Imagem - Prof. Hebert Monteiro

Óptica Geométrica
Prof. Hebert Monteiro
O que é a Óptica Geométrica

Óptica Geométrica é a parte da física que ocupa-se de estudar a
propagação da luz com base em alguns postulados simples e sem
grandes preocupações com sua natureza, se ondulatória ou
particular.
Nós, seres humanos, sempre fomos fascinados pela luz. Espelhos
simples são encontrados em sítios arqueológicos no Egito e na
China. Por volta de 1500 a.C nossos ancestrais descobriram como
iniciar fogueiras focando a luz solar por meio de uma lente simples.
A partir daí, é apenas um pequeno passo para se conseguir perfurar
buracos com um feixe de laser focado.
Nosso estudo analisará sistemas ópticos básicos, como espelhos e
lentes, em relação às trajetórias em linha reta da luz, ou seja,
estudaremos a óptica Geométrica.
Princípios da Óptica Geométrica

Os princípios em que se basta a Óptica Geométrica são três:

Propagação Retilínea da Luz: Em um meio homogêneo e
transparente a luz se propaga em linha reta. Cada uma dessas
"retas de luz" é chamada de raio de luz.

Independência dos Raios de Luz: Quando dois raios de luz se
cruzam, um não interfere na trajetória do outro, cada um se
comportando como se o outro não existisse.

Reversibilidade dos Raios de Luz: Se revertermos o sentido de
propagação de um raio de luz ele continua a percorrer a mesma
trajetória, em sentido contrário.
Modelo de Raios luminosos

Vamos definir um raio luminoso como sendo um linha orientada ao longo da
qual a energia luminosa se propaga. Um raio luminoso é portanto uma idéia
abstrata. Qualquer feixe luminoso estreito, como feixe de um laser é na
verdade um conjunto de muitos raios luminosos paralelos uns aos outros.
Fontes de Luz
Fonte de luz
Denomina-se fonte de luz todo corpo capaz de emitir luz.
Fonte de luz primaria
São aquelas que emitem luz própria, isto é, que produz energia
luminosa. Exemplos: O Sol e as Lâmpadas incandescentes.
Fonte de luz secundária
São aquelas que emitem apenas a luz recebida de outros corpos.
Estas fontes de luz apenas refletem os raios de luz provenientes de
outros corpos. Exemplo: a Lua e o teclado do seu computador.
Fenômenos da Luz na óptica geométrica
1) Refração: É o fenômeno que explica a passagem da luz por
meios com diferentes índices de refração.
2) Reflexão: É o fenômeno que explica a mudança de direção da luz
quando entra em contato com uma superfície refletora, provocando
o retorno da luz incidente em direção à região de onde ela é
oriunda.
3) Difração: é um fenômeno que ocorre com a luz quando ela passa
por um orifício ou contorna um objeto cuja dimensão é da mesma
ordem de grandeza que o seu comprimento de onda, provocando
assim mudanças em suas características e propagação.
Refração

Refração de um modo simplificado, é a passagem da luz por meios
com diferentes índices de refração. A refração modifica a
velocidade da luz, mesmo que a direção permaneça a mesma (caso
a luz incida perpendicularmente à superfície).
N
Ri
i
Meio 1 (n1)
Superfície dióptrica
Meio 2 (n2)
r’
Rr
Índice de refração
Índice de refração é uma relação entre a velocidade da luz em um
determinado meio e a velocidade da luz no vácuo (c). Em meios com
índices de refração mais baixos (próximos a 1) a luz tem velocidade
maior (ou seja, próximo a velocidade da luz no vácuo). A relação pode
ser descrita pela fórmula:
Onde: c é a velocidade da luz no vácuo (c = 3 x 108 m/s); v é a
velocidade da luz no meio;
De modo geral, a velocidade da luz nos meios materiais é menor que c;
e assim, em geral, teremos n > 1. Por extensão, definimos o índice de
refração do vácuo, que obviamente é igual a 1. Portanto, sendo n o
índice de refração de um meio qualquer, temos:

