Ensino Superior
Cálculo 3
9. Integrais Duplas
Volumes
Amintas Paiva Afonso
Integrais Duplas - Volume
•
Na tentativa de resolver o problema de determinar
áreas, chegamos à definição de integral definida.
Vamos aplicar procedimento semelhante para
calcular o volume de um sólido e, no processo,
chegar à definição de integral dupla.
f : IR2 IR contínua no retângulo
R = [a,b] x [c,d]
y
•
Consideremos uma função f de duas variáveis
definida em um retângulo fechado
d
R = [a,b] x [c,d] = { (x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }
R
c
a
b
x
f 0 em IR
Q = {(x,y,z) | (x,y) IR e 0 z f(x,y)}
•
z
e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a
superfície de equação z = f(x,y).
Q
•
Seja Q o sólido que está contido na
região acima de R e abaixo do
gráfico de Q, ou seja,
Q = {(x,y,z) IR3| (x,y) R,
y
0 z f(x,y)}
Volume de Q = V = ?
R
x
Partição de R
•
O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em subretângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m
subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m,
e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , yj], de mesmo
comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos
coordenados passando pelos extremos dos subintervalos,
formamos os sub-retângulos.
Rij = [xi-1,xi] x [yj-1,yj ] = {(x,y) | xi-1 < x < xi , yj-1 < y < yj }
cada um dos quais com área A = xy.
Partição de R
y
R
d
y
yj
yj-1
y2
y1
Rij
(xij , yij)
c
a x1 x2
xi-1 xi
x
b
x
Integrais Duplas - Volume
•
Se escolhermos um ponto arbitrário (xij,yij) em cada Rij,
podemos aproximar a parte de Q que está acima de cada Rij
por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e
altura f(xij,yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura
vezes a área do retângulo da base:.
Vij = f(xij,yij)A.
Integrais Duplas - Volume
Se seguirmos com esse procedimento para todos os
retângulos e somarmos os volumes das caixas
correspondentes, obteremos uma aproximação do volume
total de Q:
V
n
m
f (x , y
ij
i 1
ij ) A
j 1
Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo,
calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido,
multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e,
então, adicionamos os resultados.
Integrais Duplas - Volume
z
Q
f (xij , yij)
Vij
y
R
n
V=
lim
m,n
i 1
m
f (x ij , yij )A
j1
(xij , yij)
x
Integrais Duplas - Volume
Definição
•
Considere uma função z =
f (x, y) contínua e definida
numa região fechada e
limitada D do plano xy.
•
Traçando retas paralelas aos
eixos x e y, recobrimos a
região D por pequenos
retângulos.
Definição
•
Considere somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos
em D, numerando-os de 1 a n.
Em cada retângulo Rk, tome o ponto Pk = (xk , yk) e forme a soma
•
SOMA DE RIEMANN:
onde Ak = xk . yk é a área do retângulo Rk.
•
Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retângulos
ficam cada vez menores.
Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos
Rk tende a zero quando n tende ao infinito.
Definição
•
Então, se
existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA de f (xk ,yk)Ak
sobre a região D.
Denota-se por:
f ( x, y)dA f ( x, y)dxdy lim
D
D
n
n
f ( x , y ).A
k
i 1
k
k
Interpretação Geométrica
•
•
Se f (x, y) 0, f (xk , yk)Ak representa o volume de um prisma
reto, cuja base é o retângulo Rk e cuja altura é f (xk , yk).
A soma de Riemann
é a aproximação do
volume limitado abaixo da região z e acima de D.
Interpretação Geométrica
•
Assim, se z = f (x, y) 0, então
é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo
gráfico de z = f (x, y) e inferiormente pela região D.
Interpretação Geométrica
Área da Região D
Se f(x, y) = 1
Logo:
P(x, y) D, então, V = 1.áreaD.
Cálculo de Volumes - Aplicações
A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)
Cálculo de Volumes - Aplicações
Para f (x, y) 0, a integral
nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo
gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e
lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.
Exemplos
Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo
gráfico de z = 4 - x - y inferiormente pela região delimitada
1
1
por x = 0, x = 2, y = 0 e y x e lateralmente pelo cilindro
4
2
vertical cuja base é o contorno de R.
Resposta: V = 15/4 u.v.
Representamos na Figura a região R (base deste sólido):
Assim, 0 x 2 e 0 y 1 x 1 ,
4
2
logo a região é do Tipo I e podemos
integrar deste modo:
2
V
1
1
x
4
2
0
0
4 x y dydx
Teorema de Fubini
b
b d
a
a c
f ( x, y)dxdy A( x)dx [ f ( x, y).dy]dx
Teorema de Fubini
d
d b
c
c a
f ( x, y)dxdy A( y)dy [ f ( x, y).dx]dy
Exercícios
1) Determinar o volume do sólido limitado pelos planos
coordenados pelo plano x + y + z = 3, no 1º octante.
3
3
Exercícios
2) Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x2 ; x = 0;
y = 6; z = 0; y = 0.
Resposta: 32 u.v
Exercícios
3) Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos
cilindros x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2.
a
a
a
Resposta: 2a3/3 u.v.
Exercícios
4) Determinar o volume do sólido limitado superiormente por
z = 2x + y + 4 e inferiormente por z = − x − y + 2 e
lateralmente pela superfície definida pelo 2contorno da região
x
2
D limitada pelas curvas y = x – 4 e y
2
2
Exercícios
Resposta: -22/15 u.v.
Exercícios
5) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo
parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2
e os três planos coordenados.
Primeiro, observamos que S é o sólido que se encontra sob a superfície
z 16 x 2 y e acima de R [0,2] [0,2].
2
2
V (16 x 2 y )dA (16 x 2 y )dxdy
2
2
R
16 x x 2 y x
2
0
88
y
3
1
3
y
4
3
3
3
2
0
2
48
x2
2
2
0
0
2
dy
x 0
2
0
88
3
2
4 y dy
Resposta: 48
2
Exercícios
6)Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide
z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta
y = 2x e pela parábola y = x2.
y = 2x
y = x2
Resposta: 216/35
Exercícios
8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos
x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
Exercícios
8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos
x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
x
1 1 2
1
0 x/2
0
V 2 x 2 y dA
D
2 x 2 ydydx 2 y xy
x x x 2
x2 x2
21 x1 1 x
dx
2
2
2
2
4
0
1
x2
x2
x2 x2
dx
2 x x
1 x
x
2
4
2
4
0
1
1
x3
1
2
2
1 2 x x dx x x
3 0 3
0
1
Resposta: 1/3
x
2 1 2
y x dx
2
Exercícios
