Introdução - IME-USP

IME – USP
Mestrado Profissional em Ensino de Matemática
Tendências da Educação Matemática
Reflexões acerca da conceituação de número real
na Educação Básica e no Ensino Superior
Prof. Dr. Rogério Ferreira da Fonseca
São Paulo
2014
[email protected]
1
Início de conversa...
Considerem as seguintes questões!
1 – 0,999... é igual a 1?
2 – Existe algum número entre os números
reais 0,1 e 0,2?
3 – Os números abaixo são racionais ou
irracionais?
a) 
b) 3,14
c) 0,12345...
d) 0,123123123... e)2
f) 1,41
g) 0,4999... h) (12)/3
2
4 – Os conjuntos abaixo, comparados dois
a dois tem a mesma cardinalidade?
a) Números Pares – Números Naturais
b) Números Naturais – Números Inteiros
c) Números Inteiros – Números Pares
d) Números Naturais – Números Racionais
e) Números Naturais – Números Reais
f) Números Racionais – Números Reais
3
Apresentação


Apresentamos aqui algumas reflexões a respeito do
ensino e aprendizagem do conceito de número.
Acreditamos que tais reflexões interessam a professores
de Matemática em geral.
É fato que o conceito de número é fundamental na
Matemática, entretanto o ensino, por exemplo, dos
números reais, tem cada vez mais sido deixado para
segundo plano, com uma apresentação aligeirada e
conceitualmente pobre.
4
Apresentação
Nossas reflexões têm dois motivadores:
- por um lado a suposição de que o ensino dos números
não considera várias noções constitutivas da
conceituação de número, podendo ser fonte de
concepções inadequadas dos aprendizes;

- por outro o fato de que existem condições inerentes à
atualidade que merecem ser levadas em conta no ensino
da Matemática sob pena de tornar obsoletos conceitos
fundamentais.
5
Algumas reflexões

Na atualidade os diversos recursos tecnológicos da
informação, as calculadoras e computadores de modo
crescente invadem nosso cotidiano.

Os estudantes vivem e respiram esse ambiente, no qual
os números assumem funções e características cada vez
mais distantes da conceituação matemática.
6
Algumas reflexões

O uso das tecnologias nos dias de hoje sugere, cada vez
mais, a busca por novas abordagens para o ensino da
Matemática, ou seja, a busca por aplicações da
Matemática que dêem sentido ao seu aprendizado, e
que incentivem os alunos a participarem da construção
de seus próprios conhecimentos.
7
Algumas reflexões



Nesse contexto destacam-se os jogos eletrônicos como
grandes concorrentes da atenção dos estudantes.
É preciso que a escola se aproxime do interesse e modo
de pensar dos estudantes de hoje, sem se descuidar da
formação necessária ao desenvolvimento intelectual
desses estudantes.
A Matemática tem um papel importante e condições de
preencher as diversas funções de interesse dos jovens
desde que seu ensino receba abordagens compatíveis a
elas.
8
Algumas reflexões



Apresentaremos reflexões sobre possíveis vantagens de
se utilizar a conceituação de número elaborada pelo
matemático inglês John Horton Conway, apresentada à
comunidade acadêmica na década de 70.
Essa abordagem, pelo que sabemos não é ensinada na
Educação Básica, nem no Ensino Superior exceto pelo
próprio Conway.
Talvez a falta de interesse por essa abordagem no
ensino justifica-se por sua formalização ser bastante
complexa. Mas há várias contribuições que ela pode
oferecer a uma compreensão mais conceitual de
número, o que é bastante ausente nas abordagens
tradicionais.
9
Pesquisas sobre o ensino e aprendizagem dos
números
Pesquisas realizadas na Educação Matemática, nos
diversos níveis de ensino, mostram que a compreensão
dos números não é tão simples como parece (Tall e
Schwarzenberger ,1978, 1996; Baldino, 1994; Bloch,
1995, 2000; Cousquer, 1994; Tall e Pinto, 1996; Igliori e
Silva, 2001; Nunes e Borba, 2004; Pasquini, 2007; Dias,
2007) .