Leis de Refração
1) O raio incidente, o raio refratado e a normal, no ponto de
incidência, estão contidos num mesmo plano.
A normal é uma reta perpendicular à superfície no ponto de
incidência, θA é denominado ângulo de incidência e θB, ângulo de
refração.
2) Lei de Snell-Descartes - Os senos dos ângulos de incidência e
refração são diretamente proporcionais às velocidades da onda
nos respectivos meios.
Ou seja:
Dessa igualdade tiramos:
Exercícios
1)
Mediu-se o módulo da velocidade da luz amarela de sódio
propagando-se num sólido e obteve-se o valor de 2,0 . 108 m/s.
Qual o índice de refração absoluto desse sólido, para a luz de
sódio? Usar velocidade da luz no vácuo.
2)
Um raio luminoso que se propaga no ar "n(ar) =1" incide sobre um
meio transparente de índice de refração n, fazendo um ângulo de
60° com a normal. Nessa situação, verifica-se que o raio refletido
é perpendicular ao raio refratado, como ilustra a figura.
3) Na figura adiante, um raio de luz monocromático se propaga pelo
meio A, de índice de refração 2,0.
Dados: sen 37° = 0,60
sen 53° = 0,80
Devemos concluir que o índice de refração do meio B é?
4) A figura a seguir indica a trajetória de um raio de luz que passa de
uma região semicircular que contém ar para outra de vidro, ambas
de mesmo tamanho e perfeitamente justapostas.
Determine, numericamente, o índice de refração do vidro em
relação ao ar.
Reflexão
Reflexão é um fenômeno físico no qual ocorre a mudança da
direção de propagação da luz (desde que o ângulo de incidência
não seja de 90°). Ou seja, consiste no retorno dos feixes de luz
incidentes em direção à região de onde ela veio, após os mesmos
entrarem em contato com uma determinada superfície refletora.
Tipos de Reflexão
Reflexão regular: é a reflexão que ocorre numa superfície lisa e
polida. Exemplo: espelho.
Reflexão difusa: é a reflexão que ocorre numa superfície irregular.
Nesta reflexão os raios espalham-se desordenadamente em todas
as direções.
Leis de Reflexão
1° lei – O raio incidente, o raio refletido e a normal são coplanares,
ou seja, pertencem ao mesmo plano.
2° lei – O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência, ou
seja, r = i.
Espelhos

Espelhos Planos: Uma superfície lisa e plana, que reflete
especularmente a luz é denominada espelho plano.
Considere um objeto O colocado em frente a um espelho plano. A
luz que sai do objeto e incide no espelho é refletida. A figura abaixo
mostra alguns raios luminosos incidentes no espelho, bem como os
raios refletidos, sempre de acordo com as leis da reflexão.
Verificamos
que
esses
raios
refletidos
formam
um
feixe
divergente como se estivesse sendo
refletida pelo ponto I que situa-se a
uma distância d do espelho que é
exatamente a mesma distância
entre o ponto O e o espelho. Essa
imagem, por ser conjugada pelos
prolonga-mentos dos raios refletidos
é uma imagem virtual.

Posição da Imagem: Em um espelho plano, a imagem é simétrica
do objeto em relação ao espelho. Objeto e Imagem estão sob a
mesma perpendicular ao espelho, separados pelo plano do espelho
e eqüidistantes deste.

Campo visual Campo Visual é a região do espaço que
determinado observador pode enxergar por reflexão. A demarcação
do campo pode ser feita de forma simples. Dada a posição do
observador O, determina-se a posição simétrica O’ em relação ao
espelho. A região do espaço visível por reflexão é determinada
ligando-se o ponto O’ às extremidades do espelho.
Translação de um Espelho Plano
Um deslocamento do espelho em direção ao objeto desloca a
posição da imagem. Ao se deslocar o espelho por uma distância d,
na direção do objeto, a imagem se desloca por uma distância 2d,
também na direção do objeto. Desse modo, se o espelho estiver se
deslocando com velocidade v constante, a imagem estará se
deslocando com velocidade 2v.
Imagens Múltiplas
Quando usamos mais de um espelho plano para formar a imagem
de um objeto, poderemos obter múltiplas imagens a partir de um
único objeto. O número de imagens depende do ângulo entre os
espelhos e é dada por:
Exercícios
1) A figura abaixo mostra dois espelhos planos E1 e E2, que formam
entre si um ângulo de 60º. Um raio de luz i incide sobre E1 com
ângulo de incidência de 40º. O raio refletido vai atingir E2 com
ângulo de incidência de?
2) Olhando para o espelho plano E, o observador O vê as imagens de
quais objetos numerados?

