md1-02 - DECOM-UFOP

BCC101
Matemática Discreta I
Lógica Proposicional
1
Lógica Proposicional
Uma proposição é uma sentença declarativa
que é verdadeira ou é falsa
•
•
•
•
Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais True
Brasilia é a capital da Argentina
False
True
1+1=2
False
2+2=3
• 1+2 é impar e 1+3 > 5
• ⊆𝐙 ou 2>5
• Para todo inteiro n>1, 2n-1 é primo
False
True
False
2
Axiomas
 Princípio da não contradição:
Nenhuma proposição é simultaneamente
verdadeira e falsa.
 Princípio do terceiro excluído:
Toda proposição é verdadeira ou é falsa.
Sentenças que não são proposições:
•Esta sentença é falsa simultaneamente T e F
•Que horas são? não se pode atribuir T ou F
depende do valor da variável x
• x+1 = 2
3
Lógica Proposicional
Proposições podem ser combinadas para
formar novas proposições:
Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais
e o Cruzeiro é o melhor time do Brasil
Duas proposições simples:
 Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais
 Cruzeiro é o melhor time do Brasil
Combinadas usando-se o conectivo e
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Lógica Proposicional
Vamos usar variáveis para representar
proposições: P, Q, R, …
P: Belo Horizonte é a capital de Minas Gerais
Q: Cruzeiro é o melhor time do Brasil
A sentença anterior seria representada como
PeQ
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Vamos usar símbolos especiais para
representar os conectivos lógicos:
Conectivo
Negação (não)
Conjunção (ê)
Disjunção (ou)
Ou exclusivo
Condicional (implicação)
Equivalência (bi-implicação)
Simbolo




→
=⟷
Exemplo: (P ÙQ)Ú(ØR ® (P ÚQ))
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Lógica Proposicional – sintaxe
Consideramos um conjunto enumerável de
variáveis de proposição: P1, P2, P3, ….
Seja var uma variável de proposição. O
conjunto prop das fórmulas da LP pode ser
definido pela seguinte gramática:
prop := var |true | false
|(¬ prop)
|(prop ∧ prop)
|(prop ∨ prop)
|(prop -> prop)
|(prop <-> prop)
fórmulas atômicas
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Fórmula?
Usando a gramática podemos determinar se uma sequência
de símbolos é uma fórmula (sentença válida)
Prop?
((P  Q)((P)Q))
Constituintes
(devem ser props)
(P  Q)
((P)Q)
Constituintes
(dos constituintes)
P
(P)
Constituintes
(dos constituintes
dos constituintes)
Q
Q
P
Sim, é uma Prop – constituintes
casam com as regras da gramática,
até o nível de fórmulas atômicas
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Fórmula?
Prop?
(( P  ((Q)))((P)Q))
Constituintes
(devem ser props)
( P  ((Q)))
Constituintes
(de constituintes)
P
Constituintes
(de constituintes
de constituintes)
((Q))
(Q)
((P)Q)
(P)
Q
P
Ôpa! Q não é uma Prop
Nenhuma Prop começa com 
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Exercício
 Quais das seguintes sentenças são fórmulas
da Lógica Proposicional?
 Caso a sentença seja uma fórmula, relacione
todas as suas subfórmulas.
1. ((P ∨ Q) → P)
2. ((P ∧ ∨ P) → ¬)
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Conectivos: precedência associatividade
Para evitar excesso de parênteses, é
estabelecida uma precedência entre os
operadores lógicos:
maior precedência
¬
∧ ∨ ➝ =
menor precedência
∧ e ∨ têm associatividade à esquerda
➝ tem associatividade à direita
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Conectivos: precedência associatividade
Exemplos:
¬P ∧ Q ➝ R = (((¬P) ∧ Q) ➝ R)
P ∧ Q ∨ R = ((P ∧ Q) ∨ R)
P ∧ Q ∧ R = ((P∧Q)∧R) = (P∧(Q∧R))
P → Q → R = (P → (Q→R)) ≠ ((P→Q) →R)
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Exercício
 Elimine os parênteses desnecessários:
((P ∨ Q) ∨ (R ∨ S))
(P ➝ (Q ➝ (P ∧ Q)))
¬ (P ∨(Q ∧ R))
¬ (P ∧(Q ∨R))
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Lógica Proposicional - semântica
O significado de uma proposição é um
valor booleano: T ou F
O significado da constante true é T
O significado da constante false é F
Existem 2 possíveis interpretações para
uma variável de proposição P : T ou F
Como determinar o significado de
fórmulas compostas, como ((P˄Q)  R) ?
