Trabalho e Energia Cinética

Rotação dos Corpos Rígidos
Profª Jusciane da Costa e Silva
Rotação do Corpos
 A rotação acontece em todas as escalas.
Introdução
Não podem ser representado como o movimento de um ponto. São corpos
que giram em torno de um eixo.
Introdução
 Desejamos analisar a rotação de um corpo rígido em torno de
um eixo fixo.
 Conceitos:
 Corpo rígido: É um conceito limite ideal, de um corpo indeformável
que pode girar com todas suas partes travadas conjuntamente sem
sofrer qualquer mudança.
 Eixo Fixo: Significa que a rotação ocorre em torno de um eixo que
não se move.
Introdução
 Rotação Pura (movimento angular): Todos os pontos do corpo se
movem em um círculo cujo centro está sobre o eixo de rotação e
todos os pontos descrevem o mesmo ângulo em um mesmo intervalo
de tempo.
 Translação Pura (movimento linear): Todos os pontos se movem
ao longo de uma linha reta e todos os pontos sofrem o mesmo
deslocamento linear em um mesmo intervalo de tempo.
 Linha de Referência – ponto que liga a origem ao ponto desejado.
Variáveis de Rotação
 Grandezas
equivalentes angulares das grandezas lineares
posição, deslocamento, velocidade e aceleração.
 Posição angular
Consideremos uma linha que liga a
origem a um ponto P (OP), essa linha
chamaremos de Linha de Referência.
A coordenada  de um corpo rigído
girando em torno de um eixo fixo pode
ser negativa ou positiva.
Positiva – Sentido contrário ao relógio.
Negativa – Sentido do relógio.
Variáveis de Rotação
A posição angular desta linha é o ângulo da linha em relação a
um sentido fixo, que tomamos como a posição angular igual a
zero.
S é o comprimento do arco do
círculo que se estende do eixo x até
a linha de referência, e r é o raio do
círculo.
O ângulo é definido em Radianos e
não em graus ou revoluções.
Variáveis de Rotação
Deslocamento angular
Se um corpo gira em torno de um eixo de rotação, variando sua
posição angular, dizemos que o corpo sofre um deslocamento
angular.
Positivo – Contrário ao relógio.
Negativo – Sentido do relógio.
Variáveis de Rotação
Velocidade angular
Se um corpo está numa posição 1 no tempo t1 e numa posição 2
num tempo t2, então sua velocidade angular média será
A velocidade angular instantânea
Unidade: rad/s
Variáveis de Rotação
Aceleração angular
Se a velocidade angular do corpo em uma rotação varia então ele
produz uma aceleração angular
A velocidade angular instantânea
Unidade: rad/s2
Exemplo 01
Consideremos um volante do motor de carro que está sendo
testado. A posição angular dessa roda é dada por
  2,0(rad / s 3 )t 3
O diâmetro do volante é igual a 0,36 m.
(a) Ache o ângulo , em radianos e em graus, nos instantes t1 = 2 s
e t2 = 5 s.
(b) Ache a distância percorrida por uma partícula na periferia do
volante neste intervalo de tempo.
(c) Calcule a velocidade angular média, em rad/s entre t1 = 2 s e t2
= 5 s.
(d) Ache a velocidade angular instantânea no instante t = 3s.
(e) Calcule a aceleração angular média no mesmo intervalo do item
(c).
Rotação com aceleração angular
constante
 Vimos no MRU que quando a = const. os cálculos ficam muito
mais fáceis.
 Seja 0 a velocidade angular de um corpo rígido no tempo t
= 0 e  a velocidade num tempo t, a aceleração é
αt é a variação total da velocidade entre o t = 0 e t.
 Quando α é constante,  varia com uma taxa uniforme
Valor médio entre 0 e t é a média
entre o valor inicial e final
depois de algumas manipulações matemáticas encontramos
Equação básica do movimento.
Relação entre grandezas lineares
e angulares
Como podemos encontrar a velocidade e a aceleração de um dado ponto
em um corpo girando? Por exemplo, para encontra K precisamos saber v.
 Se um corpo rígido gira formando um ângulo  um ponto no corpo a
uma posição r em relação ao eixo de rotação descreve um arco de círculo
de comprimento s, logo
s  r
derivando
ds d
 r
dt dt
v  r
Uma vez que num corpo rígido todos os pontos tem a mesma velocidade ,
pontos em r maiores tem velocidades maiores.
Relação entre grandezas lineares
e angulares
O período de uma revolução T para o movimento de cada ponto
e para o próprio corpo rígido é
T
2r
v
ou T 
2r

Aceleração
Para representar a aceleração de uma partícula que se move ao
longo de uma circunferência temos o termo centrípeto e
tangencial.
dv
d
v 2 r 2 2
aT 
r
 r ; acent  
dt
dt
r
r
Energia Cinética de Rotação
Um corpo rígido girando é constituído por massas em
movimento, logo ele possui K.
 Consideremos um corpo constituído por um grande número de
partículas com massas m1, m2, ...,mn situados a uma distância r1,
r2,...rn do eixo de rotação.
 Como v = r
 chamando I = miri2 de momento de inércia, que está relacionado
de como a massa está distribuída no espaço.
Energia Cinética de Rotação
logo
onde
Portanto quando maior for o momento de inércia maior será a
energia cinética do corpo girando.
Unidades I = kg m2.
Exemplo 02
Um engenheiro está projetando uma parte de
uma certa máquina que consiste em três
conectores pesados ligados por suportes leves.
Os conectores podem ser considerados como
partículas pesadas conectadas por hastes
desprezíveis.
(a) Qual o momento de inércia desse corpo em
relação ao eixo perpendicular ao plano
desenhado e passando no ponto A.
(b) Qual o momento de inércia em torno de
um eixo que coincide com a haste BC?
(c)
Se o corpo gira em torno do eixo
perpendicular ao plano do desenho e passa
por A, com velocidade de 4 rad/s, qual é
sua energia cinética?
Portanto um corpo rígido pode ter mais de um momento de inércia.
Cálculo do Momento de Inércia
Se um corpo rígido compõe de poucas partículas, podemos
calcular o momento de inércia
No entanto se o corpo rígido constituir de um grande número de
partícula (meio contínuo) para encontrarmos I temos que
integrar
Exemplo: Haste fina uniforme de massa M e comprimento L.
Qual o momento de inércia?
Cálculo do Momento de Inércia
1. haste é uniforme: CM é o seu centro.
Teorema dos Eixos Paralelos
Suponha que queremos encontrar o
momento de inércia I de um corpo de
massa M em torno de um eixo dado.
reformulando
temos o teorema dos eixos paralelos