MOVIMENTO EM UMA LINHA RETA
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MOVIMENTO EM UMA LINHA RETA MOVIMENTO EM UMA LINHA RETA ● Objetivos de aprendizagem: ● ● ● Descrever o movimento em uma linha reta em termos de velocidade média, velocidade instantânea, aceleração média e aceleração instantânea. Interpretar gráficos de posição, velocidade e aceleração em relação ao tempo. Como resolver problemas envolvendo movimento em uma linha reta com aceleração constante. DESLOCAMENTO, TEMPO E VELOCIDADE MÉDIA. Como descrever o movimento de um corpo? Podemos estudar a variação de sua posição em um dado intervalo de tempo. Vamos procurar encontrar equações que relacionam a posição do corpo com o tempo. Um carro se move em uma linha reta Como descrever o movimento do carrinho? O carro começa a se mover no INÍCIO, passa pelo ponto P1 depois de 1,0 s e pelo ponto P2 após 4,0 s. P1 está a 19 metros do início e P2 está a 277 metros do início. Sistema de coordenadas Origem do sistema Sistema de coordenadas Indicação da coordenada e o sentido positivo Origem do sistema Sistema de coordenadas Posição: é o local em que um corpo se encontra em um certo instante do tempo Indicação da coordenada e o sentido positivo Deslocamento: é a diferença entre a posição em um certo instante t2 e a posição em um instante anterior t1. x =x 2 −x 1 Velocidade média Definimos velocidade média como a razão entre o deslocamento de um objeto pelo intervalo de tempo decorrido. Se o objeto está na posição x2 no instante t2 e na posição x1 no instante t1, teremos x 2 −x 1 x v med x = = t 2 −t 1 t Velocidade média No nosso exemplo: 277 m−19 m 258 m v med x = = =86 m/ s 4 s−1 s 3s Sinal positivo indica deslocamento no sentido positivo do eixo x. A unidade da velocidade média é distância por tempo. Representação gráfica do deslocamento Gráfico da trajetória Representação gráfica do deslocamento Note que a inclinação muda se considerarmos t=1s e t=3s. Isto quer dizer que a velocidade média entre estes dois instantes é diferente. Representação gráfica do deslocamento De fato, a velocidade média vai mudando conforme vamos escolhendo instantes distintos para o tempo posterior.. Representação gráfica do deslocamento Você é capaz de responder se, ao mudarmos o instante posterior de t =4s para valores menores, a velocidade média irá aumentar, permanecer constante ou diminuir? Velocidade instantânea Velocidade instantânea Velocidade instantânea Algebricamente: x 2 −x 1 x v med x = = t 2 −t 1 t O que fizemos foi fazer o intervalo de tempo cada vez menor. No último gráfico, fizemos o intervalo de tempo tender a zero. Ao resultado chamamos velociddade instantânea no instante t1 v x =lim t 0 x t Exemplo Um carro se move de acordo com a equação: 2 x =20 m5 m/ s t² Encontrar a velocidade média entre t = 1 s e t = 2s, t = 1s e t = 1,1 s, t=1 s e t= 1,01 s, t=1s e t=1,001s. A partir destes resultados, infira qual deve ser a velocidade instantânea em t=1s. Exemplo Solução: x =20 m5 m/ s 2 t² Entre t=1s e t=2s: x2 x1 2 2 205×2 − 205×1 m v med x = 2−1 s 15 m v med x = =15 m/ s 1s Exemplo 2 Solução: x =20 m5 m/ s t² Entre t=1s e t=1,1s: 2 2 205×1,1 −205×1 m v med x = 1,1−1 s 1,05 m v med x = =10,5 m/ s 0,1 s Exemplo 2 Solução: x =20 m5 m/ s t² Entre t=1s e t=1,01s: 2 2 205×1,01 −205×1 m v med x = 1,01−1 s 1,005 m v med x = =10,05 m/ s 0,01 s Exemplo Solução: 2 x =20 m5 m/ s t² Entre t=1s e t=1,001s: 2 2 205×1,001 −205×1 m v med x = 1,001−1 s 1,0005 m v med x = =10,005 m/ s 0,001 s Exemplo Resumo: t =1 s v med x =15 m/ s t =0,1 s v med x =10,5 m/ s t=0,01 s v med x =10,05 m/ s t=0,001 s v med x =10,005 m/ s Podemos inferir, deste resultado, que a velocidade instantânea, calculada quando o intervalo de tempo é nulo, valerá 10 m/s. Exemplo Demonstração: vamos considerar um instante inicial t e um intervalo arbitrário: 2 2 205t t −205t v med x = t t−t 2 2 5t t −5 t v med x = t 2 2 5t² 2 t t t −5 t v med x = t Exemplo Demonstração: 2 2 2 5t 2 t t t −5 1 v med x = t 2 2 5t 10 t t5 t −5t v med x = t 2 Exemplo Demonstração: 2 2 5t 10 t t5 t −5t v med x = t 2 2 10 t t5 t v med x = =10 t5 t t Exemplo Logo, considerando o instante inicial t e o final t + Δt, a velocidade média é dada por v med x =10 t5 t Agora, vamos considerar o limite em que o intervalo de tempo vai a zero: v x =lim t 0 10 t5 t =10 t Para t =1s: v = 10 m/s v x =lim t 0 x dx = t dt Lemos a derivada de x em relação a t. Aceleração