Equações Algébricas e Números Complexos

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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
E
NÚMEROS COMPLEXOS




Equações Polinomiais.
Números Complexos: Operações e Representação Geométrica.
Propriedades das Raízes de uma Equação Polinomial.
Relações de Girard.
Escola Estadual Amaral Wagner
Ano Letivo: 2008
Professora Katia Aparecida Pazini
Turmas: 3.ªs Séries do Ensino Médio
Equações Algébricas – Segundo Bimestre de 2008 – Terceira Série do Ensino Médio – Professora Katia
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
I. INTRODUÇÃO:
A resolução de equações sempre foi uma das preocupações dos matemáticos, que se
perguntavam: toda equação polinomial tem solução?
Matemáticos como Albert Girard (1595 – 1632), Jean d´Alembert (1717 – 1783), Leonard Euler
(1707 – 1783) e Joseph Lagrange (1736 – 1813) envolveram-se na busca de uma resposta a essa
pergunta. Eles acreditavam que toda equação tinha uma solução, embora em sua época não
tivessem conseguido provar isso.
O primeiro matemático a provar que toda equação polinomial de grau n, n є |N*, e
coeficientes complexos têm ao menos uma raiz complexa foi Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855).
Mas o que é uma equação polinomial?
Já conhecemos, e sabemos resolver, algumas equações polinomiais, como por exemplo:


Equação polinomial de grau 1 é toda equação na forma ax + b = 0, com x є C, a є C* e b є C;
Equação polinomial de grau 2 é toda equação na forma ax 2 + bx + c = 0, com x є C, a є C* ,
b є C e c є C.
De forma análoga, podemos falar em equações polinomiais de graus 3, 4, 5 etc.
II. EQUAÇÃO POLINOMIAL:
Equação Polinomial (ou Equação Algébrica) de grau n ≥ 1 é toda equação da forma:
anxn + an + 1xn + 1 + an + 2xn + 2 + ... + a1x + a0 = 0 (1)
onde a variável x e os coeficientes an ≠ 0, an – 1 , an – 2 ,..., a1 , a0 pertencem ao conjunto dos números
complexos e n є |N*.
Um número complexo r é raiz (ou solução) de (1) se, e somente se,
anrn + an + 1rn + 1 + an + 2rn + 2 + ... + a1r + a0 = 0
Exemplos:
a.) São equações polinomiais:
2x3 – 7x2 + 4x – 1 = 0
ix2 + (3 + 2i)x + 4 = 0
b.) Na equação 2x3 – x2 + 8x – 4 = 0:
 1 não é solução, pois 2 . 13 – 12 + 8 . 1 – 4 = 0 é falsa.
 2i é solução, pois 2(2i)3 – (2i)2 = 8.2i – 4 = 0 é verdadeira.
III. VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO:
Consideremos o polinômio P(x) = anxn + an + 1xn
complexo z.
+ 1
+ a n + 2xn +
2
+ ... + a1x + a0 e o número
Substituindo x por z, obtemos o número complexo P(z), tal que:
P(z) = anzn + an + 1zn + 1 + an + 2zn + 2 + ... + a1z + a0,
que é chamado de valor numérico de P(x) para x = z.
Se P(z) = 0, dizemos que z é uma raiz do Polinômio P(x).
2
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Exemplos:
a.) Vamos encontrar o valor numérico do polinômio P(x) = 5x4 + 2x3 – x2 + 3x – 3 para x = -3.
Substituindo x por -3, temos:
P(-3) = 5(-3)4 + 2(-3)3 – (-3)2 + 3(-3)– 3 = 405 – 54 – 9 – 9 – 3 = 330
O valor numérico de P(x) para x = -3 é 330.
b.) Dado o polinômio P(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6, vamos verificar quais dos seguintes números são raízes de
P(x).
 x = -3
P(-3) = (-3)3 – 2(-3)2 – 5(-3) + 6 = -27 – 18 + 15 + 6 = -24
 x = -2
P(-2) = (-2)3 – 2(-2)2 – 5(-2) + 6 = -8 -8 +10 +6 = 0
Como P(-2) = 0, temos que -2 é raiz de P(x).
Exercícios:
1.) Quais dos seguintes números: 0 , -1, 1,
1
, 2 são soluções da equação 2x3 – 3x2 + 4x – 2 = 0?
2
2.) Seja a equação x3 + mx – m – 1 = 0.
a.) Determine m para que -2 seja solução.
b.) Para que valor de m, 1 é solução?
3.) Identifique as expressões que são polinômios, informando nesses casos qual é o grau do polinômio:
a.) 2x4 – 3x3 + x2 – x + 5
d.)
2 x3 – x2 + 10
e.) 5 x + 1
b.) 10x + 3
c.) 12t2 – 5t + 12
f.) 5x-2 – 3x + 1
4.) Dado o polinômio P(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 2, calcule:
a.) P(-1)
b.) P(0)
1

