multiplicação - A Magia da Matemática

TÉCNICAS DE MULTIPLICAÇÃO DE
NÚMEROS NATURAIS DE DIVERSAS
CIVILIZAÇÕES




Egito
Índia
China
Rússia
Prática Pedagógica e Didática da Matemática – prof. Ilydio P. de Sá
Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)
INTRODUÇÃO
Nessa apresentação iremos mostrar algumas curiosas
técnicas para a multiplicação de dois números naturais,
colhidas ao longo da história da matemática.
Essas técnicas poderão ser muito interessantes para
uso em classe, como alternativas aos algoritmos
tradicionais para alunos que tenham alguma dificuldade
ou mesmo como motivação ou curiosidade para uma
aula de matemática.
Algumas vezes essas técnicas aparecem em livros ou
na internet. O que não tem sido comum é o estudo
detalhado da matemática envolvida nesses métodos,
justificando a que foi feito. Nesse nosso estudo,
procuraremos justificar cada um dos métodos
apresentados.
1) Multiplicação no Egito
Uma das fontes históricos mais antigos da matemática, o
papiro de Rhind (ou Ahmés), datado de cerca de 1650 a.C,
descreve, entre outras coisas, os métodos de multiplicação
e divisão dos egípcios, assim como muitas aplicações da
matemática a problemas práticos.
Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)
Os egípcios usavam uma técnica bem simples baseada na
duplicação de números naturais (achar o dobro). O método
funcionava da seguinte forma:
1) Escrevemos duas colunas de números sendo que a
primeira começa por 1 e a segunda por um dos fatores
da multiplicação desejada.
2) Vamos duplicando os números dessas duas colunas, até
que a soma dos números da coluna começada pelo 1 dê
um resultado maior ou igual ao outro fator.
3) Escolhemos, na coluna começada pelo 1, os valores que
somados dêem resultado igual ao outro fator.
4) Somamos os números da outra coluna, correspondentes
aos valores que foram escolhidos na etapa anterior.
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Vejamos dois exemplos:
1) 21 x 43
• Primeiro vamos começar as duas colunas. A primeira
com o número 1 e a segunda com um dos fatores. Vamos
escolher o menor (21).
1
21
• Agora vamos dobrar os valores dessas duas colunas, até
que a soma dos valores da primeira coluna seja igual ou
maior a 43.
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1
2
4
8
16
32
21
42
84
168
336
672
Logo, 21 x 43 =
Agora vamos escolher, na primeira coluna, os
valores que somados dão exatamente 43, que é
o outro fator dessa multiplicação.
32 + 8 + 2 + 1 = 43
Finalmente, basta somarmos os números da
outra coluna, correspondentes aos que foram
destacados anteriormente.
21
42
21 x 43 = 903
168
672 +
903
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1) 12 x 51
• Primeiro vamos começar as duas colunas. A primeira com o número
1 e a segunda com o fator 12.
1
12
• Agora vamos dobrar os valores dessas duas colunas, até que a
soma dos valores da primeira coluna seja igual ou maior a 51.
1
2
4
8
16
32
12
24
48
96
192
384
Agora vamos escolher, na primeira coluna, os
valores que somados dão exatamente 51.
32 + 16 + 2 + 1 = 51
Somarmos os números da outra coluna,
correspondentes aos que foram destacados
anteriormente.
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Logo, 12 x 51 =
12
24
12 x 51 = 612
192
384 +
612
A justificativa desse método é muito simples e está baseada em duas
propriedades: Na decomposição de um número natural em uma soma de
potências de base dois (propriedade do sistema binário) e na
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
No exemplo anterior, 12 x 51, o que fizemos foi descobrir quais as
potências de 2 que somadas geravam o número 51. No caso, obtivemos
os números 32, 16, 2 e 1.
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No passo seguinte, o que fizemos foi substituir o número 51 por essa
soma de potências de 2, ou seja, a multiplicação foi transformada em:
12 x 51 = 12 x (32 + 16 + 2 + 1)
Aplicando agora a propriedade distributiva da multiplicação, em relação
à adição, teremos:
12 x 51 = 12 x 32 + 12 x 16 + 12 x 2 + 12 x 1 = 384 + 192 + 24 + 12, que
são exatamente os números selecionados na segunda coluna do
método.
