No Mundo da “MatemáGica” - Apresentação

No Mundo da “MatemáGica”
“É natural que nossos alunos sintam mais prazer quando
estão envolvidos em atividades desafiadoras e que
permitam a descoberta. É o que chamamos de heurística.
Para isso precisam de estímulo, de motivação, de
provocação.”
Prof. Ilydio Pereira de Sá (UERJ – USS – Pedro II)
Atividades Investigativas com
Números, Operações e Geometria

Vamos apresentar aqui algumas atividades, jogos,
truques, quebra-cabeças ou desafios envolvendo
números e suas operações, álgebra elementar e
geometria. O importante é que tais atividades sejam
trabalhadas e investigadas, resistindo à tentação inicial
de buscar “regras decoradas” e sem significado.

A tentativa e o erro são muito importantes no processo
de aprendizagem. Numa atividade de investigação
matemática o resultado é importante, mas, muito mais
importante que a resposta é o caminho percorrido para
encontrá-la.
Atividade 1: “A Carta Sorteada”
Uma atividade interessante para alunos do Ensino Fundamental, como
aplicação de operações numéricas e com expressões algébricas.
Distribua uma carta de baralho para cada aluno da turma, escreva no
quadro a seguinte convenção numérica:
2
3
...
10
Valete
Dama
Rei
Ás
Valor
da
carta
2
3
...
10
11
12
13
14
Valor
do
naipe
Paus
() = 1
Espadas
() = 2
Ouros
() = 3
Copas
() = 4
Em seguida, peça que os alunos efetuem as operações, geradas pela
seguinte seqüência de instruções:
•
•
•
•
multiplicar por 2 o valor da carta;
somar 4 ao resultado obtido;
multiplicar a soma obtida por 5;
somar o valor do naipe da carta.
Para descobrir a carta de cada aluno você terá apenas que subtrair 20 do
resultado que ele obteve, em seguida separe com um ponto o algarismo
final (o das unidades). Esse algarismo indicará o naipe da carta e o
número formado pelos dois primeiros algarismos, indicará a carta do
aluno.
Por exemplo, se um aluno receber o rei de ouros, o naipe será 3 e a
carta será 13. Se ele seguir a seqüência das operações, encontrará:
1.
2.
3.
4.
13 x 2 = 26
26 + 4 = 30
30 x 5 = 150
150 + 3 =
153
Subtraindo 20 desse resultado, teremos: 153 – 20 = 133. Separando o
algarismo das unidades, temos: 13.3. O três indica que a carta é de
ouros e o 13 indica que é um rei.
Como se justifica isso?
Atividade 2: Os números telefônicos
Vamos apresentar uma dessas brincadeiras que circulam pela
Internet. Trata-se de uma seqüência de cálculos envolvendo os
números telefônicos das pessoas. Recebi essa mensagem, por e-mail
e, no final da mesma, vinha escrito...”a matemática tem coisas que
nem Pitágoras explicaria”. Será?
1- Digite os 4 primeiros algarismos do número de seu telefone.
2- Multiplique esse número de 4 algarismos por 80.
3- Some 1 ao produto obtido.
4- Multiplique por 250 o resultado encontrado anteriormente.
5- Some a esse resultado o número formado agora pelos 4 últimos
algarismos desse telefone.
6- Some novamente ao resultado obtido anteriormente, o mesmo
número formado pelos 4 últimos algarismos do mesmo telefone.
7- Diminua 250 do resultado anterior. Divida por 2 esse último
resultado. O que ocorreu? Como se justifica isso?
JUSTIFICATIVA
Vamos supor que o número telefônico da pessoa seja indicado por:
a b c d e f g h. Para facilitar o entendimento, vamos dividir esse número
em duas partes, de 4 algarismos cada uma: A = a b c d e B = e f g h.
Vamos seguir a seqüência das operações e ver ao que chegamos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
A
80 . A
(80 . A + 1)
(80 . A + 1) . 250 = (20 000 . A + 250) – propriedade distributiva.
(20 000 . A + 250) + B
(20 000 . A + 250) + B + B = 20 000 . A + 2 B + 250 – redução de
termos semelhantes.
7. 20 000 . A + 2 B + 250 – 250 = (20 000 . A + 2 B)
8. (20 000 . A + 2 B) : 2 = 10 000 . A + B – propriedade distributiva.
Verifique que, como A é um número natural de 4 algarismos, 10 000.A será
um número natural, de 8 algarismos, cujos 4 últimos (da direita) são todos
iguais a zero. Quando somarmos 10 000.A + B, passaremos a ter um
número de 8 algarismos sendo que os 4 primeiros coincidem com o
número A e os 4 últimos com o número B, ou seja, o resultado final da
seqüência de operações será sempre o próprio número telefônico da
pessoa.