2
c.) P 
5.) Verifique se 4 é raiz do polinômio P(x) = x3 – 5x2 – 2x + 24.
6.) Determine as três raízes do polinômio P(x) = x 3 – 4x2 – 4x + 16, sabendo que elas pertencem ao
conjunto {-4 , -2 , 0 , 2 , 4}.
7.) Em relação ao polinômio P(x) = 5x4 – 3x3 + ax2 + 3x – 2, sabe-se que P(1) = -3. Nessas condições,
calcule o valor de a.
8.) Dado o polinômio: P(x) = (a2 – 16)x3 + (a – 4)x2 + (a + 4)x + 4, determine o grau de P(x) nos seguintes
casos:
a.) a = -4
b.) a = 4
c.) a ≠ -4 e a ≠ 4
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IV. POLINÔMIO IDENTICAMENTE NULO:
Um polinômio P(x) é chamado de identicamente nulo e indicado por P(x)  0 (lê-se: “P(x) é
idêntico a zero”) quando todos os seus coeficientes são iguais a zero.
Assim, o polinômio P(x) = (a – 3)x2 + (b + 1)x + (c – 2) será identicamente nulo se:
 a–3=0a=3
 b + 1 = 0  b = -1
 c–2=0c=2
Convém observar que se um polinômio P(x) é identicamente nulo, o valor numérico de P(x)
será o zero para qualquer valor atribuído à variável x, e, reciprocamente, se P(x) = 0 para qualquer
valor de x, então P(x) é identicamente nulo.
V. POLINÔMIOS IDÊNTICOS:
Consideremos os polinômios:
P1’(x) = anxn + an + 1xn + 1 + an + 2xn + 2 + ... + a1x + a0 e P2(x) = bnxn + bn + 1xn + 1 + bn + 2xn + 2 + ... + b1x + b0
Dizemos que P1(x) é idêntico a P2(x) e escrevemos P1(x)
coeficientes dos termos de mesmo grau forem iguais.
 P2(x) se, e somente se, os
Exercícios:
1.) Dado o polinômio P(x) = (b – 2)x3 + (c + 1)x2 + (a – 2b + c)x + b + 2c, para que valores de a , b e c
ele é identicamente nulo?
2.) Calcule a , b e c para que se tenha P1(x)
P2(x) = (2a – 3)x2 + (3b -5)x + c – 4.
 P2(x), sabendo-se que: P 1 ( x ) = x 2 + 4 x e
3.) Dados os polinômios P1(x) = (a + 5)x3 + (2b – 1)x2 + (a + b)x + 3a – 2bc – 4 e P2(x) = 3x3 + 3x2 – 10,
pede-se os valores de a , b e c para que eles sejam idênticos.
4.) Sendo (m + n)x2 + 13x + (m – n + p)
 3x2 + (3m + n)x + 8, calcule o valor de m e de n.
VI. RELAÇÕES DE GIRARD:
As relações entre os coeficientes de uma equação algébrica e as raízes de uma mesma
equação foram enunciadas em 1629 pelo matemático Albert Girard (1590 – 1632). Essas relações
poderão nos ser úteis na resolução de equações algébricas quando tivermos mais alguma
informação a respeito de suas raízes.
Vejamos essas relações para uma equação de 2.º grau.
Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), temos:
ax2 + bx + c = a(x – x1) . (x – x2)
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Dividindo os dois membros por a, obtemos:
b
c
b
c
x   ( x  x1 ).( x  x2 )  x 2  x   x 2  ( x1  x2 ).x  x1 .x2 
a
a
a
a
b