As complexidades no desenvolvimento histórico,
epistemológico e nas discussões filosóficas, também são
evidenciados por vários estudos (Otte, 1993; Artigue,
1989, 1991; Cousquer, 1994; Brolezzi, 1996; Courant,
2000; Caraça, 2005; Cobianchi, 2001; Fonseca, 2010).
10
Objetivos da Pesquisa
O objetivo principal desta pesquisa é o de estudar
uma nova conceituação de número real, apresentada
pelo matemático inglês Jonh Horton Conway da
Universidade de Princeton, com intuito de destacar
potencialidades dessa conceituação perante as
conceituações clássicas de número real.
11
A proposta de Conway permite o enfrentamento de
questões filosóficas e epistemológicas a respeito da
conceituação de número.
Em especial da questão “o que é número?”, e também
do debate sobre a dualidade das duas componentes
fundamentais da conceituação de número, uma
relacionada aos atributos e a outra aos referenciais ou
aplicações do conceito.
12
Procedimentos metodológicos e fundamentação teórica
Os procedimentos metodológicos para realização desta
pesquisa baseiam-se principalmente no estudo de
referências bibliográficas pertinentes à teoria de John
H. Conway, à Filosofia da Matemática, a livros de
Análise Matemática e a artigos científicos de Filosofia
ou Educação Matemática, que abordam o conceito de
número.
Trata-se de uma pesquisa de cunho teórico, pois não
são utilizadas experiências, dados ou fatos empíricos. A
pesquisa está fundamentada na noção de
complementaridade no que concerne à análise de aspectos
cognitivos e epistemológicos de conceitos matemáticos
(Otte, 2003).
13
Complementaridade
Uma abordagem complementarista torna-se relevante em
razão da impossibilidade de definir a realidade
matemática independentemente de suas possíveis
representações e da própria atividade cognitiva.
Por um lado, tal abordagem contempla as relações entre
os objetos matemáticos (aspectos estruturais,
intesionalidade) e por outro ressalta a necessidade de
interpretações de tais objetos por meio de aplicações ou
modelos (aspectos extensionais).
14
Complementaridade
O debate sobre a relação entre as visões intensional e
extensional, de Matemática atinge particularmente e de
forma intensa o conceito de número (OTTE, 2003). A
dualidade entre essas duas visões é revelada por Russell
em seu livro, Filosofia da Matemática, onde trata dos
números e tudo o que se relaciona ao número.
A natureza própria do número, e sua aplicabilidade a
todas as realidades indicam a importância dessas duas
componentes essenciais na conceituação de número.
15
Complementaridade (aspectos intensional e extensional )
A noção de intensão de termos matemáticos é
caracterizada por descrever as relações entre classes de
objetos matemáticos, como suas relações estruturais,
refere-se, portanto no caso do conceito de número a
uma caracterização axiomática.
A noção de extensão de termos matemáticos caracterizase por possíveis referenciais, interpretações ou
aplicações dos objetos matemáticos, no caso do
número, caracteriza-se pelos modelos de uma teoria
axiomática.
16
Complementaridade
Como dissemos uma visão complementarista é induzida
pela impossibilidade de definir a realidade matemática
independente da própria atividade cognitiva.
Um conceito matemático, tal como o conceito de
número, não existe independente de suas
representações, mas também não deve ser confundido
com uma delas.
17
Uma nova abordagem em análise
A conceituação de número proposta por John Horton
Conway, garante a complementaridade entre a
intensionalidade e a extensionalidade, requerida por Russell,
e defendida por Otte.
A definição de Conway, por um lado, fundamenta-se na
teoria de conjuntos contemplando os aspectos
estruturais do conceito de número (intensionalidade), e
por outro, pode ser interpretada por uma classe de
jogos, contemplando também os aspectos extensionais.
