números 2 pelo

MÉTODOS QUANTITATIVOS
APLICADOS ÀS CIÊNCIAS
CONTÁBEIS
CONTABILIDADE ESTRATÉGICA
2º MÓDULO
Prof. Josenildo dos Santos
POPULAÇÃO:
Conjunto de todos os indivíduos que possuem uma
característica de interesse.
AMOSTRA:
Subconjunto de uma População extraído ao acaso.
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ATENÇÃO:
Quem estabelece uma População
é a característica de interesse.
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VARIÁVEL:
É a característica de interesse de uma População
podendo ser Qualitativa ou Quantitativa.
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VARIÁVEL QUALITATIVA
Quando seu atributo é classificável.
Exemplo: Sexo: Masculino ou Feminino, Nacionalidade, etc.
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VARIÁVEL QUANTITATIVA
Quando é mensurável, isto é, uma variável é
Quantitativa, quando a característica de interesse for
expressa em forma numérica, quer por contagem ou não.
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QUADRO GERAL DAS VARIÁVEIS
Qualitativa
Tipo
de
Variável
Categórica
Escala
Nominal
Escala
Ordinal
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Quantitativa
Numérica
Escala de
Intervalo
Escala de
Proporcionalidade
Discreta
Contínua
VARIÁVEL CATEGORIZADA
A variável aleatória categorizada
produz resposta categorizada.
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EXEMPLOS PRÁTICOS DE VARIÁVEIS
Variáveis Categorizadas
Na sua família
existem diabéticos?
SIM
NÃO
Você possui catarata?
A resposta da pergunta acima
é categorizada
Os humanos subdividem
quanto ao sexo em:
MASCULINO
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FEMININO
Em resumo,
VARIÁVEL QUALITATIVA (categorizada)
quando o atributo é classificável.
Exemplo: Sexo, Nacionalidade ...
VARIÁVEL QUANTITATIVA
produz resposta numérica
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VARIÁVEIS NUMÉRICAS
DISCRETA
Quantos pacientes o HC atende por dia ?
... Número
CONTÍNUA
Qual a altura de cada paciente do HC ?
... metros
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EXERCÍCIO:
A
variável
pequenas
numérica:
empresas
Quantidade
da
de
Região
Metropolitana do Recife é discreta ou
contínua? Porquê?
Prof. Josenildo dos Santos
QUADRO GERAL DO TRABALHO CIENTÍFICO
FONTE DE
DADOS
Utilizar dados
já publicados
Projetar uma
Experiência
Realizar uma
Pesquisa
Tipo de
amostra
Probabilística
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Considerações
éticas
Não
Probabilística
Medidas de Tendência Central
Para avaliar uma série de observações
(uma amostra de dados) existem, com base
na estatística descritiva, duas medidas de
tendência central:as de posição e as de
dispersão.
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1. Medidas de Posição
São os valores pontuais ou centrais em
torno dos quais se acumulam os dados
observados.
Exemplos: mediana, moda e média
aritmética percentis e quartis
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2. Medidas de dispersão
Em grau numérico, evidenciam o quanto os
dados se distanciam de um valor médio.
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Medidas de posição
1.
Mediana
Mediana – é uma medida de tendência
central, denotada por Md , e igual ao valor
da série ordenada que está numa posição
eqüidistante dos extremos dos elementos da
série.
Prof. Josenildo dos Santos
Assim, podemos concluir:
Numa série de n observações ordenadas de
forma crescente, a mediana é o valor da
observação, em duas metades iguais, numa
delas com valores inferiores ao valor da
mediana e a outra com valores superiores.
Portanto, para calcular a mediana podemos
seguir as etapas:
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1. Situação Ímpar
Se a série de dados tiver um numero ímpar de
observações, então o valor da mediana é o
próprio elemento que está no meio da série, o
elemento de ordem igual a (n+1)/2.
a1
a2 a3
a4
a5
Mediana ordem= (5+1)/2=3
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2. Situação Par
Se a série de dados tiver um numero par de
observações não existirá um valor no centro
da série, portanto, para calcular o valor da
mediana devemos dividir por dois a soma dos
valores das observações com ordem n/2 e
n/2 +1.
a1
a2
a3
Md
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a4
Alem disso, podemos observar as principais
vantagens e desvantagens da mediana
Vantagens:
1. Fácil de determinar;
2. Não é afetada pelos valores extremos;
3. Parece ser uma medida correta, pois
divide a série em duas partes iguais a
50%.
Desvantagens:
1. Difícil de incluir em equações
matemáticas;
2. Não usa todos os dados disponíveis
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ordenar a série de dados acima em ordem crescente e obtenha o
máxima e mínimo.
Obter média, moda e media aritmética
-
2.
Moda
Moda – é uma medida de tendência central, é igual ao valor da série
que mais se repete, isto é, que tem maior freqüência.
Podemos, assim, concluir que:
1.a moda é também uma medida resistente, pois está relacionada
apenas com a freqüência de um ou mais elementos da série de
observações. Por exemplo, a mudança de valor de um elemento da
série pode não afetar o valor da moda.
