Ensino Superior Cálculo 3 9. Integrais Duplas Volumes Amintas Paiva Afonso Integrais Duplas - Volume • Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. f : IR2 IR contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d] y • Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado d R = [a,b] x [c,d] = { (x,y) IR2| a < x < b, c < y < d } R c a b x f 0 em IR Q = {(x,y,z) | (x,y) IR e 0 z f(x,y)} • z e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y). Q • Seja Q o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de Q, ou seja, Q = {(x,y,z) IR3| (x,y) R, y 0 z f(x,y)} Volume de Q = V = ? R x Partição de R • O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em subretângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , yj], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos. Rij = [xi-1,xi] x [yj-1,yj ] = {(x,y) | xi-1 < x < xi , yj-1 < y < yj } cada um dos quais com área A = xy. Partição de R y R d y yj yj-1 y2 y1 Rij (xij , yij) c a x1 x2 xi-1 xi x b x Integrais Duplas - Volume • Se escolhermos um ponto arbitrário (xij,yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de Q que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij,yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:. Vij = f(xij,yij)A. Integrais Duplas - Volume Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de Q: V n m f (x , y ij i 1 ij ) A j 1 Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados. Integrais Duplas - Volume z Q f (xij , yij) Vij y R n V= lim m,n i 1 m f (x ij , yij )A j1 (xij , yij) x Integrais Duplas - Volume Definição • Considere uma função z = f (x, y) contínua e definida numa região fechada e limitada D do plano xy. • Traçando retas paralelas aos eixos x e y, recobrimos a região D por pequenos retângulos. Definição • Considere somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos em D, numerando-os de 1 a n. Em cada retângulo Rk, tome o ponto Pk = (xk , yk) e forme a soma • SOMA DE RIEMANN: onde Ak = xk . yk é a área do retângulo Rk. • Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retângulos ficam cada vez menores. Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende a zero quando n tende ao infinito. Definição • Então, se existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA de f (xk ,yk)Ak sobre a região D. Denota-se por: f ( x, y)dA f ( x, y)dxdy lim D D n n f ( x , y ).A k i 1 k k Interpretação Geométrica • • Se f (x, y) 0, f (xk , yk)Ak representa o volume de um prisma reto, cuja base é o retângulo Rk e cuja altura é f (xk , yk). A soma de Riemann é a aproximação do volume limitado abaixo da região z e acima de D. Interpretação Geométrica • Assim, se z = f (x, y) 0, então é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y) e inferiormente pela região D. Interpretação Geométrica Área da Região D Se f(x, y) = 1 Logo: P(x, y) D, então, V = 1.áreaD. Cálculo de Volumes - Aplicações A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y) Cálculo de Volumes - Aplicações Para f (x, y) 0, a integral nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D. Exemplos Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 - x - y inferiormente pela região delimitada 1 1 por x = 0, x = 2, y = 0 e y x e lateralmente pelo cilindro 4 2 vertical cuja base é o contorno de R. Resposta: V = 15/4 u.v. Representamos na Figura a região R (base deste sólido): Assim, 0 x 2 e 0 y 1 x 1 , 4 2 logo a região é do Tipo I e podemos integrar deste modo: 2 V 1 1 x 4 2 0 0 4 x y dydx Teorema de Fubini b b d a a c f ( x, y)dxdy A( x)dx [ f ( x, y).dy]dx Teorema de Fubini d d b c c a f ( x, y)dxdy A( y)dy [ f ( x, y).dx]dy Exercícios 1) Determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano x + y + z = 3, no 1º octante. 3 3 Exercícios 2) Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0. Resposta: 32 u.v Exercícios 3) Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2. a a a Resposta: 2a3/3 u.v. Exercícios 4) Determinar o volume do sólido limitado superiormente por z = 2x + y + 4 e inferiormente por z = − x − y + 2 e lateralmente pela superfície definida pelo 2contorno da região x 2 D limitada pelas curvas y = x – 4 e y 2 2 Exercícios Resposta: -22/15 u.v. Exercícios 5) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. Primeiro, observamos que S é o sólido que se encontra sob a superfície z 16 x 2 y e acima de R [0,2] [0,2]. 2 2 V (16 x 2 y )dA (16 x 2 y )dxdy 2 2 R 16 x x 2 y x 2 0 88 y 3 1 3 y 4 3 3 3 2 0 2 48 x2 2 2 0 0 2 dy x 0 2 0 88 3 2 4 y dy Resposta: 48 2 Exercícios 6)Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. y = 2x y = x2 Resposta: 216/35 Exercícios 8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Exercícios 8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. x 1 1 2 1 0 x/2 0 V 2 x 2 y dA D 2 x 2 ydydx 2 y xy x x x 2 x2 x2 21 x1 1 x dx 2 2 2 2 4 0 1 x2 x2 x2 x2 dx 2 x x 1 x x 2 4 2 4 0 1 1 x3 1 2 2 1 2 x x dx x x 3 0 3 0 1 Resposta: 1/3 x 2 1 2 y x dx 2 Exercícios