Aula 1 - Maximo Vestibulares

Conceitos Iniciais
Ponto: A,B,C...
Conceitos
Reta: r,s,t...
Primitivos
Plano: ,,..

Reta que passa pelos pontos A e B
AB, BA Semi-retas
AB
Conceitos Iniciais

A
B
Segmento de reta AB
PARALELISMO
Algumas relações importantes
Qual a soma das
medidas dos ângulos
ao lado ?

.

Algumas relações importantes
Se  +  = 90 o ; então
estes são chamados
ÂNGULOS COMPLEMENTARES

.

 é o complementar de 
 é o complementar de 
PERGUNTA !!!
Quanto mede o compl. do ângulo x ?
?
.
x
PERGUNTA !!!
Quanto mede o compl. do ângulo x ?
90º - x
.
x
Compl(x) = 90o - x
Ângulos Suplementares


 +  = 180o
Pares de ângulos que
suplementares.
somam 180o são
supl(x) = 180o - x
Dica! Bissetriz
A
P
O


B
Todo ponto da bissetriz é eqüidistante das duas semiretas
Ângulos Suplementares
 +  = 180°
Ângulos Suplementares
/2
/2
 +  = 180°
/2
/2
/2 + /2 = 90°
As bissetrizes de dois ângulos
adjacentes e suplementares
são
 +  = 180°
perpendiculares
Paralelismo
r
s
Essas retas são paralelas ?
Paralelismo
r
s
Essas retas são paralelas ?
Paralelismo
t
r
s
 Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados
8 ângulos, com os quais vamos definir os principais
casos de paralelismo.
Paralelismo
t
2
3
6
7
5
1
r
4
s
8
 Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados
8 ângulos, com os quais vamos definir os principais
casos de paralelismo.
Paralelismo - 1º caso
Paralelismo - 1º caso
t


r
s
Os ângulos  e  estão na mesma posição em relação
às retas horizontais e estão ambos à direita de t.
São chamados ângulos
CORRESPONDENTES
Paralelismo - 1º caso
t


r
s
O que podemos afirmar sobre os ângulos  e  ?
Paralelismo - 1º caso
t


r
s
O que podemos afirmar sobre os ângulos  e  ?
Paralelismo - 1º caso
t


r
s
O que podemos afirmar sobre os ângulos  e  ?
Paralelismo - 1º caso
t
 =
rs
O que podemos afirmar sobre os ângulos  e  ?
Conclusão
t


r
s
Se os ângulos  e  são c o n g r u e n t e s (iguais) ;
as retas r e s são paralelas.
Se as retas r e s forem paralelas; os ângulos
correspondentes determinados por uma transversal t
serão congruentes.
Conclusão
t


r
s
 Se     r // s
Comparação
fig. 1
fig.2
t
t


r
r

“diferentes”
s

s
“iguais” r //s
Ângulos correspondentes
Paralelismo - 2º caso
Paralelismo - 2º caso
t
r


s
 Esses ângulos estão
posicionados como os
ângulos do 1o caso ?
Paralelismo - 2º caso X 1º caso
t
t

r
r


s

s
Paralelismo - 2º caso
t
r


s
Claro que não !
Nesse caso, os ângulos estão em posições alternadas.
Um acima de s, o outro abaixo de r.
Um à direita e outro à esquerda de t.
Paralelismo - 2º caso
 São os ângulos
ALTERNOS.
t
r


s
Podem ser INTERNOS,
como  e ,
ou então
EXTERNOS.
Paralelismo - 2º caso
t
y
r
s
x
x
e y são ALTERNOS EXTERNOS.
Paralelismo - 2º caso
t
t
y
r
r


s
s
x
Em qualquer um dos casos, se temos pares de ângulos
congruentes, as retas r e s serão paralelas, e v.v.
Paralelismo - 2º caso
t
t
y
r
r


s
s
x
Se     r//s
Se x  y  r//s
Paralelismo - 3º caso
Paralelismo - 3º caso
t
r


s
Na figura acima temos ângulos que não são
alternos ou correspondentes. Apenas estão do
mesmo lado em relação à reta transversal t .
Paralelismo - 3º caso
t
r


s
Esses são chamados ângulos COLATERAIS, que
também podem ser INTERNOS ou EXTERNOS.
Paralelismo - 3º caso
t
r


s
Colaterais Internos
Paralelismo - 3º caso
t

r
s

Colaterais Externos
Paralelismo - 3º caso
t
t

r
r

s

s

Note que nesse caso é fácil perceber que os ângulos
não são congruentes, pois um é agudo e o outro
obtuso. (é possível que ambos sejam retos)
Paralelismo - 3º caso
t
t

r
r

s

s

Qual parece ser a relação que os ângulos das
figuras devem satisfazer para que as retas r e s
sejam paralelas ?
Paralelismo - 3º caso
t


r
s
Paralelismo - 3º caso
t


r
s
Paralelismo - 3º caso
t


r
s
Paralelismo - 3º caso
t


r
s
Paralelismo - 3º caso
t
t

r
r

s


Se  +  = 180o  r//s.
( e  suplementares)
s
Ex 01 –
• Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c =
AB e ângulos internos α = CÂB, β = ABC e γ = BCA.
Sabendo-se que a equação
x2 – 2bxcosα + b2 – a2 = 0
admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que
A) α = 90o.
B) β = 60 o.
C) γ = 90 o.
D) O triângulo é retângulo apenas se α = 45 o.
E) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.
FIM