t = 1,0 s

MOVIMENTO EM UMA LINHA RETA
MOVIMENTO EM UMA LINHA
RETA

Objetivos de aprendizagem:



Descrever o movimento em uma linha reta em
termos de velocidade média, velocidade
instantânea, aceleração média e aceleração
instantânea.
Interpretar gráficos de posição, velocidade e
aceleração em relação ao tempo.
Como resolver problemas envolvendo movimento
em uma linha reta com aceleração constante.
DESLOCAMENTO, TEMPO E VELOCIDADE
MÉDIA.
Como descrever o movimento de um corpo?
Podemos estudar a variação de sua posição em
um dado intervalo de tempo.
Vamos procurar encontrar equações que
relacionam a posição do corpo com o tempo.
Um carro se move em uma linha
reta
Como descrever o movimento do carrinho?
O carro começa a se mover no INÍCIO, passa pelo ponto P1
depois de 1,0 s e pelo ponto P2 após 4,0 s. P1 está a 19
metros do início e P2 está a 277 metros do início.
Sistema de coordenadas
Origem do sistema
Sistema de coordenadas
Indicação da
coordenada e o sentido
positivo
Origem do sistema
Sistema de coordenadas
Posição: é o local em que um corpo se
encontra em um certo instante do tempo
Indicação da
coordenada e o sentido
positivo
Deslocamento: é a diferença entre a
posição em um certo instante t2 e a
posição em um instante anterior t1.
x = x2− x1
Velocidade média
Definimos velocidade média como a razão entre o
deslocamento de um objeto pelo intervalo de
tempo decorrido. Se o objeto está na posição x2
no instante t2 e na posição x1 no instante t1,
teremos
x2− x1
v med x=
=
t 2− t 1
x
t
Velocidade média
No nosso exemplo:
277 m− 19 m 258 m
v med x =
=
= 86 m/ s
4 s− 1 s
3s
Sinal positivo indica deslocamento no sentido
positivo do eixo x.
A unidade da velocidade média é distância por
tempo.
Representação gráfica do
deslocamento
Gráfico da trajetória
Representação gráfica do
deslocamento
Note que a inclinação muda
se considerarmos t=1s e
t=3s. Isto quer dizer que a
velocidade média entre estes
dois instantes é diferente.
Representação gráfica do
deslocamento
De fato, a velocidade média
vai mudando conforme
vamos escolhendo instantes
distintos para o tempo
posterior..
Representação gráfica do
deslocamento
Você é capaz de responder
se, ao mudarmos o instante
posterior de t =4s para
valores menores, a
velocidade média irá
aumentar, permanecer
constante ou diminuir?
Velocidade instantânea
Velocidade instantânea
Velocidade instantânea
Algebricamente:
x2− x1
v med x=
=
t 2− t 1
x
t
O que fizemos foi fazer o intervalo de tempo cada
vez menor. No último gráfico, fizemos o intervalo de
tempo tender a zero. Ao resultado chamamos
velociddade instantânea no instante t1
v x = lim
t
0
x
t
Exemplo
Um carro se move de acordo com a equação:
x= 20 m
2
5m/ s t²
Encontrar a velocidade média entre
t = 1 s e t = 2s,
t = 1s e t = 1,1 s,
t=1 s e t= 1,01 s,
t=1s e t=1,001s.
A partir destes resultados, infira qual deve ser a
velocidade instantânea em t=1s.
Exemplo
2
x= 20Solução:
m 5m/ s t²
Entre t=1s e t=2s:
x2
x1
20 5× 2 − 20 5× 1 m
v med x=
2− 1 s
2
15 m
v med x =
= 15 m/ s
1s
2
Exemplo
2
x= 20Solução:
m 5m/ s t²
Entre t=1s e t=1,1s:
20 5× 1,1 − 20 5× 1 m
v med x=
1,1− 1 s
2
1,05 m
v med x =
= 10,5 m/ s
0,1 s
2
Exemplo
2
x= 20
m 5m/ s t²
Solução:
Entre t=1s e t=1,01s:
20 5× 1,01 − 20 5× 1 m
v med x=
1,01− 1 s
2
2
1,005 m
v med x =
= 10,05 m/ s
0,01 s
Exemplo
2
x=Solução:
20 m 5m/ s t²
Entre t=1s e t=1,001s:
20 5× 1,001 − 20 5× 1 m
v med x=
1,001− 1 s
2
2
1,0005 m
v med x=
= 10,005 m/ s
0,001 s
Exemplo
t= 1 s
Resumo:
v med x= 15 m/ s
t= 0,1 s
v med x= 10,5 m/ s
t= 0,01 s
v med x= 10,05 m/ s
t= 0,001 s v med x= 10,005 m/ s
Podemos inferir, deste resultado, que a velocidade instantânea,
calculada quando o intervalo de tempo é nulo, valerá 10 m/s.
Exemplo
Demonstração: vamos considerar um instante
inicial t e um intervalo arbitrário:
v med x=
v med x=
v med x=
20 5 t
− 20 5t
t −t
2
t
t
5 t
5 t²
t − 5t
t
2
2t
t
2
t
t
2
− 5t
2
2
Exemplo
Demonstração:
v med x=
v med x =
5 t
2
2t
t
t
2
− 51
2
t
5t
2
10 t
t 5
t
t − 5t
2
2
Exemplo
Demonstração:
v med x =
v med x=
5t
2
10 t
10 t
t 5
t
t 5
t
t
t − 5t
2
2
2
= 10 t 5 t
Exemplo
Logo, considerando o instante inicial t e o final t +
Δt, a velocidade média é dada por
v med x= 10 t 5 t
Agora, vamos considerar o limite em que o
intervalo de tempo vai a zero:
v x = lim
t
0
10 t 5 t = 10 t
Para t =1s: v = 10 m/s
v x = lim
t
0
x dx
=
t dt
Lemos a derivada de x em relação a t.
Aceleração Média e Aceleração instantanea