Atividade 3: Adivinhando as datas
Tome qualquer calendário. Peça para um amigo ou
aluno para escolher 4 dias que formam um quadrado
como os quatro pintados abaixo. A pessoa deve somálos e lhe informar o resultado que obteve com essa
soma. Assim que ele lhe disser o resultado, você
poderá descobrir quais são os quatro dias que ele
escolheu.
JANEIRO 2006
D
S
T
Q
Q
S
S
1
2
3
4
5
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8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
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20
21
22 23 24
25
26
27
28
29 30 31
Suponha que a pessoa tivesse escolhido
os 4 números acima assinalados. A soma
deles será 104, verifique que sempre vai
dar um múltiplo de 4....e....se você dividir
a soma que ela obteve por 4 e , em
seguida subtrair 4 do quociente obtido,
encontrará sempre o primeiro número
escolhido, verifique. Para obter os
demais, basta somar 1, 7 e 8 ao primeiro.
Por que tal fato sempre ocorre?
Atividade 4: Procurando o centro
Um carpinteiro cortou cuidadosamente 4 discos de madeira que
pretendia utilizar como rodas de um carrinho de brinquedo. Ele
precisava determinar, com exatidão, o centro de cada disco, para
poder fazer um buraco por onde passasse o eixo.
Acontece que os únicos instrumentos que tinha à mão eram um
esquadro não graduado e um lápis. Como ele poderia proceder
para encontrar os centros de cada roda? Vamos ajudá-lo com
nossos conhecimentos de Geometria?
Solução
Coloca-se o vértice do esquadro num ponto qualquer da borda da roda e,
com o lápis, marcam-se as interseções dos lados do esquadro com a
borda da roda. Estes pontos definem as extremidades de um diâmetro do
disco (lembre-se que o ângulo inscrito de 90º subentende um arco de
180º). Dessa forma, com o próprio esquadro, pode-se traçar esse
diâmetro. Em seguida, girando o esquadro para outra posição, traçamos
um outro diâmetro, procedendo da mesma forma. O ponto de interseção
desses dois diâmetros será o centro procurado.
Atividade 5: Investigando quadrados perfeitos
Sobre o tema raiz quadrada, existem ricas atividades investigativas que
podem gerar procedimentos interessantes para esse cálculo, ao mesmo
tempo que permitem também relembrar importantes propriedades dos
números naturais. Vamos aqui exibir duas dessas atividades, que
permitem saber se o número natural dado é um quadrado perfeito e, ao
mesmo tempo, determinar a sua raiz quadrada.
As duas técnicas que mostraremos, por sua simplicidade, poderão ser
trabalhadas nas classes do Ensino Fundamental, associadas a outros
temas tradicionais, como divisores de um número natural, por exemplo.
A) Subtraindo números ímpares
Uma forma de verificarmos se um número é quadrado perfeito é
subtraindo-o, sucessivamente da seqüência dos números ímpares. Se
chegarmos ao resultado zero, o número em questão é quadrado
perfeito e o número de subtrações feitas é exatamente o valor da raiz
quadrada desse número.
Vejamos alguns exemplos:
16
16 – 1 = 15
15 – 3 = 12
12 – 5 = 7
7–7= 0
Logo, o número 16 é um quadrado perfeito e a raiz
quadrada de 16 é exatamente 4 (o número de
subtrações que fizemos).
36
36 – 1 = 35
35 – 3 = 32
32 – 5 = 27
27 – 7 = 20
20 – 9 = 11
11 – 11 = 0
Logo, o número 36 é um quadrado perfeito e a raiz
quadrada de 36 é exatamente 6 (o número de
subtrações que fizemos).
24
24 – 1 = 23
23 – 3 = 20
20 – 5 = 15
15 – 7 = 8
8–9≠0
Logo, o número 24 NÃO é um quadrado perfeito. Como
se justifica o processo?
B) Através dos divisores naturais do número investigado
“Todo quadrado perfeito tem uma quantidade ímpar de divisores
naturais. Ordenando tais divisores de forma crescente, o valor da raiz
quadrada do número investigado é exatamente o número que se
encontra no centro dessa seqüência.”
Vejamos alguns exemplos:
49
Os divisores naturais de 49 são: 1, 7, 49. Como são 3 divisores (uma
quantidade ímpar), o número 49 é quadrado perfeito. O termo que
está no centro da seqüência ordenada dos divisores é o 7, logo, a
raiz quadrada de 49 é igual a 7.
64
Os divisores naturais de 64 são: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Como são 7
divisores (uma quantidade ímpar), o número 64 é quadrado
perfeito. O termo que está no centro da seqüência ordenada dos
divisores é o 8, logo, a raiz quadrada de 64 é igual a 8. Como se
justifica o processo?
