Aula 7 - IC/UFF

Planos
Definição
Seja A(x0,y0,z0) є π e um vetor n=(a,b,c),
n ≠ 0 ortogonal ao plano
 O plano π é o conjunto de pontos P(x,y,z)
do espaço tais que AP é perpendicular a
n, isto é P є π  AP . n = 0

(x-x0,y-y0,z-z0).(a,b,c)=0 => a(x-x0) + b(yy0)+c (z-z0)=0=> ax +by+cz –ax0-by0cz0=0
 Fazendo –ax0-by0-cz0=d temos
ax +by+cz +d=0
 Esta é a equação Geral do plano

Exercício

Determine a equação geral do plano π1
paralelo ao plano π2: 2x-3y-z+5 e que tem
o ponto A(4,-1,2)
Exercício

Achar a equação do plano π perpendicular
à reta r:x=2y-3; z=-y+1 e contém o ponto
A(1,2,3)
Exercício

Achar a equação geral do plano π
mediador do segmento de extremos A(1,2,6) e B(3,0,0)
Exercício

Achar a equação geral do plano π que é
paralelo ao eixo dos y e que contém os
pontos A(2,1,0) e B(0,2,1)
Equações Paramétricas
Seja A(x0,y0,z0) um ponto de um plano π
e u =(a1,b1,c1) e v(a2,b2,c2) dois vetores
não colineares pertencentes a π
 Um ponto P(x,y,z) pertence ao plano π
que passa por A e é paralelo aos vetores u
e v se e somente se existem números
reais h e t tais que AP= hu+tv

Equações Paramétricas

(x-x0,y-y0,z-z0)=h(a1,b1,c1)+t(a2,b2,c2)
 x  x0  a1h  a 2t

 y  y 0  b1h  b2t
 z  z 0  c1h  c 2t

Exercício

Achar a equação geral do plano que
contém os pontos A(-1,2,0), B(2,-1,1), e
C(1,1,-1)
Exercício

Achar a equação geral do plano π1 que
contém os pontos A(1,-2,3) e B(-3,1,-2) e
é perpendicular ao plano π2 2x+y-z+8=0
Exercício

Determinar a equação geral do plano que
contém as retas r1:x=-3+t,y=-t,z=4 e
r2:(x+2)/2=(y-1)/-2;z=0
Exercício

Achar a equação geral do plano xOz
Ângulo entre dois planos
Sejam os planos π1 e π2
 π1: a1x+b1y+c1z+d1=0
 π2: a2x+b2y+c2z+d2=0
 Então n1=(a1,b1,c1) e n2=(a2,b2,c2) são
os vetores normais de π1 e π2
respectivamente

Definição
O ângulo teta entre π1 e π2 é o menor
ângulo formado pelos vetores n1 e n2
 Assim cos teta = |n1.n2|/(|n1||n2|) com
0<=teta<=π/2

Exercício

Determinar o ângulo entre os planos π1
3x+2y-6=0 e π2 o plano xOz
Ângulo de uma reta com um Plano

Seja r uma reta com vetor diretor v e π um
plano com vetor normal n
n
θ
Φ

Φ é o ângulo entre a reta r e o plano π

Φ=90º-θ, onde θ é o ângulo entre n e v

Como Φ+θ=π/2 segue que cosθ = sen Φ

Cos θ=sen Φ = |n.v|/(|n||v|)

0<= Φ <=90º
Observação

Se r//π então v é ortogonal a n

Se r é ortogonal a π então v//n
Exercício

Determinar o ângulo formado pela reta
r:y=-2x,z=2x+1 e o plano p:x-y+5=0
Exercício

Determinar as equações paramétricas da
reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é
paralela a cada um dos planos p1:2x-yz+1=0 e p2:x+3y+z-5=0
Condições para que uma reta
esteja contida em um plano
Uma reta está contida num plano se:
 1) r//p e um ponto A є r e também є p


2) se dois pontos A1, A2 є r também є p
Exercício

Calcular o valor de m e n para que a reta
r: y=2x-3,z=-x+4 esteja contida no plano p
nx+my-z-2=0
Interseção de 2 Planos
Considere planos não paralelos p1:3xy+z-3 e p2:x+3y+2z+4=0
 Se A(x,y,z) є p1 interseção p2 então A є
p1 e A є p2
 Isto significa que A satisfaz a equação dos
2 planos simultaneamente

A é solução do sistema
 3x-y+z-3=0
 X+3y+2z+4=0

A é solução do sistema
 3x-y+z-3=0->z=3-3x+y
 X+3y+2z+4=0

A é solução do sistema
 3x-y+z-3=0->z=3-3x+y
 X+3y+2z+4=0->x+3y+6-6x+2y+4=0
 =-5x+5y+10=0
 Escolhendo x como variável livre
 Y=x-2


Substituindo em z->z=-2x+1 logo
Y=x-2
 Z=-2x+1


São as equações reduzidas da reta
interseção dos planos p1 e p2
Exemplo

Determinar as equações paramétricas da
reta r interseção dos planos p1:2x+y-2=0
e p2:z=3
Interseção de reta com Plano
Quer-se encontrar o ponto de interseção
da reta r:x=2y-3=(2z-3)/3 e o plano p:2xy+3z-9=0
 X=2y-3-> y=(x+3)/2
 X=(2z-3)/3->z=(3x+3)/2
 Substituindo na equação do plano

2x-y+3z-9=0->2x-x/2-3/2+9x/2+9/2-9=0
 ->6x-6=0->x=1
 X=1->y=2,z=3
 Logo o ponto A(1,2,3) pertence à reta r e
ao Plano p

Exercício

Determine a interseção da reta r:x=t,y=12t,z=-t; e o plano p:2x+y-z-4=0
Exercício

Determinar os pontos de interseção da
reta r:y=2x-3,z=-x+2 com os planos
coordenados
Exercício

Seja a reta r:x=3+t,y=1-2t,z=-1+2t;

Quais as equações reduzidas da projeção
de r sobre o plano xOy?

Qual o ângulo que r forma com o plano
xOy?
Exercício

Estabelecer as equações da reta que
passa por A(3,6,4), intercepta o eixo z e
intercepta o plano p:x-3y+5z-6=0
Exercício

O plano p: x+y-z-2=0 intercepta os eixos
coordenados nos pontos A, B, C

Calcular a área do triângulo ABC
Fim