Material de apoio: interacção gravítica

Material de apoio: interacção gravítica
 Equação

do Movimento
movimento rectilíneo
referencial do CM de M

r
M
m

F

v


a t  ur  constante


r (t )  r (t )ur
distância do CM de m ao CM de M

Mm  
F  G 2 ur 

M 

a


G
ur
r

2

r


F  ma



 d 2 r d 2 (rur ) d 2 r 



a 2 
 2 ur  rur
2

M 
dt
dt
dt
ru r  G 2 u r
r
equação do movimento
pode ser obtida uma equação mais simples,
recorrendo à expressão da energia mecânica que
se conserva
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação

do Movimento
movimento rectilíneo

v


a t  ur  constante
referencial do CM de M

r
m

F
1
Mm
2
E  mv  G
2
r


  d (rur ) d (rur )


v v 

 rur  rur  r 2
dt
dt
M
E
vector constante
1
Mm
2
Mm 
mr 2  G
 r  
E

G


2
r
m
r 
equação do movimento
+ : movimento de afastamento, distância aumenta com o tempo
- : movimento de aproximação, distância diminui com o tempo
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação

do Movimento
movimento rectilíneo
r  

v


a t  ur  constante
2
Mm 
E G

m
r 

r
dr
2
Mm 

E

G



r0
dt
m
r 
dr '

2
Mm 
E G

m
r' 
constante
t
  dt '
t
0
integral com solução analítica, embora complicada
expressão analítica para o vector posição: conhecida a posição de m t
E  0 m atinge distância máxima e reaproxima-se, não escapa ao campo gravítico
E  0 m atinge o  com velocidade = 0, escapa ao campo gravítico
E  0 m atinge o  com velocidade > 0, escapa ao campo gravítico
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação

do Movimento
movimento curvilíneo
referencial do CM de M
m

r
M


r (t )  r (t )ur (t )
distância e direcção variam com o tempo
E

F
1
Mm
mv 2  G
2
r


  d (rur ) d (rur )  
   
 


v v 

 r ur  r
 u  r ur  r
 u  r 2  r 2 2  r 2  r 2 2
v
 v

dt
dt
v
v


 r
  r



2
1
Mm
1
1
L
Mm
E  m r 2  r 2 2  G
 L  mr 2  E  mr 2 

G
2
r
2
2 mr 2
r
derivando em ordem ao tempo obtem-se (E e L são constantes)
 L2 1 
 1 2 
 Mm 

d 
d  mr 
d
G

2 
2
2
m
r

dE
L
r
2
r
  mrr; 
 

  -GMm r
 0; 
;
dt
dt
dt
m r3
dt
r2
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação

do Movimento
movimento curvilíneo: obtem-se a equação
referencial do CM de M

r
M



L2 1
1
r  2 3  GM 2  0
m r
r
m

F
equação do movimento que não tem solução analítica
é sempre possível resolução numérica-computacional
MAS é possivel obter uma equação para a trajectória com solução analítica
trajectória plana : posição determinada apenas por 2 coordenadas : r e 
obtem-se expressão analítica para a função r ()
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação

do Movimento
movimento curvilíneo: obtenção da função r()
dr d
dr  


d dt
d 

L

L  mr 2     
2

mr

r ( )  r 
r  
L dr
mr 2 d

d  L dr  
d  L dr  L
L2 1 dr
L2 1 d 2 r
r  
 r  2 2 5
 2 4

 