 x1  x2   a
Essas são as Relações de Girard para uma

Equação do 2.º Grau.
c
 x .x 
1
2
a

x2 
Consideremos agora uma equação do 3.º Grau qualquer ax 3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), cujas
raízes são x1 , x2 e x3. Procedendo do mesmo modo, temos:
ax3 + bx2 + cx + d = a(x – x1) . (x – x2). (x – x3)

b 2 c
d
x  x   x 3  ( x1  x2  x3 ).x 2  ( x1 x2  x1 x3  x2 x3 ).x  x1 x2 x3 
a
a
a
b

 x1  x2  x3   a

Essas são as Relações de Girard para uma
c

Equação do 3.º Grau.
  x1 x2  x1 x3  x2 x3 
a

d

 x1 .x2 .x3   a

 x3 
Prosseguindo com esse raciocínio, encontraremos para uma equação algébrica de grau n da
forma anxn + an + 1xn + 1 + an + 2xn + 2 + ... + a1x + a0 = 0 (n > 1 e an ≠ 0) as seguintes relações de Girard:
a n1
;
an

a soma das raízes é: 

a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas é: 

a soma dos produtos das raízes tomadas três a três é: 
.
.
.
an2
;
an
a n 3
;
an
.

o produto das n raízes da equação é igual a:
(1) n .a0
.
an
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Exemplos:
1.) Vamos escrever as relações de Girard para a equação: 2x4 – 2x3 – 25x2 + 26x + 120 = 0.
Temos: a = 2 ; b = -2 ; c = -25 ; d = 26 ; e = 120
Sendo x1 , x2 , x3 e x4 as raízes da equação, temos:




b
(2) 2

 1
a
2
2
c
25

x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 =
a
2
d
26

 13
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = 
a
2
e 120

 60
x 1x 2x 3x 4 =
a
2
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 
2.) Dada a equação 6x3 – 13x2 + 9x – 2 = 0, de raízes y , z e w, vamos calcular:
a)
1 1 1
 
y z w
b)
1
1
1


yz yw zw
c) y2 + z2 + w2
Como a = 6 ; b = -13 ; c = 9 ; d = -2, pelas relações de Girard, temos:



(13) 13

6
6
9
yz + yw + zw =
6
( 2) 2

yzw = 
6
6
y+z+w= 
9
zw  yw  yz 6 9
1 1 1
a)
 
  =
2 2
yzw
y z w
6
13
w z  y
13
1
1
1
b)
=
 6 


2
yzw
2
yz yw zw
6
 13 
 9  169 18 169  108 61



– 2(yz + yw + zw) =    2  
6
36
36
6
 6  36
2
c)
y2
+
z2
+
w2 =
(y + z +
w)2
6
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Exercícios:
1.) Sendo a , b e c as raízes da equação x3 – 2x2 – 13x – 10 = 0, calcule:
a.) a + b + c
b.) ab + ac + bc
c) abc
2.) Determine m , n e p, sabendo que a equação x3 + mx2 + nx + p = 0 tem por raízes os números 2 , 3
e 5.
3.) Estabeleça as relações de Girard para as equações:
a.) 3x4 + 19x3 – 23x2 – 59x + 30 = 0
b.) x3 – 15x2 + 74x – 120 = 0
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I. OS CAMPOS NUMÉRICOS:
Já conhecemos e sabemos operar com os elementos do conjunto dos números naturais:
|N
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
0
|
1
|
2
|
3
|
2
|
2,6 3
7/2
do conjunto dos números inteiros:
Z/
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
4
|
5
do conjunto dos números racionais:
Q|
|
-2
| |
-1 -3/4
| | |
0 ½ 1
|
4/3
|
|
|
4
e do conjunto dos números reais:
 2
|R
|
|
|
-2
-1
-3/4
| |
0
½
|

