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Vetores e movimento em duas
dimensões
Posição e deslocamento
A trajetória é o caminho percorrido
por um objeto (planeta , cometa,
foguete, carro..). Qualquer ponto da
trajetória pode ser descrito pelo vetor
posição que denotamos por r(t).
O deslocamento r entre os pontos
rP e rQ é dado por
r = rQ – rP
Note que r não depende da origem
Posição e deslocamento
O vetor posição em 2-D fica definido
em termos das suas coordenadas
cartesianas por
r(t) = x(t)i + y(t)j
No caso espacial, 3-D, temos
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
Velocidade e aceleração
Similar ao caso de 1-D,
a velocidade média é
r (t  t )  r (t ) r x
y
vm 


i
j
t
t t
t
A velocidade instantânea é
v  lim
t 0
r (t  t )  r (t ) dr

t
dt
ou em termos de componentes
d r (t ) dx dy
v
 i
j
dt
dt
dt
ou
v  vx i  v y j
Velocidade e aceleração
Similar ao caso de 1-D,
a aceleração média é
v y
v (t  t )  v (t ) v v x
am 


i
j
t
t
t
t
A aceleração instantânea é
em termos de componentes
v (t  t )  v (t ) dv

t 0
t
dt
a  lim
dv d 2 r (t )
a

dt
dt 2
dv y
d v (t ) dv x
a

i
j
dt
dt
dt
ou
a  ax i  a y j
Componentes da aceleração
Componentes cartesianas
Componentes tangencial e
perpendicular
O problema inverso
Conhecida a aceleração,
podemos integrá-la e

a (t )
t
obter a velocidade, que
se integrada



v (t )  v0   a (t ) dt 
t0
t
nos fornece a posição



r (t )  r0   v (t ) dt 
t0
Este processo deve ser efetuado para cada componente
cartesiana do vetor considerado
Aceleração constante
• Aceleração constante  movimento no
plano: plano formado pela velocidade
inicial e pelo vetor aceleração.
• Movimento fora do plano não é possível.
• A gravidade é um bom exemplo.
• Como ax e ay são constantes  dois
problemas unidimensionais
independentes.
Aceleração constante
componente x de r
componente x de v
componente y de r
componente y de v
em t =0
1 2
x  x0  v0 x t  a x t
2
v x  v0 x  a x t
1 2
y  y0  v0 y t  a y t
2
v y  v0 y  a y t
r0  x0 i  y0 j
v0  v0 x i  v0 y j
Aceleração da gravidade
Nesse caso ay = -g e ax=0. Na direção x, vx é constante!
componente x de r
componente x de v
(constante)
componente y de r
componente y de v
em t =0
x  x0  v0 x t
v x  v0 x
1 2
y  y0  v0 y t  gt
2
v y  v0 y  gt
r0  x0 i  y0 j
v0  v0 x i  v0 y j
Aceleração da gravidade
Se tomamos x0 = y0 = 0 (saindo da origem)
de x = v0x t temos t = x/v0x
substituindo na equação para y
encontramos a equação da trajetória
y
v0 y
v0 x
1 g 2
x
x
2
2 v0 x
Equação de uma parábola!
Foto estroboscópica do
movimento parabólico
Aceleração da gravidade
A coordenada y é independente
da velocidade vx.
Isto é ilustrado na figura ao lado
onde duas bolas são jogadas sob
ação da gravidade. A vermelha é
solta e a amarela tem velocidade
inicial vx.
Em cada instante elas têm
a mesma altura!!
Aceleração da gravidade
Ex.: Bola sai do penhasco com v = 10 m/s na horizontal
Descreva o movimento.
A velocidade é
vx = 10 m/s
vy = (-9.8 m/s2) t
A posição é
x = (10 m/s) t
y = (-4.9 m/s2) t2
Aceleração da gravidade
Vetores r, v e a para t = 1s e t = 2s. Enquanto a é
constante r e v variam com o tempo.
Como varia o ângulo
dos vetores r e v?
vetor r:
tan  = y/x = (-0.49 s-1)t
vetor v:
tan ’ = vy/vx = (-0.98 s-1)t
Alcance
Tempo para atingir altura
máxima h.
v0 y v0 sin  0
th 