Assim, dessa forma bastante criativa e interessante, os antigos Egípcios
transformavam uma multiplicação de números naturais em cálculo de
dobros (que é simples mentalmente) e em adições.
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2) A multiplicação na Índia
Historicamente se considera indiscutível a
procedência hindu para o sistema de numeração
decimal e alguns algoritmos para operações.
Genericamente, em contraste com o severo
racionalismo grego, a matemática hindu era
considerada intuitiva e prática.
Os matemáticos hindus eram interessados em
questões numéricas relacionadas a equações
determinadas e indeterminadas.
Os matemáticos hindus desenvolveram um método
de multiplicação através de tábuas quadriculadas.
Mais tarde os árabes o levaram para a Europa e
ficou conhecido como Método da Gelosia.
Exemplo 1:
Multiplicar 6 538 por 547
Inicialmente eles construíam uma tabela com 4
colunas e 3 linhas, por conta da quantidade de
algarismos dos números envolvidos na
operação.
Vejamos como ficava essa tabela.
6 538 x 547
6
5
3
8
5
4
7
Traçamos as diagonais desses quadradinhos,
como mostramos abaixo:
6
5
3
8
5
4
7
Dentro de cada quadradinho colocamos os resultados das
multiplicações dos algarismos correspondentes da coluna e da linha.
Se o resultado for de apenas um dígito deve ser escrito precedido de
zero.
6
5
3
3
2
0
2
1
5
4
5
3
2
5
4
5
2
5
0
2
0
3
2
4
1
2
4
8
1
6
7
Em seguida somamos os algarismos que estão nas mesmas diagonais.
Usamos a mesma técnica do “vai um “ que usamos no algoritmo
tradicional. Vejamos:
6
5
3
1
3
3
2
5
2
2
5
4
5
2
2
0
3
0
3
6
5
1
4
7
4
5
2
4
1
1
0
5
1
2
2
8
6
1
8
6
7
Podemos então concluir que o resultado da multiplicação proposta é:
6 538 x 547 = 3 576 286
Mas por que será que funciona?
Antes de tentarmos justificar o método,
vamos fazer um outro exemplo:
Multiplicar 537 por 24
Vamos construir a tabela correspondente
(Método da Gelosia).
5
3
7
2
4
5
3
1
7
0
0
2
1
2
1
0
4
6
2
8
2
4
5
1
2
3
1
7
0
1
0
2
2
1
0
8
4
6
2
8
8
8
2
4
5
1
2
3
1
7
0
1
0
2
2
1
0
8
4
6
2
8
Logo, 537 x 24 = 12 888
8
8
2
4
Para justificarmos o método, devemos lembrar que, na
multiplicação 537 x 24, temos na realidade (500 + 30 + 7) x
(20 + 4). Se aplicarmos a propriedade distributiva, teremos:
500 x 20
=
10 0 0 0
30 x 20 =
7 x 20 =
500 x 4 =
30 x 4 =
7x4 =
600
140
2000
120
28
1 2 888
Verifique que as somas que obtivemos em cada coluna são exatamente
iguais às somas das diagonais do método da Gelosia. Isso nos mostra
que os antigos hindus já conheciam o valor posicional dos algarismos
no sistema de numeração decimal.
3) Multiplicação Chinesa
Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)
Os chineses usavam um método prático com
varetas de bambu. De uma certa forma é
uma variante do método da Gelosia dos
Hindus.
As varetas ficavam dispostas na horizontal e na
vertical, representando o multiplicador e o
multiplicando. Os pontos de interseção das
varetas são contados e representam as
multiplicações que achamos na Gelosia.
Exemplo:
Multiplicar 342 por 25
3
4
2
2
5
3
4
2
2
6
5
23
24
10
3
4
2
2
6
5
23
8
24
5
10
5
0
8 550
Logo:
342 x 25 = 8 550
Vejamos um outro exemplo: 42 x 24 = 1008
4
2
2
4
8
20
10
8
0
8
4) O Método dos Camponeses Russos
Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)
Certa vez, li num artigo da Internet, que um professor havia
encontrado um aluno que só sabia multiplicar e dividir por 2 e que,
mesmo assim, conseguia resolver (e até com certa rapidez) todas as
multiplicações envolvendo dois números naturais, até mesmo com
números bem grandes.