Espelhos Esféricos
Uma superfície lisa, de forma esférica, que reflete especularmente a luz, é
um espelho esférico. Se a luz estiver refletindo na superfície interna,
dizemos que o espelho é côncavo e se ocorrer na superfície externa,
dizemos que o espelho é convexo.
Espelho Côncavo
Espelho Convexo





Elementos Principais
Vértice do Espelho (V)
Centro de Curvatura (C): é o centro da esfera de onde se originou a
calota.
Raio de Curvatura (R): é o raio da esfera de onde se originou a
calota.
Eixo Principal: determinado por C e V.
Foco Principal: quando em um espelho esférico incide um feixe
paralelo, observa-se que o feixe refletido é convergente quando o
espelho é côncavo e divergente quando o espelho é convexo. Ao
vértice desse feixe refletido damos o nome Foco Principal (F).
Propriedades dos Espelhos Esféricos
Todo raio de luz que incide paralelo ao eixo principal reflete-se na
direção do foco principal.
 Todo raio luminoso que incide no espelho passando pelo foco(ou em
sua direção), reflete paralelamente ao eixo principal.
 Todo raio luminoso que incide no espelho passando pelo centro de curvatura(ou em sua direção),
reflete sobre o centro de curvatura(ou em sua direção).
F
C
 Todo raio de luz que incide no espelho no vértice, reflete formando o
mesmo ângulo com o eixo principal.
F
C

Construção de Imagens

Espelhos Côncavos
Para construirmos imagens de objetos extensos devemos construir
a imagem de cada um de seus pontos. Para tanto são necessários
dois raios principais, para cada ponto. Dependendo da posição do
objeto, o espelho côncavo conjuga diferentes imagens. Já o espelho
convexo conjuga sempre o mesmo tipo de imagem. Veja:
1) Objeto entre o Foco e o Vértice
Imagem: Virtual, Maior e Direita
2) Objeto sobre o Foco
Imagem: Imprópria
Não há o cruzamento dos raios, nem
dos prolongamentos dos raios, logo
não há formação de imagem.
3) Objeto entre o Foco e o Centro de Curvatura
Imagem: Real, Maior, Invertida
4) Objeto sobre o Centro de Curvatura
Imagem: Real, Mesmo Tamanho, Invertida
5) Objeto além do Centro de Curvatura
Imagem: Real, Menor, Invertida

Consideramos imagem real como aquela formada pelo cruzamento
dos raios refletidos e imagem virtual pelo cruzamento dos
prolongamentos dos raios refletidos. Imagem invertida é aquela que
parece estar de “cabeça para baixo”, em relação ao objeto. Imagem
direita é aquela que não está invertida.
Espelhos Convexos
Para qualquer posição do objeto
Imagem: Virtual, Menor, Direita
Equação dos Espelhos Esféricos
Estudaremos agora um conjunto de equações que nos permitirão obter
a posição e o tamanho da imagem de um objeto gerada por um
espelho esférico. Para que essas equações possam nos levar a
resultados coerentes, devemos estabelecer antes algumas
convenções. Simbologia e Convenção de Sinais.
do : abscissa do objeto = distância do objeto ao Vértice
di : abscissa da imagem = distância da imagem ao Vértice
f : abscissa do foco = distância focal
o : ordenada do objeto = altura do objeto
i : ordenada da imagem = altura da imagem
i
o
do
di