10
!
|
1
O conjunto |R preenche a reta: a cada número real corresponde um ponto na reta e a cada ponto
da reta corresponde um número real.
Considerando como universo o conjunto dos números naturais, |N, a equação x + 2 = 0 não possui
solução. Em Z/, ela apresenta a raiz -2.
Considerando como universo o conjunto Z/, a equação 2x – 1 = 0 não possui solução. Em Q|, ela
apresenta a raiz
1
.
2
Considerando como universo o conjunto Q|, a equação x 2 – 2 = 0 não tem solução. Em |R, ela
representa as raízes
2 e  2.
Considerando como universo o conjunto |R, a equação x 2 + 1 = 0 não admite solução. Há um
campo matemático “mais amplo” do que |R, do qual |R é um subconjunto, onde esta equação
possui solução: é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS, C.
Em C, há números cujos quadrados são negativos. Isto é obtido considerando uma unidade
imaginária, i, com a propriedade: i2 = - 1.
Um número complexo qualquer pode ser escrito na forma: a + bi, onde a e b são números reais, que
é denominada forma algébrica do complexo. Por exemplo:
3 + 2i (a = 3 e b = 2); - 2 + 3i (a = - 2 e b = 3); - 3 – 2i (a = - 3 e b = -2); 4 – i (a = 4 e b = - 1); etc...
Quando b = 0 convencionamos representar a + bi apenas por
Por exemplo: 2 + 0i = 2 ; - 3 + 0i = - 3 ;
a + 0.i = a
.
1
1
+ 0i =
; etc....
2
2
Dizemos, então, que |R é subconjunto de C.
Quando b  0 e a = 0, convencionamos representar a + bi por bi : 0 + bi = bi (b  0). Neste caso, o
número bi é chamado de imaginário puro. Por exemplo: 2i ; - 3i ;
2
i ; 2 i ; - i ; etc... são números
3
imaginários puros.
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O conjunto C dos números complexos pode ser representado num plano cartesiano: a cada número
complexo a + bi corresponde um ponto de coordenadas (a , b) do plano e a cada ponto (x , y) do
ponto corresponde um número complexo x + yi.
Nesta correspondência, os números reais ficam representados pelos pontos do eixo das abscissas
(que chamamos de eixo real). Os imaginários puros ficam no eixo das ordenadas (que chamamos
de eixo imaginário).
Todos os números a + bi com b  0 costumam ser chamados de números imaginários. Por exemplo,
são imaginários os números: 2 + 3i ; - 5 – i ; 3 + i ; -6i ; 2 i ; etc....
Os números reais reunidos com os números imaginários formam o CONJUNTO DOS NÚMEROS
COMPLEXOS.
y
-2 + 3i
3 + 2i
i
0
1
x
4-i
- 3 - 2i
II. DEFINIÇÃO DE C:
Denominamos conjunto dos números complexos, C, ao conjunto dos pares ordenados de números
reais, (a ; b), escritos na forma a + bi, onde definimos:
 Igualdade: a1 + b1i = a2 + b2i  (a1 = a2 e b1 = b2)
 Adição: (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
 Multiplicação: (a1 + b1i) . (a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i2 =
= (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1)i
O número i, i = 0 + 1i, é denominado unidade imaginária. Pela regra da multiplicação de complexos
temos:
i2 = i . i = (0 + 1i).(0 + 1i) = (0 . 0 – 1 . 1) + (0 . 1 + 1 . 0)i = - 1 + 0i
Portanto,
i2 = - 1
III. IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS:
 Parte Real e Parte Imaginária
Dado o complexo z = a + bi, dizemos que a é a parte real e b é a parte imaginária de z. Indicamos:
Re(z) = a e Im(z) = b
O número z = a + bi é chamado:
a.) NÚMERO IMAGINÁRIO  quando b ≠ 0.
b.) NÚMERO IMAGINÁRIO PURO  quando b ≠ 0 e a = 0.
c.) NÚMERO REAL  quando b = 0.
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Exercícios:
1.) Determine a parte real e a parte imaginária de cada número complexo abaixo:
1
2