Velocidade: mede a taxa de variação da
posição em relação ao tempo.
Aceleração: mede a taxa de variação da
velocidade em relação ao tempo.
Aceleração média
Em t1 : velocidade v1
Em t2 : velocidade v2
v 2x− v 1x
a med , x=
=
t 2− t1
vx
t
Aceleração instantanea
Aceleração média:
v 2x− v 1x
a med , x=
=
t 2− t1
Aceleração instantanea:
a x = lim
t
0
v dv x
=
t dt
vx
t
Aceleração instantanea:
representação gráfica
Movimento com aceleração
constante
Acontece em várias situações de interesse, a
principal sendo o movimento dos corpos próximo
à superfície da Terra quando a resistência do ar
pode ser desprezada.
Característica principal: como a aceleração é
constante, a aceleração média, amed x é a mesma
que ax.
a med x
a
Equação para a velocidade
Como
a med x=
v v 2x − v 1x
=
t
t 2− t 1
teremos
a x=
v v 2x− v 1x
=
t
t 2 − t1
então
v 2x= v 1x a x t 2− t 1
Equação para a velocidade
v 2x= v 1x a x t 2− t 1
=0 s
v 0x
Velocidade do objeto quando t= 0 s
v x = v 0x a x t
Velocidade do objeto no instante t
Equação para a velocidade
v 2x= v 1x a x t 2− t 1
=0 s
v 0x
Velocidade do objeto quando t= 0 s
v x = v 0x a x t
Note que esta equação
vale apenas quando a
aceleração é constante
Velocidade do objeto no instante t
Interpretação gráfica
Interpretação gráfica

Área total:
retângulo:
Aq = v 0x t
triângulo:
1
At = a x t t
2
Área total:
AT = v 0x t
1
2
ax t
2
v 0, x v
v med , x =
2
Interpretação gráfica