No artigo mostrava que ele procedia da seguinte maneira. Por
exemplo, se ele queria multiplicar 85 por 42, ele fazia da seguinte
maneira:
1.
Montava uma tabela, com duas colunas, iniciando uma delas pelo
85 e a outra pelo 42.
2. Enquanto ia dividindo os números da coluna da esquerda por
dois, abandonando os “quebrados”, se fosse o caso, ia
multiplicando os números da coluna da direita por 2.
3. Em seguida, abandonava todas as linhas da tabela, cujos
números da esquerda eram PARES.
4. Finalmente, somava todos os números da segunda coluna que
haviam sobrado. Era o resultado da multiplicação.
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Veja como ele fazia:
85
42
42
84
21
168
10
336
5
672
2
1344
1
2688
“ABANDONA”
85
42
21
168
5
672
1
2688
Então, para obter o resultado de 85 x 42 ele agora somava 42 +
168 + 672 + 2688 = 3570 (verifique !). Faça outros exemplos e
veja que SEMPRE vai dar certo.
Verifiquei, através de pesquisas, que o processo usado por esse aluno, tratavase de uma técnica usada pelos antigos camponeses Russos. Um método muito
eficiente e que facilita bastante o cálculo mental, já que só lida com dobros,
metades e somas. Mas qual será a justificativa desse método???
Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)
Vamos supor que você tenha 8 notas de 5 reais...
É fácil perceber que teríamos a mesma quantia com
metade das notas, mas do dobro do valor, ou seja:
8 x 5 reais ou
4 x 10 reais
Ou ainda 2 notas de 20 reais.
Portanto...
:2
:2
8x5
4 x 10
2 x 20
Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)
x2
x2
Então, se desejarmos multiplicar 32 x 17, poderemos
imaginar que são 32 grupos de 17 objetos cada um.
GRUPOS
32
16
OBJETOS
17
34
8
4
68
136
2
272
1
544
Então 32 x 17 = 544
Nesse caso foi bem fácil, pois 32 é uma potência de 2 e, dessa
forma, será sempre possível as sucessivas divisões por 2.
Vejamos então um caso em que isso não acontece...
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Vejamos então o produto de 42 por 17. Vamos imaginar 42
grupos, de 17 objetos cada um.
Como 21 não é divisível por 2,
vamos considerar 20 grupos de
34 objetos e guardar 1 grupo de
34 objetos
Novamente, como 5 não é
divisível por 2, consideramos 4
grupos de 136 objetos e
guardamos 1 grupo de 136
objetos.
GRUPOS
42
OBJETOS
17
21
10
34
68
5
2
136
272
1
544
Logo, o resultado de 42 x 17 será igual a 544 mais os dois
grupos que havíamos guardado antes, ou seja, 544 + 34 +
136, o que é igual a 714. (confira!)
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Vamos fazer mais um exemplo e resumir a regra da
multiplicação russa. Vamos multiplicar 71 por 43.
71
43
35
86
17
8
172
344
4
2
1
688
1376
2752
1) Vamos dividindo por dois os números da
esquerda. Quando a divisão não for exata,
consideramos apenas a parte inteira. Pararemos
sempre no número 1.
2) Ao mesmo tempo, vamos multiplicando por
2 os números da direita.
3) Somamos todos os números da direita, que
tenham à esquerda um número ímpar. Vamos
completar agora o exemplo, seguindo a regra.
Logo, 71 x 43 = 43 + 86 + 172 + 2752 = 3053
Os livros de História da Matemática contam que tal método
já era usado no antigo Egito.
Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)
Métodos como esse, da multiplicação feita pelos camponeses
Russos, assim como as demais técnicas que mostramos, é que
mostram toda a riqueza de uma atual tendência da Educação
Matemática – a Etnomatemática.
A Etnomatemática, que procura valorizar o conhecimento
matemático existente em distintos grupos sociais e etnias, tem
como um de seus maiores estudiosos o emérito professor
brasileiro Dr. Ubiratan D’Ambrósio
Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)
Temas interessantes para a sala de aula, com todas as
justificativas matemáticas, você vai encontrar no nosso livro: “ A
Magia da Matemática”, da Editora Ciência Moderna.
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Prof. Ilydio P. de Sá (UERJ / USS)