i
2
2
a.) z = 5 + 2i
c.) z =
b.) z =
d.) z = 6
2-i
e.) z = - 5i
f.) z = 1 – 8i
2.) Determine o número real p de modo que o número complexo z = (2p + 8) + (p – 2)i represente:
a.) um número real.
b.) um número imaginário puro.
3.) Calcule m de modo que o número complexo z = (m2 – 36) + (m + 6)i seja:
a.) imaginário puro.
b.) nulo.
4.) Resolva, no universo dos números complexos, as equações incompletas do 2.º grau:
a.) x2 + 36 = 0
b.) x2 + 24 = 0
c.) x2 + 144 = 0
5.) Resolva as equações em C:
a.) x2 – 4x + 5 = 0
b.) x2 + 2x + 5 = 0
c.) 2x2 + 5x + 4 = 0
d.) 4x2 – 8x + 7 = 0
e.) x4 + 16x2 – 36 = 0
f.) x4 + 27x2 = 0
IV. POTÊNCIAS DE I:
Para calcular as potências in, com n  |N aplicamos as regras usuais da Álgebra.
i0 = 1
i1 = i
i2 = - 1
i3 = i2 . i = - 1 . i = - i
i4 = i3 . i = - i . i = - i2 = - (- 1) = 1
Com essas potencies, podemos calcular todas as demais. Vamos calcular, por exemplo, i22.
Esse cálculo pode ser feito da seguinte maneira:
i22 = i4 . i4 . i4 . i4 . i4 . i2 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . (- 1) = - 1
Ou desta: i22 = i4 . 5 + 2 = (i4)5 . i2 = 15 . i2 = 1 . (- 1) = - 1
Na prática, dividimos o expoente por 4 e tomamos como expoente de i o resto da divisão:
22
4
2
5
i22 = i2 = - 1
Exercícios:
1.) Calcule as potências da unidade imaginária i.
a.) i6
b.) i7
c.) i8
d.) i81
e.) i103
2.) Sendo n um número natural, calcule as potências:
a.) i4n
b.) i4n + 1
c.) i4n + 2
d.) i4n + 3
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V. IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS:
Dois números complexos são iguais se, e somente se, forem respectivamente iguais suas partes reais e
imaginárias. Assim, dados z1 = a + bi e z2 = c + di, temos:
a + bi = c + di  a = c e b = d
Exemplo:
Vamos determinar os números reais x e y, de modo que as igualdades sejam verdadeiras.
a.) 2x – 5yi = 4 + 10i
b.) 4x + (y – 3)i = 20
2x = 4  x = 2
4x = 20  x = 5
-5y = 10  y = - 2
y–3=0y=3
Exercícios:
1.) Calcule, em cada caso, o valor de x e y.
a.) 3x + 7yi = 12 – 14i
b.) (x2 – 9) + (2y – 1)i = 5i
c.) (x + y) + (3x – y)i = 3 + 17i
d.) (2x – 3y) + (5x + y)i = 17
2.) Para que valores de x e y os complexos z1 = 2x + y – 6i e z2 = 6 + (x – y)i são iguais?
VI. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO:
Dado um número complexo z = a + bi, chamamos de conjugado de z o número complexo

z  a  bi  a - bi .
Exemplos:
a.) Se z1 = 6 + 4i, então: z1  6  4i  6 - 4i
c.) Se z2 = 4i, então: z2  4i  - 4i
b.) Se w1 = - 3 – i, então: w1   3 - i  - 3  i
d.) Se w2 = 5, então: w2  5
Exercícios:
1.) Dê o conjugado do complexo:
a.) z = 9 + 5i
b.) z = 2x + 4yi
c.) z = - 2 +
3i
d.) z = - 10i
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VII. OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA:
Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, com a , b , c e d reais, definimos as operações
a seguir:
 Adição:
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i
 Subtração:
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = a + bi – c – di = (a – c) + (b – d)i
 Multiplicação:
z1 . z2 = (a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci + bd(-1) =
= ac + adi + bci – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i
 Divisão: Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, com z2 ≠ 0, podemos obter o
quociente de z1 por z2, escrevendo-os sob a forma
z1
e multiplicando os dois termos da fração
z2
pelo conjugado de z2:
z1 a  bi
(a  bi) . (c - di)
ac  adi  bci  bd
ac  bd bc - ad