2.comparando à mediana, a moda não tem que representar mais da
metade das observações, apenas representa a observação, ou
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classe, que tem maior Prof.
freqüência.
Além disso, podemos resumir as principais vantagens e desvantagens da
moda:
Vantagens:
1.Fácil de calcular;
2.não é afetada pelos valores extremos.
Desvantagens:
1.pode estar afastada do centro das observações;
2.difícil de incluir em equações matemáticas;
3.a distribuição pode ter mais de uma moda;
4.não usa todos os dados disponíveis.
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3.
Média Aritmética
Seja X a seqüência de observações, representa uma populacao ou uma
amostra.
X = (x1, x2,..., xn) onde x1 é o primeiro dado da série, xn é o
último dado da seqüência e xi é um elemento qualquer da mesma
seqüência.
Define-se
a) média da população x é o resultado de divisão da soma de todos os
elementos da seqüência pelo número de elementos
x = (x1+x2...+ xn) /n
b) média da amostra, suponhamos que nessa amostra temos m<n, assim
_
X = (x1+x2...+
xm) /m
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Exemplos: amostra de hemoglobina obtida de 70 mulheres
10,2
12,0
13,7
12,9
10,4
11,1
14,9
13,3
13,4
12,9
12,1
12,1
10,9
9,4
10,6
11,9
10,5
11,4
13,7
12,5
11,8
12,1
11,2
12,9
15,1
11,4
10,7
12,7
9,3
14,6
13,5
11,1
14,6
13,5
10,9
8,8
11,5
10,2
12,0
11,6
11,0
12,5
11,3
13,5
14,7
10,8
10,8
11,7
13,3
13,0
14,1
11,6
10,3
13,1
13,6
9,7
12,9
10,6
13,4
11,4
12,3
11,9
11,0
10,9
11,7
13,1
10,9
11,8
10,4
12,2
ordenar a série de dados acima em ordem crescente e
obtenha o máxima e Prof.
mínimo.
Josenildo dos Santos
Obter média, moda e media aritmética
Assim, temos as seguintes conclusões:
1.a medida de posição mais usada é a média aritmética de uma seqüência de
observações
2.o valor da média pode ser interpretado de forma geométrica, isto é, podese ver que o valor da média aritmética está posicionado entre os dados de
forma equilibrada, isto é, todos os dados se distribuem ao redor da média.
3.a soma dos desvios das observações de uma seqüência é sempre igual a
zero.
4.a soma dos quadrados dos desvios das observações de uma seqüência é
sempre um valor mínimo.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS
Prof. Josenildo dos Santos
Lembre-se:
Os métodos que podem medir os fenômenos devido
ao acaso são:
Probabilístico
» Pelo método probabilístico
apriori, podemos ter uma estimativa dos casos favoráveis à
realização do fenômeno.
Estatístico » Pelo método estatístico ou a
posteriori, sabemos com que freqüência, em relação a
massa
geral,
acontecem
os
casos
aparecimento do fenômeno. do fenômeno.
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favoráveis
ao
Assim definimos:
A probabilidade matemática apriori como sendo a
relação entre os casos favoráveis de realização de um
acontecimento sobre os casos igualmente possíveis.
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p
p
=
=
Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
Número de casos favoráveis
Nº de casos favoráveis + Nº de casos contrários
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Por outro lado, a probabilidade contrária é representada por q e
definida por
q=
Número de casos contrários
Número de casos possíveis
Prof. Josenildo dos Santos
Conseqüentemente,
p+q = Número de casos possíveis
Nº de casos favoráveis + Nº de caos contrários
p+q = 1
q = 1-p
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EXEMPLO 2 :
Seja uma população formada por cinco bolas
numeradas com os números 2, 4, 6, 8 e 10 que estão
dentro de uma urna da qual retiramos amostras.
Pode-se calcular o valor esperado das medidas
amostrais X referentes as amostras de tamanho n=2
retiradas da população.
Solução: ...
Conclusão:
 A população tem média µx = 6
 O valor esperado das médias amostrais E [ X ] = 6
Em outras palavras o valor esperado das médias
amostrais é o próprio valor da média da população.
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HISTOGRAMA DAS MÉDIAS
AMOSTRAIS DE TAMANHO N = 2
Probabilidade
P
20%
10%
3
4
dos Santos
5Prof. Josenildo
6
7
8
9
X
Na prática temos:
 A distribuição em questão pode
ser aproximadamente normal.
 Qualquer amostra real pode se
desviar das características teóricas
esperadas.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Prob.: X ~ N ( µ1 σ2)
X tem distribuição normal ( N ) com média
µ e variância σ2 .
Características da Distribuição Normal
 Em termos de forma, ela é simétrica e tem o
formato de um sino
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 Suas medidas de tendência central (média
aritmética, mediana, moda, média de intervalo
e média das juntas) são todas idênticas
(Exercício: Usar o livro texto e o SPSS).
 Sua dispersão média é igual a 1,33 desvio
padrão. Isto significa que o intervalo
interquantil está contido dentro de um
intervalo de dois terços de desvio padrão,
abaixo da média aritmética e dois terços de
um desvio padrão acima da média (exerc.)

