Aula 9 - Instituto de Física / UFRJ

Transmissão de Sinais
Prof. Marcelo Sant’Anna
Sala A-310 (LaCAM) e-mail: [email protected]
Laboratório de Física Corpuscular - aula
expositiva 9 - 2008.1 - IF - UFRJ
1
Transmissão de Sinais

Quero transmitir o sinal do ponto A ao ponto
B e preservar a informação no sinal

Desejo este comportamento ideal para sinal
de qualquer freqüência.

Isto é possível ???
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Cabos coaxiais

Cabo condutor interno (D) e malha condutora externa
(B) separados por camada de dielétrico (C)

A malha externa, além de sergir com terra, blinda o
sinal de campos EM externos
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Cabos coaxiais

Dada sua configuração geométrica os cabos coaxiais
necessariamente tem capacitância e auto-indutância. Para
cabos suficientemente longos
L
 b
ln  
2  a 
[H/m]
2
b
ln  
a
[F/m]
C
onde a e b são os raios do cilindros interno e externo,
respectivamente,  e  são a permeabilidade magnética e
permissividade elétrica, respectivamente.
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Cabos coaxiais

Os sinais são transmitidos pelo cabo coaxial como uma onda.
Ele é um guia de ondas.


os sinais são transmitidos no modo TEM
É interessante também representar um cabo coaxial como um
elemento de circuito e considerar a tensão e a corrente no
cabo em vez dos campos elétricos e magnéticos.
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Cabos coaxiais: modelagem em V e I

Circuito equivalente de uma unidade de linha de transmissão





L, C, R, e G quantidades/unidade de comprimento
R é a resistência do cabo real / unidade de comprimento
G é a condutância do dietétrico / unidade de comprimento
L e C já discutidos
Considere uma pequena unidade de comprimento infinitesimal
do cabo, Z. Vamos então calcular as diferenças V e I
através desta pequena distância
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Cabos coaxiais: modelagem em V e I
I ( z, t )
V ( z, t )   Rz I ( z, t )  Lz
t
V ( z, t )
V ( z, t )
I ( z, t )  
 Cz
1
t
Gz

No limite z → 0
V
I
  RI  L
z
t
I
V
 GV  C
z
t
 2V
 2V
V

LC

(
LG

RC
)
 RGV
2
2
z
t
t
2I
2I
   2 
2
z
t
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 I   
t
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Cabos coaxiais: o cabo ideal sem perdas
 2V
 2V
 LC 2
2
z
t

R=0 e G=0

Suponha que um sinal senoidal no tempo (ou seja,
uma componente Fourier) V=V(z) exp(it) é
aplicado no cabo temos:
d 2V
2
2



LCV


k
V
2
dz
onde k2 = 2LC. A solução espacial é então da forma

A solução espacial tem, portanto, a forma
V ( z )  V1e ikz  V2 e ikz
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Cabos coaxiais: o cabo ideal sem perdas

A solução geral tem a forma:
V ( z)  V1ei (t kz )  V2 ei (t kz )

Superposição de ondas propagantes para a direita
e para a esquerda (ondas refletidas !)

Velocidade de propagação

1
v 


LC
1

2
ln b / a 
2
ln b / a 
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
1

c
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Cabos coaxiais: o cabo ideal sem perdas

Impedância característica (Z0):
V
I
 L
z
t
V
L
Z0  
I
C
I
V
 C
z
t
V ( z )  V1ei (t kz )  V2 ei (t kz )

Z0 é independente do comprimento do cabo !
Z0 

L

C
1

2
ln b / a 

2
ln b / a  2

ln b / a 

Valores de b/a razoáveis → Z0 ~ 50-200 W
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Algumas observações:

A velocidade de propagação do sinal é freqüentemente expressa em
termos de seu inverso, o tempo de propagação por unidade de
comprimento T= v-1 = (LC)1/2. Esta quantidade é conhecida como o
atraso (delay) do cabo e é tipicamente da ordem de 5 ns/m para um
cabo padrão de 50 W.

Então, num cabo de comprimento l , o tempo de trânsito de pulso, ou
seja, o tempo que o pulso leva para propagar de um extremo a outro do
cabo é Ttr = l T . Um pulso será considerado rápido se o seu rise time
for menor do que Ttr e será lento de o rise time for maior do que Ttr.

Mas por quê 50 W ? A impedância ótima (teórica) para atenuação
é 77 W, enquanto que a melhor impedância para lidar com o máximo
de potência é 30 W. A média é 53,5 W ~ 50 W. Cabos de 75 W também
são muito utilizados porque são próximos a impedância para minimizar
a atenuação.
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Reflexões
…

V = f(x-vt)+ g(x+vt) → interferência, distorção, ecos

Reflexões ocorrem sempre que uma onda propagante
encontra um novo meio no qual a velocidade é diferente.