Atividade 6: Teste “Maluco”
Uma outra atividade numérica interessante e que também já tem
circulado muito na internet. O interessante sobre ela é a sua
justificativa e o seu uso nas classes do Ensino Fundamental, como
incentivo para uma aula sobre critérios de divisibilidade.
1) Pense num número natural, de 1 a 9.
2) Multiplique esse número por 9.
3) Some os dois algarismos do número obtido.
4) Some 7 ao resultado da soma anterior.
5) Divida por 4 o resultado dessa nova soma.
6) Imaginando, sequencialmente, cada letra do nosso alfabeto
associada a um número natural (A = 1; B = 2; C = 3; D = 4; E = 5;
...), transforme o resultado anterior na letra correspondente.
7) Escreva agora o nome de um País da Europa iniciado pela letra
encontrada... Para ajudar, veja a seguir uma tabela com os países
da Europa.
PAÍSES DA EUROPA
Albânia
Chipre
Grécia
Malta
Romênia
Andorra
Croácia
Hungria
Moldávia
Rússia
Armênia
Dinamarca
Irlanda
Montenegro
San Marino
Áustria
Eslováquia
Islândia
Mônaco
Sérvia
Azerbaijão
Eslovênia
Itália
Noruega
Suíça
Bélgica
Estónia
Letônia
Países Baixos
Turquia
Bielorrússia
Espanha
Liechtenstein Polônia
Ucrânia
Bulgária
Finlândia
Lituânia
Portugal
Vaticano
BosniaFrança
Herzegovina
Luxemburgo
Reino Unido
Cazaquistão
Macedônia
República Checa
Geórgia
8) Procure agora a quinta letra do nome desse País.
9) Escolha agora, dentre os animais que não voem, o nome de um
deles, que comece pela letra encontrada na fase anterior. Abaixo
uma “ajudinha”
Pronto....Terminou a brincadeira. Deixe apenas anotado o nome do
País e do animal... agora, só uma observação final.
QUEM DISSE QUE NA DINAMARCA EXISTEM MACACOS?
Atividade 7: Leitor de “Mentes”
A matemática tem coisas tão interessantes que até
parece mágica. É claro que o mais importante é a
justificativa matemática desses desafios.
Veja um exemplo a seguir...
Pense num número de dois dígitos (exemplo: 54)
•Subtraia, desse número, seus dois dígitos (ex: 54 - 5 - 4 = 45)
•Olhe na tabela seguinte o símbolo correspondente ao seu resultado.
•Concentre-se na figura que está à direita do resultado que você obteve.
• Vou ler a sua mente e descobrir a imagem que você está olhando.
• Vamos lá...pense num número e faça como instruímos...
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Já li a sua mente e vou mostrar a
figura que você olhou...
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Alguém quer tentar de novo?
Só para lembrar, tem que pensar num número de dois algarismos
e subtrair deste o valor de cada um de seus algarismos...
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Olhe bem a figura à direita do resultado, que vou ler a sua mente.
Você olhou a seguinte imagem...
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Outra pessoa quer tentar?
Já fez os cálculos?
Então procure a figura ao lado do resultado que você obteve...
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Já vou mostrar a imagem que você viu... Espere!
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Alguém mais quer tentar???
Tome cuidado para não errar as contas...
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Vou mostrar agora a imagem que você olhou ...
M
Coisas dessa maravilhosa ciência que é a Matemática...
Você quer ver a explicação matemática desse jogo?
JUSTIFICATIVA...
Só precisamos de traduzir para linguagem matemática todos os
passos que fizemos ao longo do desafio.
Seja DU o número em que pensamos, em que D é o algarismo
das dezenas e U o algarismo das unidades. Você sabe bem que
o algarismo D tem o seu valor multiplicado por 10, logo, a
operação que fizemos DU – D – U significa Dx10 + U – D – U, ou
seja, 10D – D + U – U ou ainda 9D.
Note que o resultado será sempre um múltiplo de 9,
independentemente do número escolhido a princípio.
O que fizemos foi sempre colocar a mesma imagem, em cada
tabela, ao lado dos múltiplos de 9. Dessa forma, não há como
errar, concorda comigo?
Prof. Ilydio Pereira de Sá – UERJ – USS – Col. Pedro II
Atividade 8: Os Cinco “Dois”
Segue agora um desafio bastante interessante,
envolvendo apenas o algarismo 2 e as quatro
operações fundamentais da Matemática (Adição,
Subtração, Multiplicação e Divisão).
Tente escrever todos os números naturais, de 0 a 10, usando sempre
“cinco“ algarismos dois e as operações fundamentais da
matemática.
Por exemplo, o zero pode ser obtido da seguinte maneira:
2 2
02- 2 2
Você consegue fazer isso com os demais números naturais, de 1 até
10?