g
g
Alcance
Tempo para atingir altura
máxima h.
v0 y v0 sin  0
th 

g
g
1 2 v0 sin  0 
h  v0 sin  0t h  gt h 
2
2g
2
O alcance R acontece em t = 2 th:
 2v0 sin  0 
R  v0 x 2t h   v0 cos  0 
  sin 2 0
g

 g
v2
0
Alcance
Alcance máximo
R
v
2
0
g
sin 2 0
Para um valor fixo do
módulo da velocidade
inicial o alcance máximo
acontece para 2 0   / 2
ou seja  0  450
Rmax 
v 20
g
Exemplo
Bola sobre a mesa cai de altura H = 80 cm com velocidade
inicial v0 = 2.1 m/s. Qual a distância D onde ela atinge o
piso?
A altura H é dada por
1 2
2H
H  gt H ,  t H 
2
g
A vel. horizontal se mantém
constante
D  v0t H  v0
2H
g
2  0.80m
D  2.1m / s
 85 cm
2
9.8m / s
Exemplo
Canhão atira bolas com vel. v0 portanto seu raio
máximo é Rmax =v02/g. Mostre que para atirar
em um alvo com menor distância existem dois
ângulos 0 possíveis. v0 = 100 m/s, D = 800m
gR
R
sin 2 0  2 
v
Rmax
0
Usando os dados numéricos
temos Rmax = 1019 m
800
sin 2 0 
 0.785
1019
2 01  520 , 2 02  1280
ou
 01  260 ,  01  640
Movimento circular e uniforme
Este movimento tem velocidade com módulo constante
porém sua direção muda continuamente
Exemplos:
Movimento de satélites artificiais.
Pontos em um disco de vitrola.
Disco rígido de computador.
Nós como partículas girando com
o movimento da terra.
Movimento circular e uniforme
Usamos coordenadas polares
( , )
Daí, o arco fica
onde
s  R
  R ; fixo
Como o raio é constante,
a única variável é

Movimento circular e uniforme
Como o raio é constante,
a única variável é  . A
posição angular é uma
função do tempo, (t ) . O
arco descrito em t é dado
por s  R . Então,
ds
d
vR
dt
dt
Definimos assim a
velocidade angular
ds
 v  R
dt
d

dt
Movimento circular e uniforme
Uma volta completa
2 R  vT
Período do movimento
2 R 2
T

v

Frequência
Velocidade angular e frequência
1
f 
T
Unidades
T   s
  2 f
1
 f    s 1  Hz
T 
Interpretação da velocidade
angular
ω
O modulo da velocidade
v  R
δφ
O vetor associado vem de um
produto vetorial
ω
v
R
v  ω R
Movimento circular e uniforme
r v

r
v
v v r
Aceleração média

t r t
No limite t 0
v v
r
a  lim
 lim
t 0 t
r t 0 t
Aceleração instantânea
v2
a
 r 2
r
Movimento circular e uniforme
Aqui podemos também
usar um vetor unitário
(note que este vetor
varia com o movimento)

r
rˆ 
r
A aceleração cujo módulo vimos, fica:
2

v
a   rˆ
r
Tem direção do vetor posição
e aponta para o centro do
movimento. Está é a
aceleração centrípeta.
Movimento circular e uniforme
Exemplo: Peão roda uniformemente com 16 Hz. Qual
é a aceleração centrípeta de um ponto no raio do
peão em R = 3 cm
Velocidade angular é
  2 f
  2 rad(16 Hz )  101rad/s
Daí a aceleração fica
a  r  303 cm s
2
2
Movimento helicoidal
Exemplo de movimento tridimensional: considere
uma partícula cuja posição varia como
r (t )  R cos t i  R sin t j  v z t k
R,  e v z constantes.
A velocidade
v (t )   R  sin t i  R  cos t j  v z k
A aceleração
a (t )   R cos t i  R sin t j
2
2
Movimento helicoidal
No plano xy a partícula tem
x(t )  R cos t
O módulo da velocidade v xy (t )
v xy (t )  R 
y (t )  R sin t
Movimento periódico onde
T  2 / 
A aceleração
a xy (t )   2 rxy (t )
O módulo
a xy (t )   R
2
Movimento helicoidal
Podemos compor este movimento no plano com o
movimento em z. Note que a partícula anda uma
altura h em um período do movimento no plano
h  v zT  2 v z / 
A cada período T a partícula
se desloca de h no plano z
descrevendo um movimento
helicoidal!
Movimento circular acelerado
Consideremos agora o caso em
que a velocidade angular não é
constante. Então,
ds
d
 v(t )  R
dt
dt
é o módulo da velocidade que
também varia no tempo e a
velocidade angular é dada por
d
 (t ) 
 const.
dt
Movimento circular acelerado
Como o módulo da velocidade
também varia há uma componente
tangencial da aceleração dada por
dv(t )
d (t )
R
 R (t )
dt
dt
onde  (t ) é a aceleração angular
d (t )
  (t )
dt
Movimento circular acelerado
A aceleração do corpo é dada por



