Aula 13 - Introdução ao escoamento compressível

Introdução ao escoamento compressível

Matéria






Variação de massa específica associada à
variação de energia cinética
Revisões de Termodinâmica
Equação de energia unidimensional para gases
em regime estacionário sem trocas de energia ao
veio
Entalpia e temperatura de estagnação
Exemplo
Escoamento subsónico, crítico e supersónico.
Introdução ao escoamento compressível

Matéria





Condições críticas
Evoluções em função do número de Mach
Equações para regime compressível unidimensional
Transferência de calor em condutas de secção
constante
Exemplo.
Introdução ao escoamento compressível

Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia
cinética:
V 2
Equação de Bernoulli: p   
2
V 2 elevados
p
elevados
 =  (T,p)
Importância do termo

1
 2
a
p
 significativos
Efeitos de
compressibilidade
a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos
fluidos de menor a)
Introdução ao escoamento compressível

Aumento do número de variáveis (e equações):
Esc. incompressível
Esc. compressível
Vep
V, p,  e T
Equação da continuidade
Equação da continuidade
Equação de Bernoulli
(ou de quantidade de movimento)
Equação de Energia
Equação da quantidade de movimento
Equação de estado (G.P.):

Novos parâmetros:
a – Velocidade do som
M – Número de Mach
(M = V/a)
p  RT
Revisão de Termodinâmica

Algumas definições:

Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de
duas delas (p.ex. pressão e temperatura).

Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o
final.
Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem
interferência do exterior.
Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de
trocas de calor).



Leis da Termodinâmica:


1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de
energia.
2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais
1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas
abertos/volumes de controlo)

Equação de energia para escoamentos unidimensionais:




 
V2  
V2
V2
  Q









d


h


gy
m

h


gy
m

W
 u 



i
k
veio







t
2
2
2
saída
ent
 

i

k
VC


Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao
veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia
potencial (gases), por unidade de massa:
 V2   V2 
 h 
   h 
  q
2 2 
2 1

2ª Lei da Termodinâmica

Num processo real a entropia s varia de modo a que;
dq
ds 
T
ds  ds rev  ds irrev
s e q expressos por unidade de massa

dq
T
Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta,
excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso em
que s = cte – processo isentrópico.
Adiabático + reversível (sem atrito)
isentrópico, ds = 0
Gases perfeitos

Equação de estado: p  RT com R  R M
R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma
mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1mole-1)
e ainda:
du  cv dT
  c p cv
dh  c p dT
R  c p  cv
R
cp 
 1
 varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da
molécula do gás; vapor de água  =1,33.

Evoluções isentrópicas:
T2  p2 
  
T1  p1 
 1

 2 
  
 1 
 1
Número de Mach, M




M
V velocidade do fluido

a
velocidade do som
forço
inércia
Força dede
inércia

Força
elástica
forço
elálásti
energia
cinética
Energia cinética

energia
elálásti
Energia elástica
 p 
   RT  a
   s
V 2 L2
 p  L2
V 2 L3
 p  L3
para um gás perfeito
V

M
p  

V
M
p  
Entalpia de estagnação adiabática



Equação de energia:
 V2   V2 
 h 
   h 
  q
2 2 
2 1

Entalpia de estagnação adiabática:
V2
h0  h 
2
h0 2  h01  q
V2
 cte.
Num escoamento adiabático (q = 0): h0  h 
2
Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao
repouso numa desaceleração adiabática
Temperatura de estagnação adiabática
dh  c p dT

Para um gás perfeito:

V2
Temperatura de estagnação adiabática: T0  T 
2c p

Equação da energia:

V2
 cte.
Num escoamento adiabático: h0  h 
2
h0 2  h01  q
T0 2  T01 
q
cp
V2
T0  T 
 cte.
2c p
Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado
ao repouso numa desaceleração adiabática
Exemplo

Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da
pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura
local é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V.
p0=84 kPa
q
Equação da energia: T0 2  T01 
cp
V2
T0  T 
 cte.
2c p
2
1
V
T0  T1 
2c p
q0
T1=-50 C
p1=70 kPa
1
V
0
?
V1  2c p To  T1 
Evolução isentrópica:
To  po 
  