Solução
1 =2+2–2–2/2
2 =2+2+2–2–2
3 =2+2–2+2/2
6 =2+2+2+2–2
7 = 22 / 2 – 2 – 2
8 =2x2x2+2–2
4 =2x2x2–2–2
9 =2x2x2+2/2
5 =2+2+2–2/2
10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2
Atividade 9: Quebra-cabeça com Pitágoras
Atualmente existem, catalogadas, cerca de 400 demonstrações do
Teorema de Pitágoras. Várias dessas demonstrações podem ser
iniciadas com quebra-cabeças interessantes, como o que vamos propor.
Trata-se de uma simples e criativa solução de Henry Perigal, publicada
em 1873, em Londres.
A partir de um triângulo retângulo qualquer, construímos 3 quadrados.
Um sobre a hipotenusa e os outros dois sobre os catetos. Traçamos, em
seguida, dois segmentos de reta no quadrado construído sobre o maior
cateto, passando pelo seu centro, sendo um dos segmentos paralelo e o
outro perpendicular à hipotenusa do triângulo retângulo.
A proposta do quebra-cabeça é recortar as 4 partes obtidas sobre o
quadrado do meio e o quadrado menor e, com as 5 peças obtidas, tentar
recobrir o quadrado maior (que foi feito sobre a hipotenusa).
Que conclusões os alunos poderiam tirar após tal atividade introdutória?
Solução
Atividade 10: Aplicações da
Aritmética Modular
Uma das ferramentas mais importantes na teoria dos números é a
aritmética modular, que envolve o conceito de congruência. Uma
congruência é a relação entre dois números que, divididos por um terceiro
- chamado módulo de congruência - deixam o mesmo resto. Por exemplo, o
número 9 é congruente ao número 2, módulo 7, pois ambos deixam resto 2,
ao serem divididos por 7. Representamos essa congruência do exemplo
por 9  2, mod. 7. Vamos aqui apresentar algumas dessas aplicações.
Em qualquer texto, um erro de ortografia numa palavra pode ser facilmente
percebido, pois ou a palavra não faz parte do idioma ou não faz sentido
com o contexto. Por exemplo, se digitamos engenheior, logo percebemos
que fizemos uma inversão das duas últimas letras. Mas, quando isso
ocorre com os algarismos de um número, de um código de identificação
qualquer, não teríamos como perceber a troca num simples olhar. Para isso
e também para minimizar fraudes, foram criados os chamados dígitos de
controle ou verificação. Tais dígitos são normalmente baseados na noção
de congruência que comentamos anteriormente.
1) DÍGITOS DE CONTROLE DO NÚMERO DO CPF
O número de CPF de uma pessoa, no Brasil, é constituído de 11 dígitos,
sendo um primeiro bloco com 9 algarismos e um segundo, com mais
dois algarismos, que são dígitos de controle ou de verificação . A
determinação desses dois dígitos de controle é feita através da
congruência aritmética, módulo 11.
No caso do CPF, o décimo dígito (que é o primeiro dígito verificador)
é o resultado de uma congruência, módulo 11 de um número obtido por
uma operação dos primeiros nove algarismos.
Se a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 é a seqüência formada pelos 9 primeiros
dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, que vamos representar
por a10 deve ser tal que ao ser subtraído da soma obtida, deve gerar um
múltiplo de 10, isto é, se a soma obtida é S, o número S - a10 deve ser múltiplo
de 11, ou seja, S - a10  0 mod 11. Note que tal número será o próprio resto da
divisão por 11 da soma obtida.
A determinação do segundo dígito de controle é feita de modo similar, sendo que
agora acrescentamos o décimo dígito (que já foi calculado anteriormente) e usamos
uma base de multiplicação de 0 a 9.
Vejamos um exemplo: Se o CPF de uma pessoa tem os seguintes 9 primeiros
dígitos: 235 343 104, quais serão os seus dois dígitos de controle?
a) Cálculo do primeiro dígito de controle:
2
1
3
2
5
3
3
4
4
5
3
6
1
7
0
8
4
9
Efetuando as multiplicações correspondentes, teremos:
2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + 3 x 6 + 1 x 7 + 0 x 8 + 4 x 9 = 116.
Dividindo o número 116 por 11, teremos:
116
11
6
10
Dessa forma, o primeiro dígito de controle será o algarismo 6.
Agora, para determinarmos o segundo dígito de controle, acrescentamos o
décimo número, que acabamos de calcular e usamos a base de multiplicação
indo de 0 a 9.
2
0
3
1
5
2
3
3
4
4
3
5
1
6
0
7
4
8
6
9
Efetuando as multiplicações, teremos:
2 x 0 + 3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 3 x 5 + 1 x 6 + 0 x 7 + 4 x 8 + 6 x 9 = 145
Dividindo o número 145 por 11, teremos:
145
2
11
13
Logo, o segundo dígito de controle é o 2.
