A Modelagem Matemática na Engenharia

Ensino Superior
Modelagem Matemática
2.1 – Introdução aos Sistemas de Controle
Amintas Paiva Afonso
Sumário
2.1.1 O Problema da Modelagem
2.1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas
1.1 O Problema da Modelagem
 Modelar um sistema físico qualquer significa obter uma
representação matemática que permita um estudo
analítico coerente com o comportamento do sistema na
prática.
 A fase de modelagem é vital, uma vez que o compromisso
entre precisão e complexidade do modelo em relação à
dificuldade de obtenção da resposta deve ser assumido.
 A complexidade de se modelar um sistema dinâmico
depende fundamentalmente do conhecimento que se tem
desse sistema.
1.1 O Problema da Modelagem
 Exemplo 1:
Um corpo se movimenta a uma velocidade v1 (m/s), com
massa m1 (kg) se choca com um outro corpo em repouso,
de massa m2. A quantidade de movimento medida no
instante do choque é dada por: Q = m1.v1 (kg.m/s).
a
F
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
(causa)
(efeito)
1.1 O Problema da Modelagem
Se o modelo for ideal, essa mesma quantidade de
movimento será transferida ao corpo de massa m2 (kg), de
forma que este se deslocará com uma velocidade v2 dada
por v2 = Q/m2 (m/s).
/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
(causa)
(efeito)
1.1 O Problema da Modelagem
 Exemplo 2:
Determinar a força que se deve aplicar a um caixote de
massa m = 50 kg, para que a aceleração obtida seja igual
a 10 m/s2. O atrito entre a superfície e o corpo não é
desprezível, e é dado por  = 0,1.
Força de Atrito
 Denomina-se atrito a resistência que os corpos em contato
oferecem ao movimento. Temos os seguintes casos:
 Força de atrito estática:
N
F at
(Sentido da eminência movimento)
F
fat = µe .N
P
µe
N
Coeficiente atrito estático
Reação normal do apoio
Força de atrito dinâmica
N
F
fat
P
(Sentido do Movimento)
µd
N
Fat = µd . N
Coeficiente atrito dinâmico
Reação normal do apoio
OBS: A força de atrito entre dois corpos em contato é
tangente à superfície de contato e tem sentido oposto ao
do movimento (ou à “tendência” de movimento) relativo
entre as superfícies.
1.1 O Problema da Modelagem
 Voltando ao Exemplo 2:
Determinar a força que se deve aplicar a um caixote de
massa m = 50 kg, para que a aceleração obtida seja igual
a 10 m/s2. O atrito entre a superfície e o corpo não é
desprezível, e é dado por  = 0,1.
a = 10 m/s²
Resolução:
A somatória das forças é F = F1 - N
F = F1 – 0,1 . 50 . 10
F = F1 – 50
Fat
m = 50 kg
F=?
1 N = 1 kg x 1 m / s²
Esta resultante deve ser igual à massa do corpo multiplicada pela
aceleração do mesmo.
F1 = 500 + 50  F1 = 500 N
1.1 O Problema da Modelagem
 Basicamente, os estudos de sistemas dinâmicos que
iremos apresentar se dividem nas seguintes fases:
• Modelagem. Descrita anteriormente, consiste em representar
o sistema físico através de um modelo matemático.
• Determinação das características dinâmicas, que implica
em um levantamento prévio de dados, já que propriedades
intrísecas
do
sistema
são
consideradas
(inércia,
amortecimento, atrito, etc.).
• Análise. Consiste em, através de uma metodologia qualquer,
analisar a resposta do sistema a uma entrada, excitação ou
distúrbio.
1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas
 São variáveis que, para todo e qualquer instante de
tempo, têm valor definidos.
1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas
 O objetivo é analisar se a variável contínua de interesse
tende a um valor finito após a aplicação de uma excitação
ou distúrbio. Mais que isso, deseja-se que qualquer
componente transitória desapareça o mais rápido
possível. A forma como o sistema reage a alguns tipos de
distúrbios define a robustez desse sistema dinâmico.
 Deseja-se, na verdade, que o sistema atinja um ponto de
equilíbrio estável o mais rápido possível, ao mesmo tempo
em que algumas características da resposta devem ser
satisfeitas.
1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas
 Assim, a resposta dinâmica de um sistema pode ser dividida em
duas parcelas:
1) Componente de regime permanente, também chamada de
valor final. É a componente obtida quando o tempo tende a um
valor suficiente para a resposta se acomodar. Portanto,
representamos esta componente como: y ()  lim y (t ).
t 
Nota: observe que na expressão acima, a resposta em um instante
qualquer é dada por y(t).
2) Componente transitória. É a parcela da resposta observada
imediatamente após a aplicação de um distúrbio. Seu valor é
dado por: y 1(t )  y (t )  y ( )
1.2 Variáveis Dinâmicas Contínuas
 A classificação dos tipos de respostas é também um
conceito importante:
• RESPOSTA LIVRE: É a saída obtida quando não é
considerada qualquer excitação ao sistema.
• RESPOSTA FORÇADA: É a resposta obtida para uma
determinada excitação, considerando nulas as condições
iniciais.
• RESPOSTA TOTAL: É a união das respostas anteriores.