18
Um número é um jogo: explorando aspectos extensionais
da teoria de Conway
Explorando o aspecto extensional da teoria,
apresentamos alguns exemplos que ilustram a
relação número/jogo de Conway. É importante
destacar que o jogo pertence a determinadas classes
de jogos.
19
A classe de jogos
É aquela que satisfaz as seguintes condições:
a) há apenas dois jogadores; b) há sempre um
vencedor; c) o jogo deve finalizar num número
finito de jogadas; d)são consideradas apenas as
“jogadas ótimas” (jogadas que maximizem as
chances do jogador).
20
O jogo Hackenbush: um exemplo de jogo de Conway
Peças coloridas, por exemplo, azuis e brancas, são
dispostas em um plano, de modo que estejam
sobrepostas e uma delas esteja conectada a uma
linha horizontal. O jogo é jogado por dois
jogadores A e B.
O jogador A retira peças de cor azul, enquanto o
jogador B retira peças de cor branca.
21
Os jogadores jogam alternadamente. Cada jogador
deve retirar somente uma peça da cor que lhe é
atribuída. Quando uma peça for retirada, saem do
jogo automaticamente as peças que estiverem
sobrepostas a ela. Perderá o jogo aquele jogador
que primeiro ficar sem peças de sua cor para
retirar. Segue abaixo algumas configurações do
jogo Hackenbush:
(a)
(b)
(c)
(d)
22
Relação de ordem no conjunto dos jogos (condição para a
relação número/jogo)
(i) Um jogo é zero se o jogador que inicia a partida
perde, ou seja, o jogo em que quem começa perde.
(ii) Um jogo é positivo (ou maior que zero) se o
jogador A ganha independentemente de quem
comece a partida.
(iii) Um jogo é negativo (ou menor que zero) se o
jogador B ganha independentemente de quem
começa a partida.
23
número zero/jogo zero
Configurações do jogo zero.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
O número zero é o jogo zero.
24
Representação de um jogo por meio de um conjunto
Um jogo J de Conway pode ser representado por um
conjunto composto por um par de conjuntos de
números. Indica-se assim: J = {AB}.
Os elementos de A são números associados aos jogos
obtidos com a retirada de peças pelo jogador A e serão
indicados do lado esquerdo da barra. Da mesma forma,
serão elementos de B os números obtidos com a jogada
de B e serão indicados do lado direito da barra.
25
número zero/jogo zero
Representação do jogo zero por conjunto.
(a)
O jogo zero de configuração (a) é representado por:
0 = {}, pois nenhum dos jogadores têm peças
para retirar.
26
Números/jogos
(a)
(b)
0
(c)
0
{{0}};
{{0}};
1 = {{0}} e
– 1= {{0}};
1
(d)
0
(e)
(f)
-1
-1
{01};
Analisando o jogo temos (–1) + 2x = 0, ou seja x = 1/2 . Assim 1/2 = {01};
Números/jogos
1
0
(a)
0
(b)
1
2
1 = {{0}};
2 = {{0, 1}};
-1
0
(c)
0
(d)
-1
-2
- 1 = { {0}};
2 = { {0, 1}};
3/4
1/2
1/2
1
1/2
1
1
1
0
0
0
1/2
1/2 = {{0}{1}};
0
1/4
1/4 = {{0}{1/2, 1}};
3/4
3/4 = {{0, 1/2}{1}};
7/8
7/8={{0, 1/2, 3/4}{1}}
28
números reais/ jogos
Um números real (com representação decimal
infinita) é associado a um jogo Hackenbush
que tem a seguinte configuração :
o primeiro par de peças de cores distintas,
contando de baixo para cima, indica o lugar da
“vírgula binária”; a parte inteira do número é
igual ao número de peças que aparece antes da
vírgula; a parte não inteira do número é
representada por peças azuis ou brancas
(respectivamente dígito 1 ou 0).
..
.
..
.
1
0
0
0
1
0
1
0
.