Concluímos então que, no nosso exemplo, o
CPF completo seria: 235 343 104 62
Observações:
• Se o resto da divisão fosse 10, ou seja, se o número obtido fosse congruente ao
10, módulo 11, usaríamos, nesse caso, o dígito zero.
Temos ainda a informação de que o nono dígito (da esquerda para a direita)
representa a região fiscal onde o CPF foi emitido. Verifique esse código na lista
abaixo:
1 (DF-GO-MS-MT-TO), 2 (AC-AM-AP-PA-RO-RR), 3 (CE-MA-PI),
4 (AL-PB-PE-RN), 5 (BA-SE), 6 (MG), 7 (ES-RJ), 8 (SP),
9 (PR-SC) e 0 (RS).
2) CÓDIGO DE BARRAS EAN-13
Um dos códigos de barras mais usados no mundo todo é o EAN-13, usado para a
identificação da maioria dos artigos que normalmente compramos. É constituído
de 13 algarismos, sendo que o último é o dígito de controle. Nesse caso é usado
a congruência módulo 10 e os fatores que constituem a base de multiplicação são
os dígitos 1 e 3, que vão se repetindo da esquerda para a direita, correspondendo
a cada um dos 12 primeiros números do código.
Se a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 é a seqüência formada pelos 12 primeiros
dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1,
3, 1, 3} e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, que vamos
representar por a13 deve ser tal que ao ser somado com soma obtida, deve gerar
um múltiplo de 10, isto é, se a soma obtida é S, o número S + a13 deve ser
múltiplo de 10, ou seja, S + a13  0 mod 10.
Vejamos um exemplo:
Numa embalagem de uma garrafa para bebidas, de Portugal, temos o seguinte
código de barras:
Vamos efetuar os cálculos para a determinação do dígito de controle (que estamos
vendo ser o dígito 7).
8
1
4
3
2
1
4
3
9
1
0
3
6
1
2
3
0
1
1
3
7
1
6
3
Efetuando os produtos, teremos:
8 + 12 + 2 + 12 + 9 + 0 + 6 + 6 + 0 + 3 + 7 + 18 = 83
83
3
10
8
Logo, o dígito de controle será igual a 7 (10 – 3). Note que
83 + 7 = 90 (múltiplo de 10)
OBSERVAÇÃO: No código de barras com 13 algarismos, os três primeiros
dígitos do código representam o país de registro do produto (verifique que para
produtos filiados no Brasil teremos sempre os dígitos 7, 8 e 9); os quatro dígitos
seguintes identificam o fabricante; os próximos cinco dígitos identificam o
produto e o último, como já sabemos, é o dígito verificador ou de controle.
Essa é para você resolver. Descubra o valor do dígito de controle
do código de barras abaixo:
Fácil, não?
?
?
Vamos escrever a seqüência dos 12 primeiros dígitos, repetindo
abaixo deles, da esquerda para a direita, a seqüência 1, 3, 1, 3, 1,
3, .....
7 8 9 4 3 2 1 6 1 4 0 3
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
Vejamos agora a soma dos produtos encontrados:
S = 7 + 24 + 9 + 12 + 3 + 6 + 1 + 18 + 1 + 12 + 0 + 9 = 102
Como o resultado da divisão de 102 por 10, deixa resto 2, o dígito
que estamos procurando será igual a 8 (10 – 2). Logo, o dígito
verificador desse código de barras EAN-13 é 8.
Atividade 11: Descobrindo o número
pensado
Existem diversas adivinhações sobre a descoberta de
um número que foi pensado pelo aluno ou por uma
pessoa qualquer. Vamos mostrar aqui uma delas, que
pode ser modelo para a criação de várias outras
similares.
Convide a pessoa (ou seu aluno) a pensar em um número qualquer.
Esse número deverá ser usado em uma seqüência de operações,
mostradas a seguir:
1) multiplicar o número pensado por 5;
2) somar 8 ao resultado;
3) multiplicar por 4;
4) somar 6;
5) multiplicar por 5
Se a pessoa disser que o resultado final foi 790, você prontamente
dirá que ele pensou no número 6. Se ele disser que o resultado final
foi 1390, você dirá, imediatamente, que ele pensou no número 12.
Por que será? Tente descobrir como funciona esse “truque”.
Atividade 12: Que Buraco é esse?
Verifique que os dois triângulos retângulos da figura abaixo são
congruentes (ambos têm catetos medindo 5 e 13 unidades). Como se
explica o fato do segundo deles ter um “quadradinho” a mais em sua
área?