i
2
22
z2 c  di
(c  di) . (c - di)
c -d i
c 2  d2 c 2  d2
Exemplos:
Dados os números complexos z1 = 5 + 2i e z2 = 3 – 4i vamos calcular:
a.) z1 + z2 = (5 + 2i) + (3 – 4i) = (5 + 3) + (2 – 4) i = 8 – 2i
b.) z1 – z2 = (5 + 2i) - (3 – 4i) = (5 - 3) + (2 + 4) i = 2 + 6i
c.) z1 . z2 = (5 + 2i) . (3 – 4i) = 15 – 20i + 6i – 8i2 = 15 – 20i + 6i – 8(-1) = 15 – 20i + 6i + 8 = 23 – 14i
d.)
z1 5  2i (5  2i).(3  4i) 15  20i  6i  8i2 15  26i  8(-1) 15  26i  8 7  26i 7
26








i
z2 3 - 4i (3 - 4i) . (3  4i) 9  12i - 12i - 16i2
9 - 16(-1)
9  16
25
25 25
Exercícios:
1.) Calcule o valor da expressão: 2i5 + 4i10 – 10i3.
2.) Calcule o valor da expressão 3x4 – 5x3 + x2 – x + 38i , para x = - 2i.
3.) Dados os números complexos z1 = 3 + 2i e z2 = - 2 – 5i, calcule:
a.) z1 + z2 =
b.) z1 – z2 =
c.)
z1

zz
4.) Calcule os produtos:
a.) (4 + 5i) . (2 – 3i) =
c.) (6 – 5i) . (6 + 5i) =
b.) (- 2 + 8i) . (4 + 3i) =
d.) (4 – 5i)2 =
12
Números Complexos – Segundo Bimestre de 2008 – Terceira Série do Ensino Médio – Professora Katia
5.) Dados z1 = 2 + 5i ; z2 = - 6 + i ; z3 = 1 – 3i e z4 = - 2 – i , calcule:
a.) z1 + z2 =
c.) z2 – z3 =
e.) z1 + z2 + z3 + z4 =
b.) z3 + z4 =
d.) z1 – z4 =
f.) z1 – z2 + z3 – z4 =
6.) Calcule:
3  1 
- i  -   i  
4  4 
a.) 4 + 2i – (- 4 – 2i) =
c.) 
b.) – 6 + 8i – (- 6 – 8i) =
d.) – (1 – i ) + 1 -


1 
i  - 2i =
2 
7.) Dados z1 = 1 + i ; z2 = 3 + 2i e z3 = 6 – 4i, calcule:
a.) z1 . z2 =
b.) z2 . z3 =
c.) z1 . z3 =
d.) z1 . z2 . z3 =
8.) Calcule:
a.) i . (2 + 3i) =
c.) 2 . (3 – i) + i . (- 1 + 2i) =
b.) – 3i . (- 1 – 2i) =
d.) – 3 . 
1
 1
 2i  i (- 4 - 6i) 
2
 2
9.) Divida (2 + i) por (1 + i).
10.) Divida (2i) por (1 – i).
11.) Calcule os quocientes:
a.)
1i

