Lógica de Primeira Ordem 3

Exemplo

Linguagem:
–
–

extensão da linguagem de 1ª ordem da aritmética
predicados adicionais Par(x) e Primo(x)
Exprimir as afirmações:
Nenhum número par é primo
Todo o número primo é ímpar ou igual a 2
Algum dos números primos é par
Algum dos números primos não é par

Quais são as frases verdadeiras ?
Lógica de Primeira Ordem-1
Tradução de frases nominais complexas
Um rapaz que vive em Cedofeita…
Todas as mulheres portuguesas…

Frases existenciais um…, alguma…, alguém…
Um cão pequeno e feliz está em casa
$x ((Cao(x) Pequeno(x)  Feliz(x))  EmCasa(x))

Frases universais todo…, cada…, as…, qualquer…
Todo o cão pequeno que está em casa está feliz
"x ((Cao(x) Pequeno(x)  EmCasa(x))  Feliz(x)))
Lógica de Primeira Ordem-2
Afirmações vacuosas

"x (P(x)  Q(x))
Mundos sem objectos que satisfaçam P(x): frase é verdadeira
–
–
diz-se uma generalização vacuosamente verdadeira
Exemplo:
"x (Tet(x)  Small(x))

verdadeira em mundos onde não haja tetraedros
"x (Tet(x)  Cube(x))



verdadeira em mundos onde não haja tetraedros (e só esses)
só pode ser verdadeira de forma vacuosa: é inerentemente vacuosa
Frases vacuosamente verdadeiras: raras em LN
Todos os caloiros que frequentaram TC2 tiveram 18


verdadeira se nenhum caloiro frequentou a cadeira
frases inerentemente vacuosas associada à intenção de “enganar” o ouvinte
Lógica de Primeira Ordem-3
Contradição?


Os pares de frases são contraditórios?
Quais as frases verdadeiras nos mundos apresentados?
Alguns alunos de TC são do FCP
Alguns alunos de TC gostam de Lógica
Todos os alunos de TC são do FCP
Todos os alunos de TC gostam de Lógica
FCP
alunos
alunos
SCP
logicista
Lógica de Primeira Ordem-4
Decorrência conversacional
(1) Alguns P’s são Q’s
(2) Todos os P’s são Q’s

Intuição: são contraditórias num discurso
Alguns alunos de TC2 vão passar
Todos os alunos de TC2 vão passar

Se fossem contraditórias: tradução de (1) seria
$x (P(x)  Q(x)) "x (P(x)  Q(x))

De novo a decorrência conversacional
"x (P(x)  Q(x)) não é parte do significado
afirmações subsequentes a (1) podem afirmar (2) sem serem contraditórias
Lógica de Primeira Ordem-5
Tradução com quantificadores
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Só os bravos sabem como perdoar
Nenhum homem é uma ilha
Eu não me preocupo com ninguém, se ninguém se
preocupar comigo
Cada nação tem o governo que merece
Não há certezas, à parte a lógica
A miséria (i.e., pessoa miserável) gosta de companhia
Nem tudo o que luz é ouro
Havia um moleiro alegre que viveu no rio Côa
Se prezas toda a gente não prezas ninguém
Algo está podre no reino da Dinamarca
Lógica de Primeira Ordem-6
Respostas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
"x (Perdoa(x)  Bravo(x))
"x (Homem(x)  Ilha(x))
$x Preocupa(x, eu)  $x Preocupa(eu, x)) x’s diferentes
 "x (Preocupa(x, eu)  Preocupa(eu, x))
o que significa?
"x (Nação(x)  Merece(x, governo(x))
 "x "y [(Nação(x)  Governo(y)  Tem(x, y))  Merece(x, y)]
Certo(Lógica)  $x (xLógica  Certo(x))
ou com "
"x (Miserável(x)  $y (Companhia(y, x)  Gosta(x, y)))
"x (Luz(x)  Ouro(x))
$x (Moleiro(x)  Alegre(x)  Rio(Côa)  Vive(x, Côa)) sem tempo
"x [(Pessoa(x)  "y (Pessoa(y)  Preza(x,y))) 
"y (Pessoa(y)  Preza(x,y))]
Reino(Dinamarca)  $x(Podre(x)  Local(x, Dinamarca))
Lógica de Primeira Ordem-7