Solução
Verifique que as hipotenusas dos triângulos verde e vermelho, na figura
dada, não estão alinhadas, pois os menores ângulos agudos desses
triângulos não são iguais. Logo, a figura toda, composta das 4 partes
coloridas, não é um triângulo. Ilusoriamente pensamos que a linha que
une os pontos A e B é um segmento de reta. Na realidade são dois
segmentos de reta não alinhados, de modo que quando as quatro peças
são “reagrupadas” há uma sobra correspondente a essa diferença
formada.
B
β
A
α
3
tg    0,375
8
tg  
2
 0,400
5
Note que os ângulos α e β não são iguais, já que têm tangentes
diferentes.
Atividade 13: O homem que só sabia multiplicar
ou dividir por dois
Certa vez, li num artigo da Internet, que um professor havia encontrado
um aluno que só sabia multiplicar e dividir por 2 e que, mesmo assim,
conseguia resolver (e até com certa rapidez) todas as multiplicações
envolvendo dois números naturais, até mesmo com números bem
grandes.
No artigo mostrava que ele procedia da seguinte maneira. Por exemplo,
se ele queria multiplicar 85 por 42, ele fazia da seguinte maneira:
1. Montava uma tabela, com duas colunas, iniciando uma delas pelo
85 e a outra pelo 42.
2. Enquanto ia dividindo os números da coluna da esquerda por dois,
abandonando os “quebrados”, se fosse o caso, ia multiplicando os
números da coluna da direita por 2.
3. Em seguida, abandonava todas as linhas da tabela, cujos números
da esquerda eram PARES.
4. Finalmente, somava todos os números da segunda coluna que
haviam sobrado. Era o resultado da multiplicação.
Veja como ele fazia ...
85
42
42
84
21
168
10
336
5
672
2
1344
1
2688
Abandonando as
linhas marcadas em
azul.
85
42
21
168
5
672
1
2688
Somando os números que sobraram na coluna da direita, teremos:
42 + 168 + 672 + 2688 = 3570. Verifique numa calculadora, fazendo
85 x 42 e verifique que o resultado está correto.
Verifiquei que o processo usado por esse aluno era uma técnica usada
pelos antigos camponeses Russos. Um método muito eficiente e que
facilita bastante o cálculo mental.
Veja a justificativa do método:
Veja uma situação prática. Se você tem 16 notas de 5 reais, é o mesmo
que se tivesse 8 notas de 10 reais ou 4 notas de 20 reais. É claro que
uma multiplicação não se altera se um dos fatores dobra e o outro fica
reduzido à metade. Todo esse método está escorado nessa simples
propriedade das multiplicações.
Vamos observar um primeiro exemplo simples, onde um dos fatores é
uma potência de 2. Façamos 16 x 45:
16
45
8
90
4
180
2
360
1
720
Nesse caso, verificamos que o produto
procurado, que é 16 x 45, é também igual a
8 x 90 ou 4 x 180 ou 2 x 360 ou ainda
1 x 720. É claro, portanto que o produto
será 720. Verifique que, para esses casos
(quando um dos fatores é potência de 2), o
resultado da multiplicação é o número que
está ao lado do número 1 (o único fator
ímpar que surgiu na coluna da esquerda).
Mas se o número dado não é uma potência de 2? Como se justifica o
processo usado? Vejamos um outro exemplo: 24 x 34 = ?
24
34
12
68
6
136
3
272
1
544
Nesta multiplicação, temos 24 grupos de 34 ou 12 grupos
de 68 ou 6 grupos de 136. Quando chegamos ao número
3, sabemos que, por ser ímpar, não teríamos uma
quantidade inteira de grupos. Substituímos então o 3 por
2, ficamos com 2 grupos de 272 e guardamos um grupo.
Como a metade de 2 é 1, chegamos ao resultado 544. Só
que este resultado está incompleto, pois havíamos
guardado um grupo de 272. Logo, a resposta correta é
544 + 272 = 816.
Verifique que na realidade é só usar a regrinha prática mostrada pelo
aluno, ou seja, somar todos os números da coluna da direita,
correspondentes a números ímpares da coluna da esquerda. Criativo e
fácil, não?
Métodos como esse, da multiplicação feita pelos camponeses Russos é
que mostram toda a riqueza de uma atual tendência da Educação
Matemática – a Etnomatemática, que procura valorizar o conhecimento
matemático existente em distintos grupos sociais e etnias.
Atividade 14: Em que dia da
semana você nasceu?
Uma regra prática para a
determinação do dia da semana
de qualquer data, entre 01 de
janeiro de 1900 a 2399
Prof. Ilydio Pereira de Sá (UERJ – USS – Pedro II)
1) Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o
ano em que você nasceu. Por exemplo, se você nasceu
em 1980, irá anotar 80. Vamos chamar essa quantidade
de A.
2) Calcule quantos “29 de fevereiro” existiram depois de
1900. Para isso, basta dividir por 4 o valor A, sem
considerar o resto da divisão. Vamos chamar essa nova
quantidade de B.