1
2
29
O conceito de número para Conway: aspectos intensionais
Na definição de corte de Dedekind os conjuntos A e B
que constituem o corte são conjuntos de números
racionais e satisfazem a quatro condições:
D1) Todo número racional pertence a um e a somente
um dos conjuntos A ou B..
D2) Os conjuntos A e B são não vazios.
D3) Qualquer elemento do conjunto A é estritamente
inferior a qualquer elemento do conjunto B.
D4) O conjunto A não possui maior elemento.
Conway se inspira nessa ideia de corte de Dedekind e
generaliza-a de modo a não ter que pressupor a
existência dos racionais.
30
A noção de corte generalizado: o axioma D1
O axioma D1) garante a definição do conjunto A, de
maneira única, pelo conjunto B. Conway mantém a
ideia de par, e generaliza D1) considerando que é o par
de conjuntos que engendra o número, e não o
contrário, como propôs Dedekind.
Com esse pensamento, Conway rejeita o axioma D1)
abrindo a possibilidade de definir número de várias
maneiras.
31
A noção de corte generalizado: axiomas D2 e D4
O axioma D4) está na teoria de Dedekind para impedir
que um número real seja representado por dois cortes
distintos. Se essa exigência de representação única para
um número for abandonada, então o axioma D4) passa
a ser supérfluo.
Na teoria de Dedekind, em virtude do axioma D2) o
par de conjuntos (Q, ) não é um corte. Mas para
Conway esse par poderia ser pensado como um
número positivo infinito.
32
A noção de corte generalizado: o axioma D3
A ordem total satisfeita pelo corpo dos reais é garantida pelo
axioma D3). Conway precisa dessa propriedade, e para tanto
ele transforma o axioma D3) no axioma D3*) enunciando-o
assim:
D3*) Nenhum elemento do conjunto B é menor ou igual a
algum elemento do conjunto A.
Em resumo, Conway, assim como Dedekind, define os
números como um par de conjuntos de números. O par de
Dedekind é um par de números racionais admitidos, já
construídos anteriormente. O par de Conway é um par de
conjuntos de números constituídos por números já
construídos por seu método.
33
Em ambos os casos, a formação do par é limitada pela
restrição indicada em D3*). Para Dedekind os axiomas
D3) ou D3*) fazem sentido, pois Q é um conjunto
ordenado. Na generalização de Conway é preciso supor
que uma relação de ordem esteja definida. É com a
associação número/jogo que Conway obtém essa
relação.
34
Os postulados de Conway
Conway utiliza os seguintes axiomas para construir os
números:
(CI) Se z = {zE  zD}, em que zE e zD são dois conjuntos de
números, e se zD não é menor ou igual a zE , então z é um
número.
(C2) Para todo par x = {xE  xD} e y = {yE  yD}, as duas
asserções seguintes são equivalentes:
x é menor ou igual y;
yD não é menor ou igual a x e y não é menor ou igual a xE .
O desenvolvimento da teoria de Conway é feito tomando
por base esses dois axiomas.
35
Exemplos de números de Conway
A definição de Conway para um número x = {ED}
supõe que as classes E e D sejam classes de números
construídas anteriormente a x. Ou seja, a construção dos
números se dá por recorrência.
O conjunto vazio é utilizado para construir o primeiro
número {}. Tal conjunto de classes satisfaz o
primeiro postulado de Conway. Esse número é o zero, isto
é, {} = 0. A partir dele obtêm-se outros números
encontrando-se suas duas classes: a da esquerda e a da
direita. O número 1, por exemplo, será o número
{{0}}, o número 2, o número {{0,1}} e, assim por
diante, obtêm-se todos os números.
36
Correntes Filosóficas e a natureza dos números
Filósofos e matemáticos buscaram responder a questão:
“O que é número?”.
As respostas apresentadas por diversas correntes
filosóficas são insuficientes do ponto de vista da
complementaridade. Na verdade, o que ocorre é uma
forma de “reducionismo” (KuyK, 1977), ou seja, nas
tentativas de respostas são considerados apenas os
aspectos intensionais ou apenas os extensionais do conceito
de número, e não a complementaridade entre eles.