T1  p1 
 1

Resultados: T1  273  50  223 K
Nota: os pontos 1 e 0 estão muito
próximos e estariam à mesma
pressão e temperatura se o ponto 0
não fosse de estagnação devido à
presença do Pitot.
T0  234,9 K
V1  154 m/s
Temperatura de estagnação em função do
número de Mach - M

Temperatura de estagnação, T0:
   1 V 2
T0  T 1 
2 RT




R
cp 
 1
a2
   1 2 
T0  T 1 
M 
2


V2
T0  T 
2c p
2 

V

T0  T 1 
 2c T 
p 

Condições críticas (M=1)

Para M=1
   1 2 
T0  T 1 
M 
2


   1 
T0  T 1 

2 

T     1

T0  2 
T* é a temperatura crítica
V* é a temperatura crítica:
V 
a* é a velocidade do som crítica
RT0
 a
 1
1
Equações a utilizar em escoamento
compressível
q
T0 2  T01 
cp
dT0 

Equação da energia:

Equação da continuidade: AV  cte.

Equação de estado: p  RT

Equação do número de Mach: M 
dq
cp
d
dA dV


0

A V
dp d dT


0
p

T
V
a
dM da dV


0
M
a
V
Equações a utilizar em escoamento
compressível

Equação da quantidade de movimento:
(escoamento sem mudança de direcção)

Fx  m Vx2  Vx1

p
A+dA
V 2 dx
pA  pdA   p  dp  A  dA  f
 AVdV
2 d
Força longitudinal exercida pela pressão
na parede lateral

1

p RT
V+dV
V
A, p, 
p+dp
+d
p
dp VdV
M 2 dx

f

0
p
RT
2A d
Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
V
p, 
V+dV
p+dp
+d
T+dT M+dM
T0+dT0
dq

Equação da energia:

Definição de temperatura
de estagnação:
dq
dT0 
cp
VdV
dT0  dT 
cp
Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante

Equação da continuidade:
d


dA dV

0
A V

Equação de estado:
dp d dT


0
p

T

Eq. número de Mach:
dM da dV


0
M
a
V

Eq. da quant. movimento:
(desprezando o atrito)
dp VdV
M 2 dx

f

0
p
RT
2A d
Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante

6 incógnitas (dV, dp, dT, d, dM, dT0) e 6 equações
Solução:
dT dV
dq
2
0
T

V
1  M   c
p
Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal,
mantendo escoamento sónico à saída)
ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do
caudal, mantendo escoamento sónico à saída)
Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
M=0,3
T=250 K
m
 1436 kg m 2 s 1
A
saída
q

Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal
indicado (isto é, para Ms = 1)?
Vs2  Ve2
Q  c p Ts  Te  
2
Qmax
Ms 1
Vs  RTs
m
  sVs
A
Qual a equação
que falta?
ps   s RTs
Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
M=0,3
T=250 K
m
 1436 kg m 2 s 1
A
saída
q

Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal
indicado (isto é, para Ms = 1)?
Ve  M e RTe  95 m s
p s  pe 
e 
m A
 15 kg m3
Ve
m
Vs  Ve   pe   sVs2  eVe2 
A
RTs
pe  ReTe  1083628Pa

ps  pe  s RTs   eVe2
ps

Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
m
 1436 kg m 2 s 1
A
M=0,3
T=250 K

ps  pe  s RTs   V
2
e e
pe  eVe2
ps 
 507918Pa
1 

ps
m
ps   s RTs  RTs
AVs
s 
ps
 2,9 kg m 3
RTs
Vs 
M
m A
s
saída
s
1
 495 m s
Vs  RTs

ps 
m
A
RTs

Ts  610 K
Vs2  Ve2
q  c p Ts  Te  
 479,4 KJ Kg
2
Introdução ao escoamento incompressível

Bibliografia


Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta,
E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª
edição, Prentice Hall, 1999.
Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics,
3ª edição, McGraw-Hill, 1994.