3) Considerando o mês do nascimento, obtenha o número
associado a ele, que está na tabela a seguir. Procure o
mês e anote o número que está ao lado dele. Vamos
chamar esse número de C.
Tabela dos meses
Janeiro
0
Julho
6
Fevereiro
3
Agosto
2
Março
3
Setembro
5
Abril
6
Outubro
0
Maio
1
Novembro
3
Junho
4
Dezembro
5
4) Considere o dia do nascimento (x). Calcule x – 1, que
vamos chamar de D.
5) Some agora os quatro números que você obteve nas
etapas anteriores (A + B + C + D). Divida essa soma
obtida por sete (7) e verifique o valor do resto dessa
divisão.
6) Finalmente, procure esse resto na tabela abaixo. Você
terá o dia da semana do seu nascimento ou de qualquer
outra pessoa que queira descobrir.
SEGUNDA-FEIRA
0
SEXTA-FEIRA
4
TERÇA-FEIRA
1
SÁBADO
5
QUARTA-FEIRA
2
DOMINGO
6
QUINTA-FEIRA
3
Vejamos dois exemplos:
1) Qual foi o dia da semana da data 16 de fevereiro de
1918?
1) 18 (1918 – 1900), logo, A = 18
2) 18 : 4 = 4 (desconsidere o resto), logo, B = 4
3) O mês é Fevereiro, então C = 3 (ver na tabela)
4) x = 16 (dia do nascimento), logo, D = 15 (x – 1)
5) Somando os quatro números, teremos 18 + 4 + 3 + 15 = 40
40 : 7 = 5 e resto 5. Na tabela o 5 é um SÁBADO.
Só para conferir, fomos procurar um calendário de 1918,
destacando o mês de fevereiro. Veja que o dia 16 foi
realmente um SÁBADO.
Fevereiro - 1918
D
S
T
Q
Q
S
S
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
2) Qual foi o dia da semana em que caiu o Natal de 2000 ?
1) 100 (2000 – 1900). A = 100
2) 100 : 4 = 25 (anos bissextos). B = 25
3) Mês dezembro, na tabela = 5. C = 5
4) Natal = dia 25, x = 25, logo D = 24 (x – 1)
5) Somando A + B + C + D, teremos: 100 + 25 + 5 + 24
= 154
Calculando o resto da divisão por 7.
154 : 7 = 22, resto 0. Na tabela, temos 0 = 2ª feira.
Só para conferir, fomos procurar um calendário de 2000,
destacando o mês de dezembro. Veja que o dia 25 foi
realmente uma SEGUNDA-FEIRA.
Dezembro - 2000
D
S
T
Q
Q
3
10
17
24
31
4
11
18
25
5
12
19
26
6
13
20
27
7
14
21
28
S
1
8
S
2
9
15
22
29
16
23
30
RESUMINDO – DIA DA SEMANA
1) Calcule quantos anos se passaram desde 1900 até o ano em que você
nasceu. Vamos chamar essa quantidade de A.
2) Calcule quantos 29 de fevereiro existiram depois de 1900. Para isso, basta
dividir por 4 o valor A, sem considerar o resto da divisão. Vamos chamar
essa nova quantidade de B.
3) Considerando o mês do nascimento, obtenha o número associado a ele,
que está na tabela logo abaixo. Vamos chamar esse número de C.
4) Considere o dia do nascimento (x). Calcule x – 1, que vamos chamar de D.
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Segunda-feira
Terça-feira
Quarta-feira
Quinta-feira
0
3
3
6
1
4
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
0 Sexta-feira
1 Sábado
2 Domingo
3
5) Calcule A + B + C + D e
obtenha o resto da divisão por
7. Veja na tabela o dia da
semana.
6
2
5
0
3
5
4
5
6
Confira aqui
Justificativa Matemática
Fato 1: Todos os passos que foram colocados na regra prática visam
determinar o “deslocamento”, na seqüência de dias da semana, que a
data procurada tem em relação à segunda-feira, 01/01/1900, que é o
nosso “ponto de partida”.
Fato 2: Como 365 dividido por 7 deixa resto 1, cada ano de 365 dias
(não bissexto) tem o seu primeiro de janeiro deslocado de um dia, no
ciclo dos dias da semana (segunda, terça, quarta, quinta, sexta,
sábado, domingo, segunda...), em relação ao primeiro de janeiro do
ano anterior.
Quando a pessoa faz a diferença entre o ano de seu nascimento e o
ano 1900, está descobrindo quantos “afastamentos”, ou
deslocamentos, essa data primeira sofreu em relação ao àquele
01/01/1900
Fato 3: Quando descobrimos, na fase seguinte, a quantidade de anos
bissextos (ao dividir o resultado anterior por 4), estamos
acrescentando o deslocamento adicional de mais uma “casa”, no ciclo
de dias da semana, para cada ano bissexto considerado. Isto porque os
anos bissextos afastam o primeiro de janeiro do ano seguinte não em 1
“casa”, mas em 2, já que 366 deixa resto 2 quando dividido por 7.
