Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo
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Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo Binômio de Newton Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio interno que ensinava gramática na maior parte do tempo... Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, como vamos ver, desenvolveu várias teorias que revolucionaram a matemática, física e astronomia. MATEMÁTICA Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a Ensino Fundamental, 9ºtudo anoo que tinha aprendido na epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton. Relações métricas em um triângulo retângulo Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo TRIÂNGULO RETÂNGULO A trigonometria, desde o início dos seus estudos, é embasada no triângulo retângulo, por isso é importante estudar tanto as suas características, como os seus elementos e as suas relações. O que é um triângulo retângulo? É uma figura geométrica plana, composta por três lados e três ângulos internos. O que diferencia esse triângulo dos demais é que um dos seus ângulos inteiros é sempre igual a 90° (ângulo reto). http://2.bp.blogspot.com/U8KpAaRXjME/T9lFIdmvT8I/AAAAAAAAkbw/ lT2wXOcuWuM/s1600/animated-teacher.gif Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. Catetos: são os dois lados que formam o ângulo reto. Hipotenusa: é o lado oposto ao ângulo reto. hipotenusa cateto cateto cateto hipotenusa cateto http://bestanimations.com/HomeOffice/Lights/Bulbs/animated-light-bulb-gif-11.gif Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo OUTROS SEGMENTOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO a: é a hipotenusa (maior lado); b e c: são os catetos (formam o ângulo reto); h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa; m: é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa; n: é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa. c b h n m a Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo (I) + = 90 (II) + + 90= 180 + = 90 Comparando (I) e (II), tem-se: + = + = . Portanto, = . (I) + = 90 (III) + + 90 = 180 + = 90 Comparando (I) e (III), tem-se: + = + = . Portanto, = . Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo A altura h divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos, ABH e ACH. A h B H C Os triângulos ABC, ABH e ACH são semelhantes. Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo 1ª RELAÇÃO MÉTRICA: O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções de cada cateto. A A b c h m n B h HH C Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo 2ª RELAÇÃO MÉTRICA: O quadrado de cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto correspondente. A A b b c h m B a C H C Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo 3ª RELAÇÃO MÉTRICA: O quadrado de cada cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto correspondente. A A c b c h n B H B a C Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo 4ª RELAÇÃO MÉTRICA: O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela. A A c b c h n B h H n c B a C b c a Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo 5ª RELAÇÃO MÉTRICA: Em todo triangulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (TEOREMA DE PITÁGORAS). c b h n 2ª relação: b² = m.a 3ª relação: c² = n.a Observe que a = m + n m a Somando, membro a membro, as duas igualdades (2ª e 3ª relação), tem-se: b² + c² = m.a + n.a b² + c² = a.(m + n) b² + c² = a.a b² + c² = a² Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo http://colegiodomhelder.com.br/wp-content/uploads/2013/02/EXCOMPL-I-2-ANO-GEOM.pdf Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo Ex.2: (UFRS) O lampião, representado na figura, está suspenso por duas cordas perpendiculares presas ao teto. Sabendo que essas cordas medem 1/2 e 6/5 metros, a distância do lampião ao teto é: a) 1,69 m b) 1,3 m c) 0,6 m d) 1/2 m e) 6/13 m h 1/2 6/5 http://image.slidesharecdn.com/mattriangulo001-111209131304phpapp01/95/mat-triangulo-001-4-728.jpg?cb=1323437786 x Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo Ex.3: Na figura abaixo, a distância da casa à estrada é 1,2 km: Marcos calculou a distância da árvore até a caixa d'água, Luíza calculou a distância da casa à árvore e Juliana calculou a distância da casa à caixa d'água. Quais valores eles encontraram, respectivamente? x y z http://pt.static.zdn.net/files/d70/72778f0d565490be55629e71afcbd586. jpg Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo a) b) c) d) e) 8 62 82 43 63 http://www.cursoobjetivo.br/vestibular/resolucao_comentada/FUVEST/2001_1f ase/2dia/fuvest2001_1fase_2dia.pdf Ex.4: (Fuvest) No jogo de bocha, disputado terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de outra menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a seguir. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é: Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo Ex.5: A figura representa a vista frontal de uma casa. Determine as medidas x, y e h das dimensões do telhado dessa casa. http://pt.static.z-dn.net/files/df3/be6fe4c54edfc31cd126aa074c8557cf.png Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo x y http://image.slidesharecdn.com/mattriangulo001-111209131304phpapp01/95/mat-triangulo-001-4-728.jpg?cb=1323437786 Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo x x http://s3.amazonaws.com /magoo/ABAAAe-ZsAF18.jpg Ex.7: Quanto deve medir as vigas de um teto se ambas devem ser iguais e formar 90°, também se a largura do telhado é 4m? Que altura tem o teto? Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo a) 15m b) 20m c) 25m d) 35m e) 40m http://image.slidesharecdn.com/ mattriangulo001-111209131304phpapp01/95/mat-triangulo-0014-728.jpg?cb=1323437786 Ex.8: (UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço fixos no chão, em um terreno plano horizontal, conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B da torre e C está a 20m de altura, comprimento do cabo AC é: Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo Ex.9: (MOJI-SP) Uma escada que mede 4m tem uma de suas extremidades aparada no topo de um muro, e a outra extremidade dista 2,4m da base do muro. A altura do muro é: a) 2,3m b) 3,0m c) 3,2m d) 3,8m http://image.slidesharecdn.com/mattriangulo001-111209131304phpapp01/95/mat-triangulo-001-4-728.jpg?cb=1323437786 Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo Ex.10: Um pescador quer atravessar um rio, usando um barco e partindo do ponto C. A correnteza faz com que ele atraque no ponto B da outra margem, 240 m abaixo do ponto A. Se ele percorreu 300 m, qual a largura do rio? Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo x 100 50 150 http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/conteudo_622/01.gif Ex.11: Qual é a distância da canoa B até a boia, sabendo-se que a distância entre a canoa B e a canoa C é igual a 150 m e a distância entre a canoa A e a canoa C é igual a 100 m? Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo Qual é a menor distância (m) que o barco deve percorrer para resgatar as três crianças, sabendo que a distância entre o barco e a criança que está em B é de 48 m, e a distância entre as crianças que estão em A e B é de 60 m? http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/conteudo_622/9.gif Ex.12: Um barco vai resgatar três crianças localizadas nas margens do rio conforme a figura. O barco só pode percorrer em linha reta as distâncias dHA, dHC, dHB, dBA, dBC ou dCA. http://www.objetivo.br/conteudoonline/imagens/conteudo_622/9.gif Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo Logo a menor distância para resgatar as três crianças é: dHC + dCA + dAB = 27 m + 45 m + 60 m = 132 m Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo EXTRAS GEOGEBRA Utilizar o software geogebra para demonstrar o teorema de Pitágoras e as relações métricas no triângulo retângulo, empregando o conceito de semelhança entre triângulos. Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm. Matemática, 9º ano, Relações métricas em um triângulo retângulo REFERÊNCIAS Sites: http://pt.slideshare.net/trigono_metrico/mat-triangulo-001 http://www.alunosonline.com.br/matematica/relacoes-metricas-no-trianguloretangulo.html http://www.colegioweb.com.br/relacoes-metricas-nos-triangulos/relacoes-metricasnos-triangulos-retangulos.html Livros: I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 1: ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005. I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.