v N (t )
v (t )
vT (t )
lim
 lim
 lim
t  0 t
t  0
t  0
t
t

v (t  t )
R 

v N

dv (t ) 


a (t ) 
 a N (t )  aT (t )
dt

v

v (t )

vT
Movimento circular acelerado
Aceleração total; soma de uma componente tangencial
e uma normal

dv (t ) 


a (t ) 
 a N (t )  aT (t )
dt
ou ainda
 v 

a (t )  
R
v


r
ˆ
ˆ



R


a (t )



a N (t )

R

v (t )

aT (t )
2
T
aN (t )
a (t )  a N2 (t )  aT2 (t )
Movimento circular acelerado
Pelas definições da aceleração e velocidade angulares
temos
d (t )
  (t )   (t )  0    (t )dt 
dt
t0
t
d (t )
  (t )   (t )  0    (t )dt 
dt
t0
t
Movimento circular acelerado
Quando a aceleração angular é constante temos o
chamado movimento circular uniformemente acelerado
d (t )
    (t )  0   (t  t0 )
dt
d (t )
1
  (t )   (t )  0  0 (t  t0 )   (t  t0 ) 2
dt
2
e
 2  02  2 (  0 ) 2
Em perfeita analogia com movimento linear uniformemente
acelerado!
Exemplo
Um disco possui uma aceleração angular de 2 rad/s2.
Supondo que o disco inicie o seu movimento com velocidade
angular nula, pede-se:
a) a velocidade angular do disco depois que ele girou de 200,
e
b) o tempo gasto para ele atingir esta velocidade angular.
2
a)   2   
2(2 ) / 9 rad / s  (2 / 3) rad / s
b)   t  t  ( 2 / 3) / 2  s  (1 / 3) s
Movimento relativo
• O movimento de um determinado objeto é
conhecido em um dado sistema de coordenadas A
• Conhecemos o movimento de um segundo
sistema de coordenadas B com respeito ao primeiro
• Desejamos conhecer o movimento do objeto em
relação ao novo sistema de coordenadas
Movimento relativo
B
  
r  r   rAB
A

r

rAB
 
rA  r

r
Mas se são
todas funções
do tempo



r (t )  r (t )  rAB (t )
 
rB  r 
Movimento relativo

v

v
Velocidade relativa



dr drAB dr 


dt
dt
dt

 

v  v AB  v 


vA  v


vB  v 

v AB

v AB

v

v
Movimento relativo

a

a
Aceleração relativa



dv dv AB dv 


dt
dt
dt

 

a  a AB  a 


aA  a


aB  a 

a AB

a AB

a

a
Exemplo
Um indivíduo deixa cair um objeto dentro de um elevador
que sobe com velocidade de 1/2 m/s. Pede-se:
a) A aceleração do objeto relativa ao
elevador tão logo deixe a mão do
1/2 m/s
indivíduo
b) A velocidade do objeto com relação
ao solo após 1/10 s.
 
 
a)
a  a AB  a ; a AB  0
 g zˆ
  
 a   a  g  10m / s 2 zˆ
A B
ẑ
x̂
 

b) v  v AB  v 
 
 
 v  v AB  v0  a t

 v   0,5 m / s zˆ