TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I Aula 17: 24/05/2012 Movimento de Partículas em Fluidos - Velocidade terminal - Balanço de forças em uma partícula - Coeficiente de arraste (Cd) - Reynolds da Partícula - Lei de Stokes MOVIMENTO DE PARTÍCULAS EM FLUIDOS Não é uma operação unitária, é um conceito físico que será utilizado em várias operações unitárias de transferência de quantidade de movimento, como: • Fluidização • Transporte de sólidos em leito de fluido • Sedimentação simples • Centrifugação • etc. Velocidade Terminal: definição As partículas ao cair no seio de um fluido, sob ação de uma força constante, por exemplo a força da gravidade, sofrem aceleração durante um período de tempo muito curto e depois disso se movem à uma velocidade constante. Essa máxima velocidade que as partículas podem alcançar é chamada de velocidade terminal, e depende da densidade, tamanho e forma da partícula, além das propriedades do fluido e do campo. aceleração Velocidade constante (terminal) Que forças agem sobre uma partícula sólida em movimento em um fluido (líquido ou gás)? As forças de campo, de empuxo e de arraste Força de campo gravitacional: Resistência Fa Fe Fc m p .a p V p g Fc Força de empuxo: Movimento da partícula Fe m f deslocadoa f V f deslocado g f V p g Força de arraste (atrito): 1 Fa f Ac Cd (vR ) 2 2 Força resultante (v f v p ) vR Fr m p aresultante Fc Fa Fe m p aresultante Fc Fa Fe mp aresult. ( p Vp g ) 1 2 f Ac Cd (vR ) ( f Vp g ) 2 m p massa da partícula a aceleração g aceleração gravitacio nal f densidade do fluido Ac área " caracterís tica" da partícula Cd coeficient e de arraste vR velocidade relativa da partícula p densidade da partícula V p volume da partícula [1] Abaixo, encontram-se possibilidades para a velocidade relativa de uma partícula em uma corrente de fluido sob ação de um campo gravitacional: Velocidade da partícula (+) Velocidade do fluido (+) g p f vf = 0 vp = 0 vf = 0 vp = 0 (a) (a) (b) (c) v f v p v f ( v p ) v f v p (c) vR v f v p v f ( v p ) v f v p (e) (e) v R v f v p ( v p ) v p (b) vR (d) (d) vR v f v p v f v p vR v f v p v f vf = velocidade do fluido + - vp = velocidade partícula + - Consideremos uma partícula isolada, sob ação de força gravitacional e em movimento uniforme (sem aceleração). Do balanço de forças [1], tem-se: mp aresult. ( p Vp g ) 1 2 f Ac Cd (vR ) ( f Vp g ) 2 Como não há aceleração da partícula, tem-se: 0 1 2 f [1] aresult. 0 Ac Cd (vR ) ( p f )Vp g 2 Rearranjando tem-se: vR 2 ( p f )Vp g f AcCd [2] Como calcular Vp, Ac e Cd? Calculo de Vp e Ac: A área característica é a área projetada. Quando a partícula é esférica, tem-se: Partícula esférica Ac 4 d p2 [3] Área projetada de uma esfera Área projetada Fluxo de fluido Vp 6 (d p ) 3 [4] Volume de uma esfera Para partículas não esféricas, usar o diâmetro equivalente (deq) definido na “aula de sólidos particulados”. deq.2 6 *V partículanão esférica deq. 3 Área partícula não esférica Substituindo [3] e [4] em [2] tem-se: vR 4d p g ( p f ) 3Cd f [5] E o valor de Cd? O coeficiente de arraste (Cd) é função do número de Reynolds da Partícula: Cd f (Re) Regime Laminar (Eq. de Stokes) Regime Intermediário , onde Re p Re p 0,4 0,4 Re p 500 Regime Turbulento 500 Re p 2 x 105 (Eq. Newton) Regime Alta Turbulência Re p 2 x 105 d p vR f f [6] 24 Cd Re p 10 Cd Re p Cd 0,44 Cd 0,2 Gráfico do Coeficiente de Atrito Cd 2 ( p f )V p g Ac f vR2 24 Regime laminar Cd Re p Lei de Stokes 1000 Região camada quase laminar 100 10 Cd Re 10 Região camada turbulenta Região alta turbulência Cd 0,44 Cd 0,2 1 0.1 0.1 1 10 102 103 104 Reynolds da Partícula 105 106 107 Quando o Re atinge valores altos ocorre uma separação de camada de