Divisibilidade por 3 - Departamento de Matemática

DIVISIBILIDADE
E NÚMEROS PRIMOS
Carlos Tenreiro
Departamento de Matemática
Universidade de Coimbra
5 de Março de 2005
Divisores / Múltiplos

Divisores de um número são os
números que dividem o número
exactamente com resto zero:
3 é divisor de 15
15 é divisível por 3
15 é múltiplo de 3
Divisibilidade por 2

Será que o número
5647837483784
é divisível por 2?
Claro que é. O número é par.
Divisibilidade por 5
e por 10

Será que o número
873654675
é divisível por 5? E o número
1234567890?
E por 10?
Ambos são divisíveis por 5, mas só o
último é divisível por 10.
Divisibilidade por 3

Será que o número
93
é divisível por 3?
Sim, porque: 9 3
03
0
3
31
resto zero
Divisibilidade por 3

Será que o número
123465714
é divisível por 3?
Um número é divisível por 3 se a soma
dos seus algarismos é divisível 3.
Divisibilidade por 3

O número
123465714
é divisível por 3, porque
1+2+3+4+6+5+7+1+4
é divisível por 3.
Divisibilidade por 3

E os números
6168900?
SIM
3331333?
NÃO
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se o número
formado pelos seus dois últimos
algarismos é divisível por 4

Serão divisíveis por 4 os números:
4312?
1635?
SIM
NÃO
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 se
é divisível por 2 e por 3.

Serão divisíveis por 6 os números:
4512?
1635?
SIM
NÃO
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma
dos seus algarismos é divisível 9.

Será que o número
123462
19
é divisível por 9?
NÃO
SIM
Divisibilidade por 7

Será que o número
16618
é divisível por 7?
1661
8
1661
2x8=16
1661 – 16 = 1645
?
Divisibilidade por 7
1645
164
5
164
2x5=10
164 – 10 = 154
?
Divisibilidade por 7
154
15
15
4
2x4=8
15 – 8 = 7
SIM
Divisibilidade por 7
Divisibilidade por 7
123123 = 123000+123
= 123 x 1000 + 123
= 123 x (1000 + 1)
= 123 x 1001
= 123 x 7 x 11 x 13
Euclides de Alexandria
• Mais importante
matemático da
antiguidade
• Escreveu
“Os Elementos”
• Ensinou e morreu
em Alexandria no
Egipto
(325 A.C. – 265 A.C.)
Os Elementos
Primeira página
de
“Os Elementos”
numa
tradução latina
publicada
em1482.
Número primo
O que diz Euclides:
Um número é primo se
só pode ser medido pela unidade
e por ele próprio
Caso contrário, o número é composto
Medir um número
O número 15 pode ser medido
pelo 5 mas não pelo 4:
15 =
5=
4=
Medir um número
O número 15 pode ser medido
pelo 5 e pelo 3 (além do 1 e do 15):
15 =
5=
3=
Medir um número
Euclides dizia:
3 e 5 medem 15
Nós dizemos:
3 e 5 dividem 15
Número primo
Um número é primo se
só tem dois divisores:
a unidade e ele próprio
Caso contrário, o número é composto
Primo
ou Indecomponível
•15 é composto. Pode-se decompor:
15 = 3 x 5
• 7 é primo. Não se pode decompor:
7=7
Alguns números primos
Alguns números primos
Mais números primos
Primos enormes
Com 50 algarismos:
Com 100 algarismos:
Com 200 algarismos:
Decomposição em
factores primos
60 = 6 x 10
= 2x3x2x5
= 2x2x3x5
60 = 2 x 2 x 3 x 5
Decomposição em
factores primos
60
30
15
5
1
2
2
3
5
60 = 2 x 2 x 3 x 5
Decomposição em
factores primos
720
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
2
3
3
5
720=2x2x2x2x3x3x5
Decomposição em
factores primos
720=2x2x2x2x3x3x5
Alguns divisores de 720:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10,…
Quantos são os divisores de 720?
BOM TRABALHO
DIVIRTAM-SE