Equação dos Pontos Conjugados
 Equação do Aumento Linear Transversal
do
di
A expressão aumento deve ser entendida como ampliação ou como
redução. Se |A| > 1, a imagem é maior do que o objeto; se |A| < 1, a
imagem é menor do que o objeto. Além disso, se A é positivo, i e o têm
o mesmo sinal e a imagem é direita em relação ao objeto; se, pelo
contrário, A é negativo, temos uma imagem invertida em relação ao
objeto. Observamos também, pela equação, que uma imagem virtual é
sempre direita e uma imagem real, sempre, invertida.
Espelho Côncavo
Espelho Convexo
Elementos Reais
Elementos Virtuais
foco positivo: f > 0
foco negativo: f < 0
abscissa positiva
abscissa negativa
Exercícios
01. Uma fonte luminosa pontual se encontra sobre o eixo principal e
dista 60 cm do vértice de um espelho côncavo de distância focal igual a
20 cm. Trace raios a partir do objeto e localize sua imagem.
2) (ITA) Determinar graficamente a imagem de um objeto OA colocado
diante de um espelho côncavo, esférico, de raio R. A distância do centro
de curvatura C ao objeto é igual a 2R/3. A imagem é:
a) virtual, direta e menor que o objeto.
b) real, invertida e maior que o objeto.
c) real, invertida e menor que o objeto.
d) real, direta e maior que o objeto.
e) virtual, direta e maior que o objeto.
Resolução
Como o objeto é pontual e está sobre o eixo principal, todos os
raios principais se tornam o mesmo (que incide e reflete sobre o
eixo principal). Portanto, temos que resolver esse exercício de
outra maneira. Iremos usar como artifício a equação dos pontos
conjugados e obter a posição da imagem. A partir dessa
informação, qualquer raio que parta do objeto e incida no
espelho, irá obrigatoriamente refletir sobre a imagem e portanto
estará determinado.
Lentes
Introdução
A lente é um dispositivo refrator, ou seja, reconfigura a distribuição
da luz transmitida até ela.
Lentes podem ter as mais variadas formas, dependendo da
mudança desejada para a luz que incide sobre as mesmas. As mais
conhecidas são as lentes óticas de luz visível, cujas principais
aplicações são bastante conhecidas, e que podem ser classificadas
como veremos a seguir.
Classificação das lentes
Classificação quanto as faces:
Côncavo
convexa
Classificação Quanto Ao Comportamento Óptico
Nessas figuras a seguir consideramos que as lentes são de vidro e estão
imersas no ar (n vidro > n ar), que é o caso mais comum na prática. Nessas
condições, as lentes de bordos finos são convergentes e as lentes de
bordos grossos são divergentes.
Determinação Gráfica da Imagem
LENTES CONVERGENTES
1o Caso: Objeto situado antes do centro de curvatura C:
c1
c2

2o Caso: Objeto situado sobre o centro de curvatura C:
c1
c2

3o Caso: Objeto situado entre o centro de curvatura C e o Foco F:
c1
c2

4o Caso: Objeto situado sobre o Foco F:
5o Caso: Objeto situado entre o Foco F e o Vértice:
Lente Divergente

Temos apenas um caso:
Determinação Analítica da Imagem
F2
F1
f
do
f
di
Equação Conjugada de Gauss
Aumento Linear Transversal
Por definição, o aumento linear transversal A é a razão entre a altura
da imagem i e a altura do objeto o.
di
do
do
do
di
di
di
Convergência Ou Vergência De Uma Lente (V)
A convergência ou vergência mede a capacidade de uma lente de
convergir ou divergir os raios de luz incidentes. Assim, quanto maior
for a distância focal f, menor será a convergência V da lente.
Define-se convergência ou vergência de uma lente esférica
delgada como o inverso da distância focal:
Lente convergente: V > 0 → C > 0
Lente Divergente: V < 0 → C < 0
A unidade de vergência no SI: Dioptria (di)
Exercícios
1)
Um objeto está sobre o eixo óptico e a uma distancia p de uma
lente convergente de distancia f. Sendo p maior que f e menor
que 2f, pode-se afirmar que a imagem será:
a) Virtual e maior que o objeto;
b) Virtual e menor que o objeto;
c) Real e maior que o objeto;
d) Real e menor que o objeto;
e) Real e igual ao objeto;
2)
Um objeto é colocado perpendicularmente ao eixo principal de
uma lente convergente de distancia focal f. Se o objeto está a
uma distância 3f da lente, a distância entre o objeto e a imagem
conjugada por essa lente é:
a) f/2
b) 3f/2
c) 5f/2
d) 7f/2
e) 9f/2
3)
Um objeto tem altura h0 = 20 cm e está localizado a uma
distancia d0 = 30 cm de uma lente. Esse objeto produz uma
imagem virtual de altura hi = 4,0 cm. A distância da imagem à
lente, a distancia focal e o tipo da lente são, respectivamente:
a) 6,0 cm; 7,5 cm; convergente;
b) 1,7 cm; 30 cm; divergente;
c) - 6,0 cm; -7,5 cm; divergente;
d) 6,0 cm; 5,0 cm; divergente;
e) 1,7 cm; -5,0 cm; convergente.