Semelhança de triângulos

Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 2° Ano
Semelhança de triângulos
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos
Os triângulos e suas aplicações no
cotidiano
Você já parou para imaginar como seria a nossa
vida sem as formas triangulares?
? ? ? ? ?
Já se perguntou sobre as utilidades delas para o
mundo do trabalho ou já observou, nos espaços que
você frequenta, onde estas formas estão presentes?
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Semelhança de triângulos
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O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos
ramos das ciências e o domínio de suas propriedades é elemento essencial
para entender suas utilidades.
Como você pode notar, é comum encontrar vários exemplos
práticos do cotidiano, no qual estas formas peculiares estão presentes.
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É fácil enxergar as formas triangulares a nossa volta.
Veja:
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Tipos de triângulos
É importante lembrar também que um triângulo
pode ser classificado “simultaneamente”, de
acordo com seus lados e ângulos.
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Semelhança de triângulos
Quanto aos lados, os triângulos podem ser
classificados em:
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Triângulo equilátero:
Quando possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais.
Observação:
Um triângulo equilátero é também um triângulo equitângulo, ou
seja, possui ângulos congruentes.
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Triângulo isósceles:
Quando possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois
ângulos congruentes.
Observações:
• O triângulo equilátero é também um caso especial de um triângulo isósceles,
porque apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como
os ângulos que medem todos 60º;
• num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado
ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e
são congruentes.
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Triângulo Escaleno:
Quando possui as medidas dos três lados diferentes.
Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem
medidas diferentes.
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Semelhança de triângulos
É importante lembrar também que, quanto aos
ângulos, os triângulos podem ser classificados em:
Triângulo retângulo:
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Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos
são:
a: hipotenusa
b e c: catetos
h: altura relativa a hipotenusa
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa
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Triângulo obtusângulo:
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Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso (maior que 90º) e
dois ângulos agudos (menores que 90º).
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Semelhança de triângulos
Triângulo acutângulo:
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Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são
agudos (formando 180°).
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Semelhança de triângulos
Congruência e semelhança
Observe as figuras abaixo:
Fig.A
Fig.B
α
6,2m
4,5m
6,2m
4,5m
β
6m
Y
6m
As figuras acima são congruentes, pois possuem
mesma forma e lados correspondentes com medidas
iguais, o que leva a deduzir que os ângulos
correspondentes também possuem medidas iguais.
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Semelhança de triângulos
Agora observe as seguintes figuras:
Fig. A
Fig. B
α
4,5m
α
β
18,6m
13,5m
β
Y
18m
6,2m
Y
6m
Note que os lados correspondentes dos
triângulos A e B são proporcionais, pois
as razões entre as medidas dos mesmos
são iguais, ou seja:
13,5 = 3
4,5
18 = 3
6
18,6 = 3
6,2
Concluímos, então, que as figuras A e B são semelhantes, pois seus
ângulos correspondes possuem medidas iguais e todos os seus
lados são proporcionais.
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Como reconhecer triângulos
semelhantes?
Para saber se dois triângulos são semelhantes,
basta observar se eles obedecem a um dos
seguintes casos:
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1º CASO: ÂNGULO/ÂNGULO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois ângulos que se
correspondem são respectivamente congruentes.”
B
Q
A
C
P
R
^
^
^
^
ABC ~
PQR
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2º CASO: LADO/ÂNGULO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando dois lados que se
correspondem são proporcionais e quando os ângulos
determinados por estes lados são congruentes.”
B
Q
^
^
ABC ~
A
C
P
R
PQR
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3º CASO: Relação LADO/LADO/LADO
“Dois triângulos são semelhantes quando os três lados que se
correspondem são proporcionais.”
B
Q
ABC ~
A
P
C
R
PQR
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Teorema de Tales:
Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas
transversais, os segmentos determinados sobre uma
transversal são proporcionais aos correspondentes
determinados sobre a outra.
Observe a situação abaixo:
Analisando a figura ao lado pelo
teorema mencionado acima,
conclui-se que:
Ou também que:
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Desafio:
As redes de água e esgoto da Rua do Funil, na cidade de Tacaratu/PE, estão
distribuídas conforme mostra a figura abaixo:
Calçada
Início da rua
x
250m
Esgoto/Água
200m
300m
Calçada
Fim da rua
Se as linhas azuis (transversais) representam passarelas para pedestres, paralelas
entre si, e as linhas pontilhadas representam as tubulações de esgoto e
água,respectivamente, qual das duas redes é a maior?
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Pelo Teorema de Tales, deduzimos que:
200 = 250
300
X
200 . X = 300 . 250
200 X = 75.000
X = 75.000
200
X = 375 metros
A rede de água mede 500
metros, pois:
200 + 300 = 500
Já a rede de esgoto mede
625 metros, porque:
250 + 375 = 625
Resposta: a rede de esgoto, pois,
mede 125 metros a mais que a rede
de água.
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Semelhança de triângulos
Segmentos proporcionais determinados
num triângulo
1º Caso: Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo,
de modo que intercepte os outros dois lados em pontos
distintos, determina, nesses dois lados, segmentos
proporcionais.
B
P
r//AC
BP, PA, BQ E QC são
proporcionais.
Q
Sendo assim:
r
C
A
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2º Caso:
a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo
determina, no lado oposto a este ângulo, dois segmentos
proporcionais aos outros dois lados deste triângulo.
B
x
BD é bissetriz
proporcionais.
x
Desta forma:
A
D
C
AD, DC, AB E BC são
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Vamos ver como estas propriedades funcionam:
1°) Sabendo que no triângulo abaixo r//AC, calcule o valor de X.