37
Número é um jogo
A teoria de Conway fornece uma resposta à questão.
Podemos afirmar que número é um “jogo”, assim
como fez Conway (1999, p. 300).
Certamente Conway não estava buscando responder a
pergunta “O que é número?” do ponto de vista
filosófico, mas podemos utilizar suas ideias para
apresentar uma resposta a essa questão, visto que
garante a complementaridade na conceituação de número.
38
Números reais: abordagens clássicas e a noção de
complementaridade
Uma abordagem axiomática dos números reais
considera apenas as relações estruturais dos números.
No bojo de uma abordagem axiomática não há
qualquer tipo de descrição, interpretação ou aplicação
para o objeto matemático. Apenas as relações entre os
objetos são enfatizadas, caracterizando de forma
unilateral o aspecto intensional dos números.
39
Números reais: abordagens clássicas e a noção de
complementaridade
A construção dos números, dos naturais aos reais,
tradicionalmente é feita de forma genética (extensão
dos conjuntos numéricos).
Os cortes de Dedekind e as classes de equivalência de
sequências de Cauchy de racionais pressupõem os
números racionais e suas propriedades. E apenas
favorecem o aspecto intensional do conceito de número.
40
Números reais: abordagens clássicas e a noção de
complementaridade
Normalmente, neste tipo de abordagem não são
explorados possíveis modelos, aplicações ou
interpretações dos números, os aspectos extensionais
não são contemplados e a desejada complementaridade não
ocorre.
41
Potencialidades da Teoria de Conway frente às
abordagens clássicas
Permite explorar o aspecto intensional do conceito de
número.
Apresenta um modelo para os números, contemplando
o aspecto extensional do conceito de número.
Possibilita uma definição única para o conceito de
número.
42
Considerações finais
Os números, dos naturais aos reais, são classicamente
construídos passo a passo: com uma introdução
axiomática obtém-se os naturais, cuja definição não abrange
a essência do conceito de número; na continuação obtém-se
os inteiros e racionais com organização estrutural.
E por fim há uma ruptura que marca a passagem dos
números racionais aos reais, feita de forma axiomática, ou
por meio de classes de equivalências de sequências de
Cauchy de números racionais, ou por cortes de Dedekind.
43
Considerações finais
Como se pode obter uma ideia única de número por
meio de tal processo? Todas
essas abordagens
envolvendo as extensões dos conjuntos privilegiam
apenas os aspectos operacionais do conceito de
número, em outras palavras podemos dizer que apenas
o aspecto intensional do conceito de número é explorado
e o aspecto extensional não é contemplado.
44
Considerações finais
Nosso objetivo com este estudo não é propor a
utilização do método de Conway como substituição
das conceituações clássicas no processo de ensino e
aprendizagem dos números reais, mas sim
acrescentar argumentos que possam subsidiar as
reflexões em relação às problemáticas que envolvem
o conceito de número real, como, a constituição
epistemológica de tal conceito.
45
Considerações finais
Acreditamos que este estudo poderá ser relevante à
Educação Matemática sob dois prismas, o primeiro
refere-se ao contexto epistemológico explicitando a
diversidade de formas conceituais que traduz as noções
matemáticas, mais especificamente o conceito de
número real.
O segundo, de caráter mais prático, na medida em que
pode subsidiar algumas reflexões acerca da
conceituação de número real, em especial novas
abordagens para introduzir o conceito de número no
Ensino Superior.
46
Desdobramentos da pesquisa
Finalmente apontamos alguns desdobramentos da
nossa pesquisa. Uma possibilidade de desdobramento
deste estudo baseia-se na organização de uma sequência
didática com base na teoria de Conway para abordar os
números de forma única (dos naturais aos reais), no
Ensino Superior.
Outro projeto que
possibilidade
de
computacional para
objetivo de subsidiar
meio dos jogos.
nos interessa, versa sobre a
desenvolver
um
programa
o jogo Hackenbush, com o
a construção dos números por
47
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