fluido, no início laminar depois turbulenta Ao aumentar a velocidade relativa (vR), as linhas de corrente começam a oscilar na parte de trás da esfera. A pressão na parte frontal aumenta e ocorre um atrito adicional devido as oscilações. Video sobre escoamento laminar: http://www.youtube.com/watch?v=rbMx2NMqyuI&feature=relmfu Vídeo sobre escoamento turbulento: http://www.youtube.com/watch?v=7KKFtgx2anY&NR=1 http://www.youtube.com/watch?v=LvVuuaqCC7A&feature=related 24 No regime laminar tem-se: Cd Re p Substituindo Rep [6] em Cd laminar e usando [5] Re p vR d p vR f [6] f 4d p g ( p f ) [5] 3Cd f Se obtém: Lei de Stokes 1 d g( p f ) vR 18 f 2 p Equação fundamental do movimento de partículas em fluidos. De forma análoga para os outros regimes tem-se: Re p 0,4 Regime laminar 24 Cd Re p 0,4 Re p 500 Regime de transição 10 Cd Re p 500 Re p 2,5 x 10 5 Cd 0,44 Regime turbulento sem oscilações 2 d 1 p g ( p f ) vR . 18 f 1 4 ( p f ) 2 vR g dp 225 f f 2 ( p f ) vR 3,1 g dp f 1 3 2 Mas como saber o regime se Rep depende de vr? Abordagens para o cálculo de vr: Método 1 Método 2 Método 1 As equações [5] e [6] podem ser utilizadas para calcular vR por tentativa e erro. Processo de cálculo com laço de interação: Início Se propõe um valor de vR Re p [6] d p vR f f Comparar valores. Propor novo valor ou aceitar o valor de vR calculado vR vR [5] 4 d p g ( p f ) 3Cd f Gráfico Cd O laço de interação continua até que o valor da velocidade calculada seja igual (próximo) ao valor da velocidade proposta. Método 2 Define-se o número adimensional de Arquimedes Cd Rep2 Cd Re 2 p 4 gd f ( p f ) 3 p Isola-se vr de [6] e substitui-se em [5]. 3 2f Gráfico Cd Rep2 versus Rep Re p d p vR f f vr Cd Re 2p Cd Re 2p Re p d p vR f f Exemplo: (1) Para o sistema onde um fluido tem um fluxo ascendente e uma partícula sólida descende, utilize os dois métodos estudados para calcular a velocidade relativa. Trata-se de um grão de soja cujas características são: dp = 0,006m; p = 0,98; p = 1190 kg/m3 O fluido é ar a 20ºC: = 1,2 kg/m3 f μf = 1,7.10-5 kg/m.s Método 1 Re p d p vR f f vR Chute inicial vr (m/s) 2,00 12,40 13,86 Cd (gráfico) 838,55 0,50 5199,24 0,40 5812,93 0,40 Velocidade relativa de 13,86m/s 4 d p g ( p f ) 3Cd f 12,40 13,86 13,86 dp= pf = uf = g= pp= 0,006 1,2 1,70E-05 9,8 1190 m kg/m3 kg/m.s m/s2 kg/m3 Gráfico do Coeficiente de Atrito Cd 2 ( p f )V p g Ac f vR2 24 Regime laminar Cd Re p Lei de Stokes Re Cd (gráfico) 838,55 0,50 5199,24 0,40 5812,93 0,40 1000 Região camada quase laminar 100 10 Cd Re 10 Região camada turbulenta Região alta turbulência Cd 0,44 Cd 0,2 1 0.5 0.1 0.1 1 10 102 103 104 Reynolds da Partícula 105 106 107 Método 2 Cd Re 2 p Cd Re 4 gd 3p f ( p f ) 3 2f 1,35.10^7 Cd Re 2p 2 p vr=14,3m/s Re p d p vR f f 6,00.103 (2) Calcule a velocidade relativa de partículas de pó com 60 m e 10 m de diâmetro, em ar a 21oC e 100 kPa de pressão. Se assume que as partículas são esféricas, com densidade de 1280kg/m3, que o ar tem uma viscosidade de 1,8.10-5 N.s/m2 e uma densidade de 1,2 kg/m3. Assuma regime laminar para iniciar os cálculos. Regime Laminar 1 d g ( p f ) vR . 18 f 2 p Regime Transição 1 4 ( p f ) 2 vR g dp 225 f f 2 3 Para a partícula de 60 m: d p vR f -6 2 -1 Re p vR = (60 10 ) 9,8 (1280 – 1,2) = 0,139 m s f 18 (1,8 10-5) Verificando o Re para a partícula de 60 m: Re = (60 10-6) 0,14 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,556 (Transição) Recalculando para regime transição: vR = 0,303 m s-1 ; Re = 1,212 (confirmado regime de transição). Para a partícula de 10m: vR = (10 10-6)2 9,8 (1280 – 1,2) = 0,00387 m s-1 18 (1,8 10-5) Verificando o Re para a partícula de 10 m: Re = (10 10-6) 0,00387 (1,2) / (1,8 10-5) = 0,0026 (Laminar)