B
3cm
P
r
Solução:
x
Q
12cm
9cm
C
A
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2°) Sabendo que BD é bissetriz do ângulo B
do triângulo abaixo, determine a medida do segmento DC
B
Solução:
5cm
A
3cm
6cm
D
X
C
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Relações métricas no triângulo
retângulo:
Em um triângulo qualquer:
a2 = b2 + c2
b2 = ma
c2 = na
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h2 = mn
ah = bc
a=m+n
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Semelhança de triângulos
Note que, do triângulo anterior, derivam dois outros
triângulos que determinam as relações métricas:
A
A’
b
c
b
h
m
D
c
h
h
n
C
A’’
a
m
B
B
n
C
C
Sendo assim, por semelhança de triângulos, temos:
b2 = ma
c2 = na
h2 = mn
Teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2
ah = bc
D
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Conhecendo apenas duas medidas no triângulo retângulo, é
possível descobrir as outras quatro aplicando as relações
métricas vistas anteriormente. Veja:
Exemplo:
Use as relações métricas do triângulo retângulo para encontrar as
medidas desconhecidas da figura abaixo:
A
12m
c
h
n
C
9,6m
D
h2 = mn
c2 = 15.5,4
h2
c2 = 9m
a=m+n
122 = 9,6a
15 = 9,6 + n
a = 144/9,6
n = 19 - 9,6
a = 15m
n = 5,4m
B
a
c2 = na
c2 = 81
b2 = ma
Note que todas as medidas
= 9,6.5.4 desconhecidas foram encontradas por
meio das relações métricas
demonstradas anteriormente.
h2 = 7,2n
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Semelhança de triângulos
Agora use o que você aprendeu para resolver os seguintes desafios:
1º) Um prédio projeta uma sombra de 41,25m de comprimento no mesmo instante
em que Juliana, que tem 1,8m de altura, projeta uma sombra de 6,75m. Qual é a
altura do prédio?
2º)Uma determinada firma imobiliária resolveu lotear um terreno em 4 outros
menores com duas frentes: uma para a rua 1 e outra para rua 2, como mostra a
figura abaixo. Sabendo-se que as divisões laterais são perpendiculares à rua 1 e
que a frente total para a rua 2 é de 480m, qual a medida da frente de cada lote,
para a rua 2, respectivamente?
a) 40m; 80m; 120m; 160m
b) 45m; 85m; 125m; 165m
c) 48m; 96m; 144m; 192m
d) 55m; 95m; 135m; 175m
e) 60m; 100m; 140m; 180m
30m
60m
90m
Rua 1
120m
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3º) (UFR-RJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura
abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas.
A diferença de x- y é:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 10
E) 12
r
8
x
s
6
y
t
4º) Na figura a seguir, AB || CD então.x e y valem, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
25cm e 13 cm
4/3 e 16/3
20 cm e 12 cm
40cm e 24 cm
40 cm e 28 cm
F
24 cm
B
32 cm
X
A
y
18 cm
C
D
70 cm
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SOLUÇÕES DOS DESAFIOS:
1º) solução:
Utilizando Hp para indicar a altura do prédio, Sp para indicar a sombra
projetada pelo prédio, Hj para a altura de Juliana e Sj para indicar a sombra
projetada pela mesma, temos:
Lembre-se de que os raio de sol se
propagam na Terra por linhas
paralelas, o que faz com que a
altura do prédio seja proporcional à
sua sombra, assim como a Altura
de Juliana é proporcional à sombra
projetada pela mesma.
Sendo assim, conclui-se que a
altura do prédio é de 11
metros.
Sp = 41,25m
Hp = x
Hj = 1,8m
Sj = 6,75m
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Semelhança de triângulos
2º) solução:
Marcando as medidas a serem
conhecidas
w
Note que o comprimento da rua 1
Na figura é R1=30+60+90+120
R1 = 300m
Aplicando o Teorema de Tales:
z
y
x
30m
60m
90m
120m
Rua 1
Pela proporção, conclui-se que:
y= 2x = 96m z = 3x = 144m e w = 4x = 192m
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
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3º) solução:
r
8
Se temos x+y = 42 e 8+16 = 14,
Aplicando o Teorema de Tales teremos:
x
s
6
y
t
Alternativa C.
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4º) solução:
F
24 cm
B
Note que que na figura os triângulos ABF e
CDF são semelhantes e que FC = 42 cm,
Desta forma:
32 cm
X
A
y
18 cm
C
D
70 cm
Portanto, a alternativa correta é a letra D.
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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
1º) Calcule o valor de cada uma das variáveis dos casos de
semelhança de triângulos propostos a seguir:
Y
6cm
3cm
X
4cm
5cm
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Os triângulos anteriores
podem ser definidos
como semelhantes a
partir da relação:
ÂNGULO/ ÂNGULO
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B)
5
3
Y
X
9
12
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Como você pôde notar, há várias situações-problema do cotidiano que podem ser resolvidas a
partir do conhecimento de algumas propriedades
dos triângulos.
Agora que você já está “fera” nesse assunto, é hora
de pesquisar nos livros outros exercícios para
treinar o aprendeu e se dar bem no vestibular.
Mantenha o foco nos estudos e boa sorte!
Tabela de Imagens
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1sttimeright / GNU Free Documentation
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Timeroot / GNU Free Documentation
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Werewombat / GNU Free Documentation http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Multno
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Sh Sharayan / Walters Art Museum / GNU http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sh_Shar
Free Documentation License
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Erik Christensen / GNU Free Documentation http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Nor%C3
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Qurren / GNU Free Documentation License http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Joetsu_K
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Matteo / Creative Commons Attribution 2.0 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Woman_
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17/09/2012
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Acesso
17/09/2012
17/09/2012
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17/09/2012
17/09/2012
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18/09/2012