
A média tem indicação de uso em distribuições
simétricas. Possui o maior poder matemático e é a
medida descritiva mais utilizada (e preferida). No
entanto, é afetada por valores extremos e em
distribuições assimétricas pode apresentar uma
informação distorcida.
x

x
N
Curva de distribuição de freqüências
com representação pictórica da nuvem
de dispersão de pontos.
dispersão de pontos
com n=200
DP
nº de
indivíduos

média
altura
A = {1;3;5;2;6;8;6;10}
1  3  5  2  6  8  6  10
x
 5,125
8
Pesos: 1;2;3;4;5;6;7;8
(1.1)  (3.2)  (5.3)  (2.4)  (6.5)  (8.6)  (6.7)  (10.8)
xp 
 6,39
1 2  3 4  5  6  7  8
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
Mediana: é uma medida de
quartil inferior
posicionamento,
re(Percentil 25)
presentando o valor que
mediana
(Percentil 50)
ocupa a posição central na
quartil superior
(Percentil 75)
série, ou seja, em tese 50%
dos valores estão abaixo e
prega tricipital
50% acima da mediana.
Não é afetada por valores Distribuição de freqüências
extremos, daí ser pre-ferida
com assimetria positiva
em séries com distribuição
assimétrica.
nº de
indivíduos

Medidas descritivas
Se n for impar, a mediana é o
valor central
Se n for par, a mediana é a
metade da soma dos dois
valores centrais
Seja X={2,3,4,5,8}; então a
mediana igual a 4
Seja X={0,2,3,4,5,8}; então a
mediana igual a 3,5
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Moda: é o valor que ocorre com maior freqüência.
Tem emprego restrito em bioestatística, porém como
medida descritiva pode dar uma boa idéia da
distribuição dos valores.
 Ex.:
distribuição unimodal, bimodal.
Estatística Descritiva
Moda – dados simples

Registrou-se o número de pesquisas dos professores de
organização escolar, durante doze dias, tendo-se obtido os
seguintes valores:
5 7 6 8 10 7 11 7 12 9 8 6


O número de pesquisas mais freqüentes ao longo dos 12 dias
é 7.
Assim, a Moda é 7.
MEDIDAS DE DISPERSÃO

Amplitude: é o intervalo existente entre o valor
máximo e o valor mínimo das observações.
 simples
mas pouco informativa, pois refere-se a apenas
dois valores. Além disso, é sensível a valores extremos.
Exemplo:
–
A = {1,7,7,8,8,8,9,9,12,15} 
–
Dispersão [A] = ATA = 15 - 1 = 14
–
B = {3,3,4,4,8,11,13,13,14,14} 
–
Dispersão [B] = ATB = 14 - 3 = 11
MEDIDAS DE DISPERSÃO

Amplitude interquartílica: é uma medida de dispersão
baseada em percentis. Os percentis são a
percentagem das observações abaixo do ponto
indicado quando todas as observações são ordenadas
de maneira decrescente. A mediana corresponde ao
percentil 50. Geralmente são apresentados os quartis,
isto é, os percentis 25, 50 e 75. A amplitude
interquartílica é o intervalo existente entre o percentil
25 e o percentil 75.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Amplitude interquartílica:
nº de
indivíduos
quartil inferior
(Percentil 25)
mediana
(Percentil 50)
quartil superior
(Percentil 75)
prega tricipital
Distribuição de freqüências com assimetria positiva
Box Plot
20
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Embora medidas de tendência central forneçam um
resumo parcial das informações de um conjunto de
dados. A necessidade de uma medida de variação
é aparente, para que nos permita, por exemplo,
comparar conjuntos diferentes de valores.
Algumas característica desta medida devem ser
atendidos como veremos a seguir.
MEDIDAS DE DISPERSÃO BASEADAS NA
MÉDIA


Variância
Desvio Padrão
MEDIDAS DE DISPERÇÃO
O critério geralmente utilizado é aquele que mede a concentração dos dados
em torno da média, e algumas medidas são as mais usadas: variância e
desvio padrão.
Ex: 3, 4, 5, 6, 7 (média 5), os desvios xi-x, são: -2, -1, 0, 1 ,2.
1, 3, 5, 7, 9 (média 5), os desvios xi-x, são: -4, -2, 0, 2, 4.
Observe que a soma dos desvios é igual a zero, o que torna inviável esta
medida.
Opção:
Considerar o total dos quadrados dos desvios. Assim teríamos:
Para a amostra: 3, 4, 5, 6, 7
5
 ni  x i  x
i 1

