2.a Aula_N8SC3_Representacao no Espaco de Estado (1.a Parte)

Sistemas de Controle III
N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
2.a Aula: Representacao no Espaco de Estados (1.a Parte)
Modelo Matemático de Sistemas Dinâmicos

O modelo matemático de um sistema dinâmico é obtido a partir da aplicação
de Leis Físicas e de Equações constitutivas dos elementos, que compõem o
sistema, o que conduz, normalmente, a um sistema de equações diferenciais
e/ou equações algébricas. Tal sistema de equações, usualmente, é
representado de três maneiras:
a) Representação no Espaço de Estados;
b) Representação por Equação I/O (Input/Output = Entrada/Saída);
c) Representação por Matriz de Transferência.
Modelagem
 A modelagem consiste na obtenção de um conjunto de equações que
representam a dinâmica da iteração entre a entrada e a saída de um
processo.
 Os modelos podem ser obtidos a partir das leis físicas e/ou químicas que
regem o processo ou pela identificação do modelo, por meio de ensaios
realizados sobre o processo.
Modelagem
 Forma de apresentação:
 Equações integro-diferenciais (sistemas contínuos) ou;
 Por equações as diferenças (sistemas discretos).
 Formas de representação:
 Função de transferência (transformada de Laplace ou transformada Z);
 Variáveis de estado.
Modelagem - Exemplo 1
 Variação de volume:
dV (t )
 Qi  Q0
dt
Modelagem - Exemplo 1

Sabendo que:
V (t )  A.h(t )
h(t )
Q0 
R
 Onde:
 R é a resistencia hidráulica inserida pela válvula a0.
Modelagem - Exemplo 1

Chega-se a seguinte equação diferencial relacionando a entrada Qi(t) com a
saída h(t):
dh(t ) h(t )
A

 Qi (t )
dt
R
Modelagem - Exemplo 1

Para um nível inicial h(0) e aplicando a transformada de Laplace, obtém-se:
REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS

É um enfoque mais moderno, que repousa sobre o conceito de Variáveis de
Estado.

Nesta representação, um modelo matemático descrito por uma equação
diferencial de ordem n é substituído por um sistema de n equações
diferenciais, todas de 1.a ordem.

Se o modelo matemático for descrito por m equações diferenciais de ordem
n, então ele será substituído por um sistema de m x n equações diferenciais
de 1a ordem.
REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS

A representação no espaço de estados é particularmente útil na análise e no
projeto de sistemas de controle. Ela possui as seguintes características:
 Usa o domínio do tempo;
 Quaisquer condições iniciais;
 Aplicabilidade mais ampla: sistemas lineares e não-lineares;
REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS
 sistemas invariantes no tempo e variantes no tempo
 sistemas SISO (Single Input, Single Output) e
 MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs)
 Interpretação física mais abstrata.
Sistemas lineares e não-lineares
 Equações lineares são equações que envolvem relações algébricas entre
variáveis de grau um;
 Graficamente, as equações lineares podem ser retas, planos
ou hiperplanos;
 Notação:
Sistemas lineares e não-lineares
Sistemas Invariantes no Tempo e Variantes no Tempo
 Um sistema invariante no tempo é aquele que para um sinal de entrada x(t),
o sinal de saída é y(t), não importa quando é aplicada esta entrada.
 Ou seja, as condições dinâmicas do sistema não mudam com o passar do
tempo. Na realidade nenhum sistema é invariante no tempo, mas na prática
consideramos como invariante no tempo muitos sistemas, cuja variação no
tempo é muito lenta.
Sistemas SISO (Single Input, Single Output)
Sistemas MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs)
Controle Moderno
 A tendência moderna dos sistemas de engenharia é ter a sua complexidade
aumentada tanto em termos de descrição do modelo (sistemas variantes no
tempo e não lineares), quanto ao desempenho desejado (tarefas complexas
com alta precisão).
 Para atender a necessidade de controlar sistemas mais complexos, surgiu na
década de 1960 a teoria de controle baseada na representação por variáveis
de estado (denominada de controle moderno).
Limitacoes da Teoria Convencional de Controle
 Na teoria convencional de controle, apenas os sinais de entrada, saída e de
erro são considerados importantes.
 A análise e projeto de sistemas de controle são feitos usando-se funções de
transferência, juntamente com uma variedade de técnicas , tais como:
 Lugar das raízes;
 Gráficos de Nyquist.
Limitacoes da Teoria Convencional de Controle
 A característica essencial da teoria convencional de controle é que ela é
baseada na relação de entrada-saída, ou a função de transferência.
 A principal desvantagem dessa teoria é que, de modo geral, ela é aplicável
apenas para sistemas lineares invariantes no tempo SISO (única entrada e
única saída). .
Limitacoes da Teoria Convencional de Controle
 A teoria convencional de controle é impotente para sistemas variantes no
tempo, sistemas não lineares (exceto mais simples) e sistemas MIMO
(múltiplas entradas e múltiplas saídas).
 Portanto, as técnicas convencionais (métodos do lugar das raízes e de
resposta em frequência) não se aplicam para o projeto de sistemas ótimos ou
de sistemas adaptativos, que são em geral variantes no tempo e/ou não
lineares.
Uma Nova Abordagem para Análise e Projeto de
Sistemas de Controle .
 A tendência atual em sistemas de engenharia é focar uma maior complexidade,
maior precisão e tarefas bem mais complexas.
 A teoria de controle moderno é essencialmente um abordagem de domínio de
tempo, enquanto que a teoria de controle convencional é uma abordagem de
domínio de frequência complexa.
Variáveis de Estado
 Esta teoria se baseia em uma representação no domínio do tempo, através de
um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem.
 Estado: o estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis
(chamadas de variáveis de estado x1(t), x2(t),...,xn(t) ), tais que o
conhecimento destas variáveis no instante inicial (t=0), juntamente com o
conhecimento do sinal de entrada para t > t0 é suficiente para determinar
completamente o comportamento dinâmico do sistemas para t > t0.
Variáveis de Estado