14
Negação
p
T
F
¬ p
F
T
Verdadeiro se e somente se
o operando é Falso
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Conjunção
p
T
T
F
q
T
F
T
p ∧ q
T
F
F
F
F
F
Verdadeiro se e somente se
ambos os operandos verdadeiros
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Disjunção
p
T
q
T
p ∨ q
T
T
F
F
F
T
F
T
T
F
Verdadeiro se e somente se qualquer
dos operandos é verdadeiro
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Ou Exclusivo
p
q
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
p
⊕
q
Verdadeiro se e somente se os
operandos tem valores diferentes
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Implicação
p
T
q
T
p ➝ q
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
Falso se e somente se o 1o operando é
verdadeiro e 2o operando é falso
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Equivalência ou Bi-implicação
p
T
q
T
p ⟷ q
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
Verdadeiro sse ambos operandos têm o
mesmo valor
p ⟷ q tem o mesmo valor que (pq)(qp)
p ⟷ q tem o mesmo valor que (p  q)
OBS: Também escrito como p=q
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Implicação – algumas observações
Existem várias maneiras de expressar uma
implicação p ➝ q:
se p então q
p implica q
q segue de p
q somente se p
p é suficiente para q
q é necessário para p
Exemplos:
É suficiente que x>10 para que x>5
É necessário que x>5 para que x>10
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Implicação – algumas observações
pq
Contrapositivo: q  p
Implicação:
Inverso:
Converso:
q p
p  q
equivalentes
(mesma tab-verdade)
equivalentes
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Bi-implicação – algumas observações
p « q ou p = q
Relação Equivalência: a = b ou a º b
ou a == b
Bi-implicação:
Exemplos:
relação de equivalência
notação abreviada para (6 º 2 + 4)Ù(6 º 3.3)
6 = 2 + 4 = 3.3
true = false = false ?
true º false º false
true « false « false
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Tabela-verdade
Proposição: (P  Q)  ( P Q)
P
Q
(P  Q)
P
(PQ)
(PQ)  (PQ)
F
F
F
T
F
F
F
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
F
T
T
Verdadeiro p/ alguma: Satisfazível
Verdadeiro p/ todas: Tautologia
Falso p/ todas : Contradição
(não satisfazível)
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Outra Tabela-verdade
Proposição: ( PQ)  (P Q)
(PQ)
P
Q
F
F
T
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
T
T
F
F
T
F
P
(P  Q) (PQ)  (P Q)
Equivalência Lógica: (PQ) = (PQ)  (P Q)
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Exercício
Suponha que x = 5 e y = 8.
Qual é o valor verdade de cada uma das
seguintes sentenças:
 y=8 ∨ x<10
 (x>3 ∧ y>10)
 x>3 ∧ y>10  x+y=12
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Sherlock Holms
O mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentes
Ou o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocente
Então ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado
M = o mordomo é inocente
C = o cozinheiro é inocente
L = o mordomo está mentindo
(M  C)
LC
LM
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Sherlock Holms
(M  C)
LC
LM
(M  C) ∧ L  C  L   M
M
C
L
(M  C)
LC
Consequência
Lógica
L  M
False
False
False
True
False
True
False
False
True
True
True
True
False
True
False
True
True
True
False
True
True
True
True
True
True
False
False
True
False
False
True
False
True
True
True
True
True
True
False
False
True
False
True
True
True
False
True
True
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O raciocínio com tabela-verdade é
viável na prática?
É bom quando existem apenas 2 variáveis
{T,F}  {T,F} = possíveis valores de variáveis
2  2 linhas na tabela-verdade
Três variáveis — começa a ficar tedioso
{T,F}  {T,F}  {T,F} = possíveis valores
2  2  2 linhas na tabela-verdade
Vinte variáveis — impraticável!
2  2  …  2 linhas (220)
Você gostaria de preencher um milhão de linhas?
Nesse caso, como faria para evitar erros?
Centenas de variáveis — + de1 milhão de anos!
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Adição Binária
Circuitos Digitais
1001 (9)
+ 1 1 (3)
-----1100 (12)
Portas Lógicas
AND
OR
NOT
XOR
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Circuito Meio Somador
S=A  B
Entradas Saídas
A B
C S
0 0
0 0
1 0
0 1
0 1
0 1
1 1
1 0
Cout=(AB)
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Somador Completo
S=A  B  Cin
Cout=(AB)  (Cin  (AB)
Entradas Saídas
A B Cin Cout S
0 0 0
0 0
1 0 0 0
1
0 1 0 0
1
1 1 0
1 0
0 01
0
1
1 0 1
1 0
0 1 1
1 0
1 1 1
1
1
32