Área total:
retângulo:
Aq = v 0x t
triângulo:
1
At = a x t t
2
Área total:
AT = v 0x t
1
2
ax t
2
v 0, x v
v med , x =
2
Equação para a posição
x2− x1
v med , x =
t 2 − t1
x− x 0
v med , x =
t
v 0, x v
v med , x =
2
Equação para a posição
v 0, x v
v med , x =
2
v med , x =
v med , x = v 0, x
axt
2
v 0, x
v 0, x a x t
2
Equação para a posição
x− x 0
v med , x =
t
v med , x = v 0, x
x = x 0 v med , x t
x = x 0 v 0, x t
1
2
axt
2
axt
2
Corpos em queda livre
Corpos em movimento nas
proximidades da superficie
da Terra quando a
resistência do ar e a
rotação da Terra podem
ser desprezadas.
g = 9,8 m/ s
Aponta para baixo
2
Queda livre – Exemplo 1

Uma moeda é jogada
do topo da Torre de
Pisa. Ela parte do
repouso e cai em
queda livre. Encontre
sua posição e
velocidade após 1,0
s; 2,0 s; 3,0 s.
Queda livre – Exemplo 1
Equações:
1
2
y= y 0 v 0y t
ayt
2
v y= v 0y a y t
Queda livre – Exemplo 1
Equações:
1
2
y= y 0 v 0y t
ayt
2
v y= v 0y a y t
Valores iniciais:
y0= 0
v 0y= 0
Queda livre – Exemplo 1
Equações:
1
2
y= a y t
2
v y= a y t
Valor para
a?
y
Queda livre – Exemplo 1
Equações:
1
2
y= a y t
2
v y= a y t
Valor para
a?
y
a y= − 9,8 m/s 2 = − g
Sinal negativo: a aceleração aponta contraria ao
sentido positivo do eixo y..
Queda livre – Exemplo 1
Equações:
1 2
y= − g t
2
v y= − g t
Queda livre – Exemplo 1
Equações:
1 2
y= − g t
2
v y= − g t
Substituindo os valores
para o tempo,
chegamos aos
valores da figura ao
lado.
Queda livre: Exemplo 2
Você joga uma bola
verticalmente para
cima de um prédio
alto com velocidade
inicial de 15,0 m/s. A
bola sobe e cai até
atingir o chão.
Considerando que a
bola esteja em queda
livre, encontre a sua
posição e velocidade
depois de 1,0 s; 4,0 s.
Queda livre: Exemplo 2
Equações?
1
2
y= y 0 v 0y t
ayt
2
v y= v 0y a y t
Valores iniciais:
v 0y= 15,0 m/s
y0= 0
Queda livre: Exemplo 2
Equações?
Equações:
y= 15t
1
2
ay t
2
v y= 15 a y t
Valor para aceleração?
Queda livre: Exemplo 2
Equações?
Equações:
y= 15t
1
2
ay t
2
v y= 15 a y t
Valor para aceleração?
a y= − 9,8 m/s 2 = − g
A aceleração aponta para baixo, o sentido positivo
é para cima, logo a aceleração tem sentido
contrária e carrega o sinal negativo..
Queda livre: Exemplo 2
Equações?
Equações:
y= 15t
1
2
ay t
2
v y= 15 a y t
Valor para aceleração?
a y= − 9,8 m/s 2 = − g
INDEPENDENTE SE O CORPO SOBE OU DESCE,
A ACELERAÇÃO É A MESMA, SENDO SEMPRE
CONTRÁRIA À ORIENTAÇÃO ESCOLHIDA PARA O
EIXO Y E LOGO CARREGA O SINAL NEGATIVO.
Queda livre: Exemplo 2
Equações?
Equações:
1 2
y= 15t− g t
2
v y= 15− g t
Queda livre: Exemplo 2
Equações?
Equações:
1 2
y= 15t− g t
2
v y= 15− g t
para t = 1,0 s
y= + 10,1 m
v = + 5,2 m/s
Queda livre: Exemplo 2
Equações?
Equações:
1 2
y= 15t− g t
2
v y= 15− g t
para t = 4,0 s
y= -18,4 m
v = - 24,2 m/s
Queda livre: Exemplo 2
Equações?
Equações:
1 2
y= 15t− g t
2
v y= 15− g t
Você e capaz de encontrar o instante t em que a bola
atinge o topo de sua trajetória? Qual a altura que ela
sobe?