Em meios óticos → mudança do índice de refração.
Em linhas de transmissão → mudança abrupta na
impedância característica de uma linha
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Reflexões

“Terminando” um cabo


Cabo de impedância característica Z terminado por uma resistência R (a
impedância de entrada de algum aparelho eletrônico, por exemplo )
Conforme o sinal atravessa o cabo, a razão V/I deve ser
sempre igual a Z por definição. Quando chega à interface,
reflexões são formadas de modo a ajustar V/I para a nova
impedância característica.
Vo
Z
Io
Vr
Z 
Ir
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Reflexões
na interface (z = 0)
Em geral
V ( z, t )  Vo e
i  wt  kz 
 Vr e
i  wt  kz 
V (0, t )  R i (0, t )
Vo e i  wt   Vr e i  wt  
Vo  Vr 

R
Vo e i  wt   Vr e i  wt 
Z
R
Vo  Vr   Vt  RI t
Z
Onde V(t) e I(t) são a tensão e a corrente transmitidos.
V
I
RZ
 r  r 
A partir destas equações encontramos
Vo
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
Io
RZ
T
Vt
2R

Vo R  Z
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Casamento de impedâncias

Vr
I
RZ
 r 
Vo
Io R  Z

→

Casador de impedâncias (usualmente 50 W)
Terminação em paralelo


Terminação em paralelo
Terminação em série
R
R
entrada
saida
Terminação em série
R
R
Exemplo: um sinal é enviado de um cabo coaxial de impedância Z1 para outro cabo de impedância Z2.
Que tipo de terminação deve ser usado de modo a evitar reflexões?
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Terminação em paralelo com a carga (shunt termination)

Se Z1 < Z2
Aqui a impedância que o cabo 1 vê deve ser reduzida.
Isto implica que devemos adicionar uma resistência R em paralelo ao cabo
A combinação deve ser igual à Z1
Z1 = RZ2/(R+Z2)
R = (Z1 Z2)/(Z2- Z1)
Z2
Z1
R
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Terminação em série com a carga

Se Z1 > Z2
A impedância vista pelo cabo 1 deve aumentar. Então somamos uma
resistência R em série.
Então Z2 + R = Z1
R = Z1 – Z 2
Z2
Z1
R
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Perdas em cabos coaxiais


Perdas de sinal são devidas à resistência (R) no fio
condutor e perda através do dielétrico (G). Um terceiro
fator, embora desprezível, é devido a perda por radiação
eletromagnética. A blindagem dos cabos coaxiais
minimiza bastante este efeito
O efeito de R e G sobre a propagação do sinal pode ser
visto retornando à zV  LC tV  (LG  RC ) Vt  RGV
e aplicando o sinal senoidal V=V(z) exp(it) ao cabo, o
que leva a
2
2
2
2
2
d V
 ( R  iL)(G  iC )V   2V
2
dz
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Perdas em cabos coaxiais

Em
d 2V
 ( R  iL)(G  iC )V   2V
2
dz
o número complexo, ,
    i  ( R  iL)(G  iC)
é conhecido como a constante de propagação. A solução geral é então
V ( z, t )  V1e



z
e
i (t z ) 
z
 V2 e e
i (t z ) 
 é geralmente pequeno, de modo que a perda começa a ser um problema para cabos
com algumas dezenas de metros.
Há dependência de  e da velocidade de fase v = d/d com com a freqüência . Isto
implica uma atenuação diferente nas componentes de freqüência que leva à dispersão
do pacote de pulsos.
há ainda uma dependência implícita devido ao fato que R e G também dependem de 
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Perdas em cabos coaxiais


Para sinais com f = (/2) 100 kHz, a velocidade é aproximadamente
independente da freqüência (veja exercicio 7 da primeira lista), que por
sorte é a região de interesse para pulsos rápidos (Fig. 7).
Por outro lado, na região de altas freqüências, R começa a variar com 
através do skin effect. De fato, com o aumento de , a corrente começa a
se localizar cada vez mais numa camada próxima à superfície do condutor.
A área efetiva do condutor é então reduzida, aumentando a resistência.
Para um cabo coaxial, resulta em uma resistência por unidade de
comprimento que varia aproximadamente com a raiz quadrada da
freqüência e inversamente com os raios internos e externos
R( ) 
1
2
 1 1
(  )
2 a b
W/comprimento
onde  é a condutividade,  a permeabilidade, a e b os raios interno e externo
do cabo.
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