Microprocessadores I - Professor Doutor Cesar da Costa

Sistemas de Controle III
N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa
11.a Aula: Controle por Realimentação de Estados
Controlabilidade
 O estado x(tf) de uma planta linear é dito controlável a
partir de um estado inical x(t0), se existe uma trajetória no
espaço de estados, que possa ser percorrida pelo sistema
de malha fechada, que conduza o sistema desde o estado
x(t0) até o estado x(tf) em um tempo finito tf-t0.
 Se todos os estados do sistema forem controláveis a
planta é dita completamente controlável.
Diagrama de blocos geral
 Realimentação do estado, através de ganhos K e por
conveniência um ganho Kp no ramo de malha aberta.
Modelo do Sistema de Malha Fechada
 Substituindo a realimentação na planta.
Modelo do Sistema Malha Fechada
 Definindo as novas matrizes
 Obtém-se o seguinte modelo de estado em malha fechada
Matriz de Controlabilidade
Teorema:
A planta de ordem n descrita pela equação de estado
É dita controlável por estado se e só se o determinante da
matriz de controlabilidade for nulo.
Alocação de Polos
 O problema da alocação de polos é determinar
inicialmente se o sistema é controlável e, se confirmado,
descobrir a partir das especificações qual a posição
desejada para os polos.
 Em seguida calcular o vetor de ganhos que permite que o
sistema de malha fechada apresente os polos na posição
desejada.
Característica do método
 O método na forma como foi apresentado tem as
seguintes características:
a) Posiciona os polos arbitrariamente se a planta for
controlável;
b) Não controla os zeros do numerador de malha fechada;
c) Não controla o erro estacionário.
Considerando apenas o vetor de realimentação K
Considere a representação de estados:
Onde a matriz A contem os autovalores e consequentemente
os polos do sistema.
Vamos assumir, que:
Se r = 0 temos um regulador:
Objetivo: Escolher K tal que AMF tenha as propriedades
desejadas.
Exemplo 1: Considere o seguinte sistema linear em espaco
de estados
Determinar a realimentação de estados tal que os polos
sejam posicionados em (- 5; - 6).
Solução:
1. Calculo do polinômio caracterstico
Note que o sistema e instavel.
Cujo polinômio caracterstico é dado por:
A posição desejada dos polos é - 5 e – 6.
Que resulta em:
Exemplo 2: Considere o seguinte sistema
Vericar se e possível alocar todos os autovalores da matriz A.
Cujo polinômio caracterstico é:
Repare que o polo (s - 2) não pode ser mudado. Por quê?
A resposta esta na Matriz de Controlabilidade.
O posto(Qc ) = 1 < 2.
Não Controlável.
Formula de Ackermann
Pode-se generalizar para qualquer modelo de estado,
atraves da fórmula de Ackermann. Dada uma equação
característica desejada
Encontra-se o vetor de estado como:
Onde Qc (matriz de contrabilidade) deve possuir inversa e
é a equação caracterstica.
Exemplo 1 (Anterior)
Logo:
Formula de Ackermann no MATLAB
Alocação de pólos
 Se a planta é controlável existe solução para a alocação de
polos. Para a lei de controle
Tem-se o novo modelo para a malha fechada Kp=1
Exercício
Para a planta cuja Função de Transferência é
Deseja-se que o sistema em malha fechada tenha pólos
utilizando a realimentação das variáveis de estado.
Determinar o vetor de ganhos respectivos.
Solução usando MATLAB:
Exercício (Lista)
Considere um sistema regulador. A planta é dada por
Onde:
O sistema usa o controle de realimentação de estado:
Deseja-se que o sistema em malha fechada tenha pólos
alocados em:
Determine a matriz K e faça o diagrama em bloco do
sistema.