2
2
2
d  mr d 
d  mr d  mr
m r d m r d 2

defina-se a variável  
1
r
1
2
2
2
2
2  dr 
1
d
1 dr
d 
1
d
r
2
dr
1
d
r


r 
 
 2










r
d
dr  d 
r d
d 2
r 2 d 2
r 3  d 
r 2 d 2
2
pelo que
d
L2 2 d 2 
r   2 
m
d 2
que inserindo na equação do
movimento conduz a:
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação do Movimento
 movimento curvilíneo: obtenção da função r()
inserindo na equação do movimento
L2 2 d 2  L2 3
d 2
2
 2
 2   GM  0 
 (   0 )
2
2
m
d
m
d

d 2 (   0 )
 (    0 )
2
d
GMm 2
L2 constante
equação diferencial já conhecida
equação do oscilador harmónico com W=1
solução analítica muito simples
 ( )  0  A cos(   0 )
a determinar em função das constantes do movimento E e L
= 0 por ajuste
do sistema
de eixos
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação do Movimento
 movimento curvilíneo: obtenção da função r()

d  1 A
definindo 
  d  1 0


A

0


relembrando   1 r

cáculo de d=1/A e =A/0 em função de E e L
d
 1   cos
r ( )
1
1 L2
Mm
2
E  mr 

G
2
2 mr 2
r
d 1 d
1
1 d d
1 d 
1
r   r  
  2    2
 2
  r 2  2

d  dt

 d dt
 d

1
 d 
 d
 A cos  0   A2 sin 2 

 
 d 
 d

2
2
 d   2

 
d



2
L2
2

  2 4
m r
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação

do Movimento
movimento curvilíneo: obtenção da função r()
assim
1
1 L2 2
2
A sin 2 
 mr 
2 m
2
 1 L2
1 L2
2



A
cos




0
2
2
2
m
mr

 Mm
G r  GMm A cos    0 

introduzindo na equação da energia
conduz a
2
 Mm 
2m
2m 2
2
A  2 E  G 2   2
L
L 
L

2
dividindo por  02 e relembrando que  2  A2 02
2E  L 
2
  1
m  GMm 
2
 Mm 
G L 
2
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação
do Movimento
movimento curvilíneo: obtenção da função r()
2
assim
2
E
L


d
2

r ( )
 1   cos
  1
m  GMm 

L2
d
GMm2
parâmetros da cónica expressos em função
das quantidades do movimento E e L
equação geral da cónica
 – excentricidade
d - distância do foco F à directriz D
o que define uma cónica: a razão das distâncias de qualquer ponto P ao foco
e à directriz é igual à excentricidade 
D
cónica

r
P
distância de P ao foco
r
 
d  r cos 

F
d
distância de P à directriz
 r   (d  r cos  )

d
 1  cos 
r
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação

do Movimento
movimento curvilíneo: obtenção da função r()
as 3 cónicas
E  0   < 1 – cónica é uma elipse: m não tem energia para escapar ao
campo gravítico de M  trajectória fechada
E  0   = 1 – cónica é uma parábola: m tem energia (mínima) para
escapar ao campo gravítico de M  trajectória aberta
E  0   > 1 – cónica é uma hipérbole: m tem energia para escapar ao
campo gravítico de M  trajectória aberta


foco da cónica encontra-se na origem do referencial
origem do referencial é o CM de M, a massa que cria o
campo gravítico a que m está sujeita : centro da força
foco da cónica está
no CM de M
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação

do Movimento
movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: parábola  = 1
y

r

F c
d
d
 1   cos 
 1  cos
  1 r ( )
r ( )
D
2
2


 d  r  r
cos


d

x

r

d

x

r


x2  y 2
x
P
V
x
 x
d
1 2

y
2
2d
equação cartesiana de uma parábola
com vértice V em (d/2,0)
d
no vértice V tem-se:   0 : x  r  c  d  x  r  c  d
2
relaciona as distâncias do foco ao vértice e do foco à directriz
O foco é o centro da força
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação do Movimento
 movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: elipse  < 1
D
y
 P
r
b
V2
a
O
r2

c
V1 x
F
d
 1   cos  d  r   r
cos



r ( )
x
2
2
2
2
  d  x   x  y

V1 :   0  r  a  c  d  a  c   (a  c)
V2 :     r  a  c  d  a  c   (a  c)

a - semieixo maior
b - semieixo menor
d
equação cartesiana de uma elipse com
centro O em (-c,0)
O foco é o centro da força
c
a2  c2
   1  d 
a
a
( x  c) 2
y2
 2
1
2
2
a
a

