GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Figuras Planas II © antónio de campos, 2010 GENERALIDADES Para os casos em que uma figura plana está contida num plano projectante não paralelo aos planos de projecção, é necessário a utilização de um método geométrico auxiliar para resolver situações como obter a V.G. da figura plana. Qualquer dos três métodos (mudança do diedro de projecção, rotação ou rebatimento) pode ser utilizado para resolver estas situações. O método de rebatimento é o mais fácil e simples para estas situações, seguido da mudança de diedro de projecção. Mudança do Diedro de Projecção de um Plano Vertical para um Polígono Pretende-se as projecções de um triângulo equilátero [ABC], situado no 1.º diedro, contido num plano vertical α, através da mudança de diedro de projecção. São dados dois pontos A (1; 1) e B (3; 2), vértices do polígono, sendo A0B0 = 3 cm, e estando A à esquerda de B. fα C2 B2 A2 x A0 A1 2 1 B0 C1 B1 hα Rebatimento de um Plano Vertical para um Polígono Pretende-se as projecções de um quadrado [ABCD], situado no 1.º diedro, contido num plano vertical α, através de rebatimento. O plano α faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. É dado um ponto A (2; 1), vértice do quadrado. O lado [AB] do quadrado mede 3 cm, e faz um ângulo de 20º com o Plano Horizontal de Projecção. O vértice B do quadrado tem cota e afastamento superiores a A. fα≡ e2 ≡ fαr C2 Cr D2 Dr V.G. Br B2 Ar A2 (e1) x ≡ hαr D1 A1 C1 B1 hα São dados dois pontos A (1; 3; 1) e B (-2; 1; 4). y≡ z fγ Os pontos A e B são vértices de um triângulo equilátero, contido num plano de topo γ e situado no 1.º diedro. Desenha as projecções do triângulo, recorrendo ao método da mudança do diedro de projecção. C2 B2 A2 x B1 A1 C1 hγ V.G. 2 1 É dado um quadrado [QRST], situado no 1.º diedro e contido num plano vertical δ. y≡ z fδ ≡ e2 ≡ fδr Os pontos Q (1; 1; 2) e S (-4; 3; 3) são dois vértices opostos do quadrado. Desenha as projecções do quadrado, recorrendo ao método de rebatimento. T2 Tr Sr S2 Q2 Qr Rr x ≡ hδr R2 (e1) Q1 T1 R1 S1 hδ É dado um ponto A (1; 2), vértice de um hexágono regular [ABCDEF], situado no 1.º diedro e contido num plano de topo θ, que faz um diedro de 40º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. O lado [AB] do hexágono mede 3 cm e faz um ângulo de 50º com o fθr, sendo que B tem cota inferior a A. Desenha as projecções do hexágono. fθ E2 F2 D2 A2 x ≡ fθr C2 B2 (e2) A1 Ar F1 B1 Fr Br E1 Er D1 C1 Cr hθ≡ e1 ≡ hθr Dr É dado um pentágono regular [RSTUV], situado no 1.º diedro e contido num plano de perfil π. O pentágono inscreve-se numa circunferência com 3 cm de raio, cujo centro é o ponto Q (5; 4). O lado de maior afastamento do pentágono é o lado [RS], que é vertical, sendo a cota de R superior à de S. Desenha as projecções do pentágono. fπ ≡ hπ≡ e2 ≡ fπr Vr V2 R2 Rr Ur Qr S2 Sr Tr x ≡ hπr Q2 ≡ U2 T2 (e1) U1 T1≡ V1 Q1 R1 ≡ S1 C Rebatimento de um Plano Vertical ou de Topo para um Círculo No caso de projecções de círculos e circunferências em planos verticais (ou de topo), nenhuma projecção será em V.G., resultando uma delas numa elipse. A B D Uma elipse implica certas características: eixo maior (segmento [AB]), eixo menor (segmento menor [CD]), ponto de concorrência entre os dois eixos e simultaneamente o ponto médio (ponto M). Para desenhar uma elipse à mão livre requer identificar pelo menos oito dos seus pontos, para além dos eixos maior e menor. O C A M D B Pretende-se as projecções de uma circunferência, com 3 cm de raio, contido num plano vertical α, e com o centro no ponto O (3; 5), via o processo de rebatimento. O plano α faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. fα ≡ e2 ≡ fαr Ar A2 Br Hr Gr B2 Cr Or O2 C2 Dr Fr H2 D2 Er G2 F2 E2 (e1) x ≡ hαr C1 B1 ≡ D1 O1 ≡ A1≡ E1 F 1 ≡ H1 G1 hα É dado um plano vertical λ que faz um diedro de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. Desenha as projecções de um círculo contido no plano λ, com 3 cm de raio e com o centro no ponto Q (3; 4), via o processo de rebatimento. fλ ≡ e2 ≡ fλr Ar A2 Hr H2 B2 Q2 C2 D2 (e1) G1 F 1 ≡ H1 Q1 ≡ A1 ≡ E1 hλ B1 ≡ D1 Cr Qr Dr Fr F2 x ≡ hλr C1 Gr G2 E2 Br Er É dado um plano de topo θ que faz um diedro de 60º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Desenha as projecções de um círculo contido no plano θ com 4 cm de raio e tangente aos dois planos de projecção, via o processo de rebatimento. fθ O2 (e2) x ≡ fθr Or O1 hθ≡ e1 ≡ hθr É dado um círculo com 3,5 cm de raio e contido num plano vertical γ, que faz um diedro de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. fγ ≡ e2 ≡ fγr A2 O2 B2 Ar D2 Dr Or O centro do círculo é o ponto O (3; 4), Desenha as projecções do círculo, via o processo de rebatimento. C2 x ≡ hγr D1 O1 ≡ A1 ≡ C1 B1 hγ (e1) Cr Br É dado um plano de topo θ que faz um diedro de 60º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Desenha as projecções de um círculo contido no plano θ com 3 cm de raio, sabendo que a figura é tangente ao Plano Frontal de Projecção e que o seu centro tem 4 cm de cota. fθ B2 O2 ≡ A2 ≡ C2 D2 x ≡ fθr B1 A1 (e2) O1 D1 Ar Dr C1 Or Cr hθ≡ e1 ≡ hθr Br