2
= 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
VARIÂNCIA
A medida que contempla os aspectos apresentados e que é mais utilizada é a Variância. A
variância é representada por s2 para uma amostra. As fórmulas para a variância da
amostra são apresentadas abaixo. k
 n  xi  x 
i
i 1
2
Variância = S2 =
N-1
O denominador n-1 tem o propósito de tornar a variância da amostra a estimativa da
variância da população. N-1 é conhecido como grau de liberdade.
A variância é uma medida que expressa um desvio quadrático médio. A unidade da
variância é portanto o quadrado dos dados originais.
Ex: para dados expressos em centímetros a variância será expressa em centímetros
quadrados.
VARIÂNCIA
Para as amostras 3, 4, 5, 6, 7 e
1, 3, 5, 7, 9
As variâncias seriam:
S12 = (3-5)2+ (4-5)2 + (5-5)2+ (6-5)2+ (7-5)2/4
S22 = (1-5)2+ (3-5)2+ (5-5)2+ (7-5)2+ (9-5)2/4
A amostra 3, 4, 5, 6, 7 é mais homogênea.
S12 =2,5
S22 =10
DESVIO PADRÃO

É a raiz quadrada da variância.
DP  S 
2
(
x

x
)
 i
N 1
ou
2
(
x
)

2
x  N
DP 
N 1
DESVIO PADRÃO
Sendo a variância uma medida que expressa um desvio quadrático médio, esta
pode causar alguns problemas de interpretação. Para evitar isto, costuma-se usar
o desvio padrão, que é definido como a raiz quadrada positiva da variância.
Desta forma, tem-se uma medida de variabilidade expressa na mesma unidade
dos valores do conjunto de dados. O desvio padrão pode ser calculado através
da fórmula anterior:
O DESVIO PADRÃO DAS AMOSTRAS 3, 4, 5, 6, 7 e 1, 3, 5, 7, 9 seria:
S1=
S2=
2,5 =1,58
10
=3,16
EXEMPLO
xi
(xi – x) (xi – x)2
1
2
4
-5
-4
-2
25
16
4
7
+1
1
10
12
36
+4
+6
0
16
36
98
Soma ou 
Média = 6
Variância (S2) = 98/5 = 19,6
DP = S = 19,6 = 4,43
Medidas de Dispersão
30


Coeficiente de Variação
é uma medida de dispersão relativa

elimina o efeito da magnitude dos dados

exprime a variabilidade em relação à média
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E
DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS
Média, mediana e moda
Distribuição Simétrica
moda
mediana
média
Distribuição com
Assimetria Negativa
moda
mediana
média
Distribuição com
Assimetria Positiva
Gastos em electricidade:
Meses
JAN.
Gastos 25€
(em €)



FEV.
MAR.
ABR.
MAI.
JUN.
22€
35€
28€
35€
33€
Média: 29,67
25 + 22 + 35 + 28 + 35 +33 = 178
178/6 = 29,67
Moda: 35
Mediana: 30,5
Quebra-cabeça

Agora que você já sabe o que é média, moda e
mediana, analise o problema a seguir:


Um fabricante de calçados afirmou no Encontro Anual do setor que
a média salarial de sua fábrica é de R$ 550,00, provando que
os funcionários são bem pagos.
Ao analisar o balanço mensal da empresa um funcionário verificou
que seis funcionários recebiam R$ 200,00; o gerente recebia R$
400,00 e o patrão recebia 2.800,00 de prolabore.
1. Como o patrão chegou ao valor de R$ 550,00?
2. Qual deve ser o argumento do funcionário para se
contrapor ao patrão?






HABILIDADE 27 – Calcular medidas de tendência central ou de
dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de
freqüência de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos.
Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas
de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas, e anotar o numero obtido em
cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de
frequências. A media, mediana e moda dessa distribuição de
frequências são, respectivamente:
a) 3, 2 e 1
b) 3, 3 e 1
c) 3, 4 e 2
d) 5, 4 e 2
e) 6, 2 e 4
OBRIGADO.
MARCOS TADEU ELLERY FROTA