Todo o processo feito até agora serviu apenas para localizar o dia 1º
de janeiro do ano considerado, ou seja, até aqui apenas o ANO da data
desejada foi considerado. Agora é a vez de acrescentarmos os
deslocamentos gerados pelo mês e pelo dia da data procurada.
Se todos os meses do ano tivessem 28 dias (que gera resto zero ao ser
dividido por 7), todos os meses teriam o seu dia primeiro exatamente
no mesmo dia da semana que o primeiro de janeiro do ano
considerado. Mas como temos meses com mais de 28 dias, todos esses
meses (transcorridos de janeiro até o mês considerado) “empurram” o
seu dia primeiro um certo número de “casas” adiante no ciclo dos dias
da semana.
A tabela criada para o nosso algoritmo está relacionada à aritmética
modular, ou seja, à congruência módulo 7. Vejamos como surgiram os
números da tabela.
Janeiro é a nossa referência, logo não há qualquer afastamento em
relação a ele próprio. Por isso, na tabela dada, ao lado do mês de
janeiro, temos o número zero.
Como o mês de janeiro tem 31 dias e 31 dividido por 7 deixa resto
3, esse mês vai “empurrar” o primeiro dia do mês seguinte 3 “casas”
para a direita em relação ao primeiro de janeiro daquele ano. Por
isso, o mês de fevereiro recebe o número 3 na tabela.
Como fevereiro tem 28 dias e 28 dividido por 7 deixa resto 0, esse
mês não irá acrescentar qualquer “deslocamento” adicional ao mês
seguinte. Logo, o primeiro dia do mês de março cairá no mesmo dia
da semana que o primeiro de fevereiro daquele ano, ou seja, será
deslocado apenas das mesmas 3 “casas” para a direita, em relação
ao primeiro de janeiro daquele ano. Por isso, na tabela dada, o mês
de março também tem o número 3.
Como março tem 31 dias e 31 dividido por 7 deixa resto 3, esse mês
vai “empurrar” os dias do mês seguinte um total de (3 + 0 + 3)
“casas” para a direita, já que como num dominó em cascata, esses
deslocamentos são cumulativos. Por isso na tabela, o mês de abril
tem o número 6.
Como abril tem 30 dias e 30 dividido por 7 deixa resto 2, esse mês
vai “empurrar” os dias do mês seguinte um total de (3 + 0 + 3 + 2)
“casas”, mas como a semana só tem 7 dias, na congruência módulo
7 o número 8 corresponde ao 1 (8 : 7 = 1 e resto 1). Isto é, avançar
oito “casas” no ciclo de dias da semana é o mesmo que avançar
uma “casa” apenas. Por isso o mês de maio na tabela tem o
número 1. E assim, sucessivamente para os demais meses.
Precisamos agora, para finalizar, determinar a quantidade de
deslocamentos necessários para atingirmos o exato dia procurado.
Ora, se localizamos o dia 1 e queremos localizar o dia x de um
determinado mês, precisamos ainda de um deslocamento
correspondente a (x – 1) “passos”.
Veja, por exemplo, se a data procurada fosse o dia 4 de um
determinado mês, teríamos ainda mais 3 (= 4 – 1) deslocamentos à
direita no ciclo de dias da semana.
É claro que, finalizando, a soma dos quatro números obtidos nas
etapas do processo terá de ser dividida por 7, pois são sete os dias
da semana e o ciclo se repete sempre.
Essa atividade, ou brincadeira, ou truque é um outro exemplo
interessante do que chamamos de congruência módulo k, que
nesse caso é igual a 7.
Atividade 15: Quebra-cabeça
Um desafio interessante que pode também ser proposto em forma de quebracabeça, para que os alunos trabalhem com recortes.
Abaixo temos um mesmo hexágono, repetido quatro vezes. Na primeira está inteiro.
Na segunda está dividido em duas partes iguais (meios), que são trapézios. Na
terceira está dividido em três partes iguais (terços), que são losangos e na quarta
está dividido em seis partes iguais (sextos), que são triângulos eqüiláteros. Se você
recortar todas as doze partes obtidas poderá obter um outro hexágono maior,
usando todas as partes e sem recortá-las novamente. Como isso é possível?
A
B
C
C
B
D
D
D
C
B
D
Solução
D
C
A
D
B
C
C
D
D
D
D
D
D
Essas e outras atividades, com todas as justificativas matemáticas, no
nosso livro:
A Magia da Matemática: Atividades Investigativas,
Curiosidades e Histórias da Matemática
Editora Ciência Moderna – www.lcm.com.br