Breve introdução aos plasmas quânticos Fernando Haas UFPR Colaboradores: P. K. Shukla e B. Eliasson (Bochum, Alemanha) M. Marklund e G. Brodin (Umea, Suécia) G. Manfredi e P.-A. Hervieux (Strasbourg, França) A. Bret (Ciudad Real, Espanha) Efeitos quânticos em plasmas Altas densidades ou dimensões pequenas: comprimento de onda de de Broglie comparável a distância média entre partículas ou outra largura característica (ex.: dispositivos eletrônicos nanoscópicos, etc.) Efeitos estatísticos: spin, estatística de Fermi-Dirac, comportamento ferromagnético; plasmas frios ou sob intenso campo magnético (ex.: pulsares, magnetares) Plasma quântico estado genérico da matéria ionizada sob altas densidades e/ou baixas temperaturas (ou ainda: sistemas de partículas carregadas confinadas em regiões diminutas) Obs.: parâmetros do núcleo do sol ~ ICF (inertial confinement fusion) Parâmetro de degenerescência X TF = T 2 2/3 n = mkBT X > 1 estatistic a de Fermi - Dirac Alguns plasmas quânticos Plasmas gerados na interação laser-sólido : nova geração de lasers ultra-intensos Dispositivos eletrônicos ultra-pequenos Objetos astronômicos ultra-densos (ex.: plasmas em anãs brancas ou estrelas de nêutrons) Gás de elétrons em um metal (Klimontovitch e Silin, 1952; Lindhard, 1954; Nozieres e Pines, 1958) rede cristalina fundo iônico homogêneo Parâmetro de acoplamento clássico gC = E potencial Ecinetica 2 1/ 3 en ~ 0 kBT Parâmetro de acoplamento quântico Ecinetica gQ = ~ E potencial EFermi EFermi ~ me² 2 1/ 3 0n 1 Fermi Dirac 1 Maxwell Boltzmann g Q 1 fortemente acoplado ( FD) g C 1 fortemente acoplado ( MB ) Notas históricas Nozieres e Pines (60’s): abordagem por variáveis coletivas, segunda quantização, plasmas de estado sólido Silin, Vedenov, Klimontovich (60’s): equação de Wigner não colisional Dinâmica (propagação de ondas): restrita a teorias lineares Última década: modelos hidrodinâmicos fenômenos não lineares Modelando plasmas quânticos Modelos microscópicos: função de onda de N-corpos matriz densidade função de Wigner f(x,v,t) Modelos macroscópicos: equações hidrodinâmicas A função de Wigner m s s imvs f ( x, v , t ) ds exp x , x ,t 2 2 2 Momentos da função de Wigner (estado puro) n f ( x, v, t ) | ( x, t ) |2 , i J f ( x, v, t )vdv 2 x x Sistema de Wigner-Poisson (plasma eletrostático) f f +v = dv´ K(v' v, x,t) f(v' , x, t), t x E e e = (n0 fdv) (n 0 - n(x, t)). x ε0 0 Limite clássico equação de Vlasov para f(x,v,t) f f eE f v 0 t x m v Obs.: a função de Wigner não é uma função distribuição de probabilidades (pode assumir valores negativos etc.) Em todo caso: f(x,v,t) fornece as densidades de carga, de corrente, de energia etc. Variáveis hidrodinâmicas n = f dv , 1 u = fv dv , n P= m fv dv nu . 2 2 Modelo hidrodinâmico quântico para plasmas eletrostáticos [Manfredi e Haas, 2002] n + (nu) = 0, t x u u 1 p e 2 2 n / x 2 , +u = E+ 2 t x mn x m 2m x n E e = (n0 n), x ε0 p = p(n). p 0 versao hidrodinam ica para a equacao de Schrodinge r (Madelung, 1926) Potencial de Bohm fenômenos ondulatórios 2 2 n / x 2 2m x n 2 Aproximação de campo médio: f N (1,2,..., N ) f (1) f (2) ... f ( N ) Relação de dispersão, ondas lineares de alta freqüência (perturbações ~ exp[i(kx-wt)]): 2 4 3 T k 2 p2 B k 2 , 2 m 4m plasma nao de generado Se for completamente degenerado: BT EF Propagação de ondas lineares: instabilidade do duplo feixe (Haas, Manfredi e Feix, 2000) Parâmetro medindo os efeitos ondulatórios (instabilidade do feixe duplo): H= ω p 2 0 mu Estados estacionários d (ni ui ) 0, dx i 1, 2 2 2 dui 1 dpi eE 2 d d ni / dx ui 2 , pi ~ ni3 , dx mni dx m 2m dx ni 2 dE e n0 ni . dx 0 i 1 Estados estacionários Hidrodinâmica quântica para plasmas magnetizados n + (nu) = 0, t u 1 e 2 2 n , + u u = p (E + u B) + 2 t mn m 2m n mais equações de Maxwell e equação de estado [p = p(n)] Magnetohidrodinâmica quântica [Haas (2005)] Papel do potencial de Bohm Destruição de soluções do tipo sóliton Dispersão de ordem mais alta Inexistência de colapso de pacotes de onda de Langmuir (q-Zakharov 2D e 3D) Tunelamento Difusão do pacote de ondas Dispositivos eletrônicos quânticos [ex: diodo túnel resonante]: resistência diferencial negativa (dI/dV < 0) Efeitos da estatística de Fermi-Dirac Equação de estado para um gás de Fermi inclusão fenomenológica Princípio : equação de Pauli efeitos relativísticos de ordem mais baixa (Marklund e Brodin, 2007) Termo de forca quântica de spin, efeitos ferromagnéticos Aplicação a magnetars (B ~ 10^9 T) Experimentos Femtosecond pump-probe spectroscopy (thin metal films, metallic nanostructures) X-ray Thomson scattering (Glenzer and Redmer, 2009) frequency shifts on high frequency waves dispersion relation keV free electron lasers (Gregori and Gericke, 2009) frequency shifts on low frequency waves dispersion relation Limite teórico para o tamanho de dispositivos plasmônicos, devido ao “alargamento efetivo” da camada de transição devido a efeitos quânticos (Marklund et al. 2008) Efeitos relativísticos Asenjo e Mahajan (2010) hidrodinâmica quântica relativística a partir da equação de Dirac Zhu e Ji (2010) efeitos quânticos relativísticos para a aceleração do tipo “wakefield” em lasers Tito Mendonça (2011) sistema de WignerMaxwell relativístico Eliasson e Shukla (2011) Dirac-Maxwell Referências Haas, F.: Quantum plasmas – an hydrodynamic approach (Springer, New York, 2011) Shukla, P. K. and Eliasson, B.: Nonlinear collective interactions in quantum plasmas with degenerate electron fluids. Rev. Mod. Phys. 83, 885 (2011) Haas, F.: An introduction to quantum plasmas (BJP, in print) Para concluir Vimos em que situações efeitos quânticos são relevantes em plasmas Consideramos alguns modelos: WignerPoisson,equações hidrodinâmicas Analisamos o papel do potencial de Bohm Algumas aplicações: ondas lineares e não lineares Extensões: efeitos de spin e relativísticos