O conceito de estado pode representar não somente uma grandeza física, mas
também variáveis biológicas, químicas, econômicas e sociais (além de
abstrações matemáticas).

As variáveis de estado não necessitam ser quantidades físicas mensuráveis ou
observáveis.

Variáveis que não representam grandezas físicas (possivelmente, não
mensuráveis ou observáveis) também podem ser escolhidas como variáveis
de estado.
Variáveis de Estado

Existem infinitas representações por variáveis de estado para um determinado
sistema dinâmico.

Esta flexibilidade na definição das variáveis de estado pode ser utilizada para
gerar representações mais convenientes para obtenção da resposta no tempo,
análise de estabilidade e síntese de controle.
Vetor de Estado
 Se forem necessárias n condições iniciais para definir completamente a
resposta de um sistema, então teremos n estados x1(t), x2(t), . . . , xn(t) que
comporão o vetor de estados x(t):
Espaco de Estados
 A representação por variáveis de estado consiste em n equações diferenciais
de primeira ordem que são apresentadas utilizando uma notação com matrizes
e vetores.
 O espaço n-dimensional cujos eixos de coordenadas são os eixos x1, x2, ...xn
é chamado de um espaço de estados. Qualquer estado pode ser representado
por um ponto no espaço de estados.
Representacao de Estados – Exemplo 1
Dado o circuito RLC a seguir.
Representacao de Estados – Exemplo 1
 O comportamento dinâmico do sistema é completamente definido para t=0 e
t>0, se os valores iniciais da corrente i(t0), a tensão do capacitor Vc(t0), e a
tensão de entrada V(t0) para t=0 e t>0 são conhecidas.
 Portanto, o estado do circuito para t=0 e t>0 é completamente determinado por
i(t) e Vc(t) e a tensao de entrada V(t).
 Logo, i(t) e Vc(t) são um conjunto de variáveis de estado para o circuito RLC
apresentado.
Representacao de Estados – Exemplo 1
 Suponha que escolhemos i(t) e Vc(t) como as variáveis de estado. Entao as
equações que descrevem a dinâmica do sistema são:
L di  Ri  vc  v
dt
c dv  i
dt
Representacao de Estados – Exemplo 1
 Em notação vetorial, temos:
.  
i    R / L
 . 
 v  1/ C
 c  
1/ L  i  1/ L 
    v 
 v 
0   c   0 
 Esta é uma representação de espaço de estados para o circuito ou sistema
dado.