Sua variável aleatória associada possui uma
intervalo infinito ( - oo < X < oo )
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Na verdade, um fenômeno que
possa ser aproximado por um
modelo de distribuição normal,
pode ter as seguintes
características:
C1 - Seu polígono pode apenas
aproximadamente ter formato de
um sino e ter aparência simétrica.
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C2 - Suas medidas de tendência central
pode divergir ligeiramente uma da outra.
C3 - O valor de seu intervalo interquantil
pode definir ligeiramente de 1,33 desvio
padrão.
C4 - Se o intervalo prático não será infinito,
não geralmente estará entre 3 (três) desvios
padrões acima e abaixo da média aritmética
( isto é intervalo de amplitude ~ 6 desvios
padrões)
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MODELANDO:
Modelo Funcional da
Distribuição Normal.
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O modelo matemático da função de densidade da
probabilidade para a distribuição normal é dado por:
f(x) =
-½
1 ҽ
σ 2π
X -µ
2
( σ)
Onde:
M
N
i=1
µ = (média da população) =
Xi
N
2
σ = (variância da população) =
σ = (desvio padrão) =
M
N
(
M
N
i=1
Xi - µ )
i=1
Prof. Josenildo dos Santos
N
(
Xi - µ )
N
2
2
TABELA DE FREQÜÊNCIA DE CLASSES
Define-se como sendo o arranjo da massa de dados
em uma tabela de freqüência, na qual os dados são
agrupados
em
classes
de
intervalo
de
comprimento
constante. Para estabelecer o intervalo de comprimento das
classes que irão representar os dados, pode-se utilizar a
seguinte expressão:
m = 0,9 n
Onde: m - número de classes
N - número de observações
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Segundo Sturges() existe, também a
proposta m = 1 +
log2 n , com o objetivo de estabelecer o número de classes. No
entanto, faz-se necessário ressaltar que estas formulações (ver
fig.II) não são rígidas, ou seja tenham que ser aplicadas. O critério
para se estabelecer o comprimento das classes depende, em
muito, do conhecimento do pesquisador sobre o assunto.
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16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 ---
--
--
--
--
0
m = 0,9 n
--
Número de classes (m)
m
50
100
150
200
250
300
Tamanho da amostra (n)
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n
ASSIMETRIA E CURTOSE
Ao se representar uma série de observações (ou uma
massa de dados) através dos pontos médios das classes, em
função da freqüência, percebe-se que o gráfico pode ser
simétrico, ou seja, possui a mesma forma à esquerda e à
direita da moda ( fig. III), ou pode ser assimétrica (fig.IV).
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Fig. III
Ma=
3Md - Mo
freqüência
Moda = média = mediana
classes
Fig III - distribuição de freqüência
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2
freqüência
Fig. IV
moda
mediana
mediana
média
média
classes
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moda
CÁLCULO DO COEFICIENTE DE ASSIMETRIA
Para determinar o coeficiente de assimetria CA utiliza-se a
seguinte relação:
n
w
CA3 =
i=1
(Xi - X)3
, onde
n S3
n
w
S =
i=1
(Xi - X)2
n -1
O desvio padrão da
amostra
Então:
Se CA3 = 0 - a massa de dados tem representação simétrica
Se CA3 < 0 - indica uma assimetria negativa
Se CA3 > 0 - indica uma assimetria positiva
Prof. Josenildo dos Santos
CÁLCULO DO COEFICIENTE DE CURTOSE
Denomina-se de curtose, o grau de achatamento da curva em torno do
eixo máximo (moda). Esta característica é exclusiva para a distribuição
simétrica. O coeficiente de curtose CC4 é calculado pela seguinte relação:
n
w
CC4 =
i=1
(Xi - X)4
, onde
n S4
w
n
S =
Então :
i=1
(Xi - X)2
n -1
O desvio padrão da
amostra
Se CC4 = 3 temos uma mesocurtose
Se CC4 > 3 temos uma leptocurtose
Se CC4 < 4 temos uma platicurtose
Prof. Josenildo dos Santos
De fato, existem vários níveis de achatamento da curtose, no entanto
freqüência
iremos considerar neste trabalho apenas os três citados acima.
leptocurtose
mesocurtose
platicurtose
classes
Prof. Josenildo dos Santos
TABELA DE FREQÜÊNCIA
A apresentação de uma série de observações (dados)
em uma tabela de freqüência, é o arranjo que se dá ao
organizá-los em colunas. Na primeira coluna, normalmente,
colocam-se os dados em ordem crescente e sem repetí-los.
Nas outras colunas, adicionam-se a freqüência observada (fo) e
ou relativa com a probabilidade observada (po).
Prof. Josenildo dos Santos
A freqüência observada (fo) é o número de vezes que cada
elemento se repete, enquanto que a freqüência relativa (fr) - ou
probabilidade observada- é a relação percentual da "fo" pelo total
de dados (no caso da probabilidade observada é razão entre a
freqüência observada e o número total de dados). Por vezes fazse necessário apresentar a probabilidade esperada (pe), a
diferença po - pe, Z-Teste ou X2-Teste ou outros testes.
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