Média e Aceleração instantanea ● ● Velocidade: mede a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Aceleração: mede a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Aceleração média Em t1 : velocidade v1 Em t2 : velocidade v2 v 2x−v 1x v x a med , x = = t 2−t 1 t Aceleração instantanea Aceleração média: v 2x−v 1x v x a med , x = = t 2−t 1 t Aceleração instantanea: a x =lim t 0 v dv x = t dt Aceleração instantanea: representação gráfica Movimento com aceleração constante Acontece em várias situações de interesse, a principal sendo o movimento dos corpos próximo à superfície da Terra quando a resistência do ar pode ser desprezada. Característica principal: como a aceleração é constante, a aceleração média, amed x é a mesma que ax. a med x a Equação para a velocidade Como v v 2x −v 1x a med x = = t t 2 −t 1 teremos v v 2x−v 1x a x= = t t 2 −t 1 então v 2x=v 1x a x t 2−t 1 Equação para a velocidade v 2x=v 1x a x t 2−t 1 =0 s v 0x Velocidade do objeto quando t= 0 s v x =v 0xa x t Velocidade do objeto no instante t Equação para a velocidade v 2x=v 1x a x t 2−t 1 =0 s v 0x Velocidade do objeto quando t= 0 s v x =v 0xa x t Note que esta equação vale apenas quando a aceleração é constante Velocidade do objeto no instante t Interpretação gráfica Interpretação gráfica ● Área total: retângulo: Aq =v 0x t 1 triângulo: At = a x t t 2 Área total: 1 2 AT =v 0x t a x t 2 v 0, x v v med , x = 2 Interpretação gráfica ● Área total: retângulo: Aq =v 0x t 1 triângulo: At = a x t t 2 Área total: 1 2 AT =v 0x t a x t 2 v 0, x v v med , x = 2 Equação para a posição x 2 −x 1 v med , x = t 2 −t 1 x− x 0 v med , x = t v 0, x v v med , x = 2 Equação para a posição v 0, x v v med , x = 2 v 0, x v 0, x a x t v med , x = 2 axt v med , x =v 0, x 2 Equação para a posição x− x 0 v med , x = t axt v med , x =v 0, x 2 x =x 0 v med , x t 1 2 x =x 0 v 0, x t a x t 2 Corpos em queda livre Corpos em movimento nas proximidades da superficie da Terra quando a resistência do ar e a rotação da Terra podem ser desprezadas. g =9,8 m/ s Aponta para baixo 2 Queda livre – Exemplo 1 ● Uma moeda é jogada do topo da Torre de Pisa. Ela parte do repouso e cai em queda livre. Encontre sua posição e velocidade após 1,0 s; 2,0 s; 3,0 s. Queda livre – Exemplo 1 Equações: 1 2 y= y 0v 0y t a y t 2 v y =v 0ya y t Queda livre – Exemplo 1 Equações: 1 2 y= y 0v 0y t a y t 2 v y =v 0ya y t Valores iniciais: y 0 =0 v 0y=0 Queda livre – Exemplo 1 Equações: 1 2 y= a y t 2 v y =a y t Valor para a y ? Queda livre – Exemplo 1 Equações: 1 2 y= a y t 2 v y =a y t Valor para a y ? 2 a y =−9,8 m/s =−g Sinal negativo: a aceleração aponta contraria ao sentido positivo do eixo y.. Queda livre – Exemplo 1 Equações: 1 2 y=− g t 2 v y =−g t Queda livre – Exemplo 1 Equações: 1 2 y=− g t 2 v y =−g t Substituindo os valores para o tempo, chegamos aos valores da figura ao lado. Queda livre: Exemplo 2 Você joga uma bola verticalmente para cima de um prédio alto com velocidade inicial de 15,0 m/s. A bola sobe e cai até atingir o chão. Considerando que a bola esteja em queda livre, encontre a sua posição e velocidade depois de 1,0 s; 4,0 s. Queda livre: Exemplo 2 Equações? 1 2 y= y 0v 0y t a y t 2 v y =v 0ya y t Valores iniciais: v 0y=15,0 m/s y 0 =0 Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: 1 2 y=15t a y t 2 v y =15a y t Valor para aceleração? Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: 1 2 y=15t a y t 2 v y =15a y t Valor para aceleração? 2 a y =−9,8 m/s =−g A aceleração aponta para baixo, o sentido positivo é para cima, logo a aceleração tem sentido contrária e carrega o sinal negativo.. Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: 1 2 y=15t a y t 2 v y =15a y t Valor para aceleração? 2 a y =−9,8 m/s =−g INDEPENDENTE SE O CORPO SOBE OU DESCE, A ACELERAÇÃO É A MESMA, SENDO SEMPRE CONTRÁRIA À ORIENTAÇÃO ESCOLHIDA PARA O EIXO Y E LOGO CARREGA O SINAL NEGATIVO. Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: 1 2 y=15t− g t 2 v y =15− g t Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: 1 2 y=15t− g t 2 v y =15− g t para t = 1,0 s y= + 10,1 m v = + 5,2 m/s Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: 1 2 y=15t− g t 2 v y =15− g t para t = 4,0 s y= -18,4 m v = - 24,2 m/s Queda livre: Exemplo 2 Equações? Equações: 1 2 y=15t− g t 2 v y =15− g t Você e capaz de encontrar o instante t em que a bola atinge o topo de sua trajetória? Qual a altura que ela sobe?