3i
b.)
2i

1  2i
c.)
i

3  4i
d.)
1

1i
12.) Calcule o inverso de z em cada caso:
a.) z = 4 – 3i
b.) z = 12 + 5i
c.) z = i
d.) z = 1 +
2i
13
Números Complexos – Segundo Bimestre de 2008 – Terceira Série do Ensino Médio – Professora Katia
VIII. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO:
A forma algébrica a + bi é uma das maneiras de representar um número complexo. Outra
forma de representá-lo é escrevê-lo como par ordenado de números reais (a , b). Assim, podemos
representar os complexos:
a.) z1 = 2 + 3i por (2 ,3)
b.) z2 = 5 – 2i por (5 , -2)
c.) z3 = 4i por (0 , 4)
d.) z4 = 2 por (2 , 0)
e.) z5 = i por (0 1)
f.) z6 = -i por (0 , -1)
O número complexo z = a + bi é representado em um sistema de coordenadas ortogonais
pelo ponto de coordenadas (a , b).
O ponto P(a , b) que representa o complexo z = a + bi é chamado de afixo ou imagem
geométrica de z.
y
b
0
Eixo imaginário
Você Sabia?
P(a , b)
x
EixoaReal
x
Gauss, em 1832,
estabeleceu
um
método
para
localizar
os
números
complexos
no
plano,
hoje,
conhecido
por
Plano de Gauss ou
Plano de ArgandGauss.
Exercícios:
1.) Represente no plano de Argand-Gauss os seguintes números complexos:
a.) z1 = 2 + 3i
b.) z2 = 3 – 2i
c.) z3 = -2 – 3i
d.) z4 = 2i
e.) z5 = -3 + i
2.) Coloque na forma algébrica os complexos:
a.) z1 = (2 , 5)
b.) z2 = (-1 , 4)
c.) z3 = (0 , 5)
d.) z4 = (
2 , 0)
14
Números Complexos – Segundo Bimestre de 2008 – Terceira Série do Ensino Médio – Professora Katia
TESTANDO SEUS CONHECIMENTOS....
1.) (PUC – RS) Se z é um número complexo e
_
_
z é o seu conjugado, então z . z é igual a:
a.) |z|2
b.) |z|
c.) z2
_
d.) z
e.) z
2.) (Furg – RS) As imagens dos números complexos 1 + 2i , -2 + i e -1 – 2i s]ao vértices de um quadrado.
O quarto vértice do quadrado corresponde ao número:
a.) -2 – i
b.) -1 + 3i
c.) -3 – i
d.) 2 – i
e.) 1 – 2i
3.) (Esal – MG) O valor simplificado da expressão
a.)
b.)
c.)
d.)
e.)
1 i
é:
3i
4i
2
2i
5
1 i
4
2i
2
3i
9
4.) (PUC – MG) O número complexo (1 + i)10 é igual a:
a.) 32
b.) -32
c.) 32i
d.) -32i
e.) 32(1 + i)
5.) (Coperves – RS) Seja o complexo z = i(1 – i) – 2i, seu conjugado é:
a.) 1 + i
b.) -1 + i
c.) 1 – i
d.) 1 – 2i
e.) 1 + 2i
15
Números Complexos – Segundo Bimestre de 2008 – Terceira Série do Ensino Médio – Professora Katia
6.) (FEI – SP) Se
2i
 1  i , então o número complexo z é:
z
a.) 1 – 2i
b.) -1 + i
c.) 1 – i
d.) 1 + i
e.) -1 + 2i
7.) Represente o número real que corresponde à expressão:
1
1

.
1 i 1 i
8.) Represente na forma a + bi as seguintes expressões:
3i
i2


2i 3i
3 i
3 i


3 i
3 i
a.) 2 
b.)
9.) Determine o número real p de modo que o complexo z = (5p + 10) + (p + 1)i represente:
a.) um número real.
b.) um número imaginário puro.
10.) Para que valores reais de x o número complexo z = (2x – 3) + (x2 + 5x)i é um número real?
11.) Qual deve ser o valor de m є |R, tal que o complexo z = (m2 – 4) + (m – 2)i represente um número
imaginário puro?
12.) Se o complexo z = (y2 – 3y) + (y2 – 9)i representa um número imaginário puro, então qual é o valor
de y?
13.) Simplifique as expressões:
a.) (2 + 7i)i – (3 + 5i)(5 – i)
b.) (2 + 5i)2 + ( 2 
2i ) 2
14.) Dado o produto (2m – 3i).(m – 2i), pede-se o valor de m para que se tenha:
a.) um número real.
b.) um número imaginário puro.
15.) Dê o conjugado dos complexos:
a.) z = 10 + 6i
b.) z = 9 – 12i
c.) z = -2 + 20i
d.) z = -4 – 14i
e.) z = 9i
f.) z = 3x – 4yi
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