c

b2
 = 0 (a = b) : circunferência
Material de apoio: interacção gravítica
 Equação do Movimento
 movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: hipérbole  > 1
y
 P
r
F
d
 1   cos  d  r   r
cos



r ( )
x
  2 d  x 2  x 2  y 2

D
 V1
a
r2
V2
O
V1 :   0  r  c  a  d  c  a   (c  a )
x V2 :     r  a  c  d  a  c   (a  c)

c
c2  a2
   1  d 
a
a
d
c
equação cartesiana de uma hipérbole
com centro O em (c,0)
O foco é o centro da força
( x  c) 2
y2
 2
1
2
2
a
a

c

b2
Nota: o ramo direito da hipérbole seria a trajectória se no
foco estivesse o centro de uma força repulsiva
Material de apoio: interacção gravítica
 Leis
de Kepler

1ª Lei : todos os planetas do sistema solar descrevem órbitas
elípticas com o sol num dos focos

planetas não escaparam ao campo gravítico do sol  descrevem
trajectórias fechadas com E  0
elipses são as únicas soluções da equação do movimento com
E0

 P
r
b

c
V2
a
O
F
V1
Sol no foco: centro da força
V1- periélio: ponto de menor distância do planeta ao Sol, (a-c), menor Ep, maior velocidade
V2- afélio: ponto de maior distância do planeta ao Sol, (a+c), maior Ep, menor velocidade
Material de apoio: interacção gravítica

Leis de Kepler

2ª Lei : o vector , definido pelo sol e planeta, varre áreas iguais
em intervalos de tempo iguais
porque d é infinitesimal
P'
P' '



dr  rdu  drur
d

r
P

rdu
O
Sol
planeta
dAPOP''
dAPOP'  dAPOP''

área varrida por r em dt
área do triângulo rectângulo:
ângulo recto em P
dAPOP'' 1 2 d
1
1 2
 r rd 
 r
 r

2
dt
2
dt
2L m
constante do movimento

dAPOP'' 1 L

 constante
dt
2m
taxa de varrimento
é constante
Material de apoio: interacção gravítica

Leis de Kepler

3ª Lei : o quadrado do período de revolução em torno do sol é
proporcional ao cubo do semieixo maior da elipse a
2
T 1 L
dAPOP'' 1 L
1 L
1
L
2

 A
dt 
T  A2 
T
0 2 m
dt
2m
2m
4 m2
área total varrida num período = área da elipse
A ab
L2
d 
GMm 2
a2  c2 b2
d 

a
a
2
(
2

)
T2 
a3
GM
constante de proporcionalidade
Material de apoio: interacção gravítica

Leis de Kepler

3ª Lei numa órbita circular

F
sol
Mm
v2
2
2
3  2 
G 2 m
 GM  rv  r (r )  r 

r
r
 T 
força gravítica é puramente normal

2
(
2

)
T2 
r3
GM
2
Material de apoio: interacção gravítica
 Superfície da Terra (planeta)
 movimento curvilíneo dum grave é parabólico
 elipse tem que se confundir com uma parábola na vizinhança do
eixo:  ~ 0
O- centro da elipse
O
F
c

r
 ~ 0  rcos
 c  a


P
x
a
x
( x  c)
y
a2 2
2
2
 2  1  ( x  c)  a   2 y
2
a
b
b

2
troço de elipse que se
confude com uma
parábola
2
a2 2

( x  c)  a ( x  c)  a    2 y

b
 2a
superfície da Terra
F- foco: CM da Terra
origem do referencial
x  (a  c)  
a 2
y
2
2b
parábola de vértice em (a-c,0)
Material de apoio: interacção gravítica

Superfície da Terra (planeta)


movimento curvilíneo dum grave é parabólico
hipérbole tem que se confundir com uma parábola na vizinhança
do eixo:  ~ 0

r
F
 ~ 0  c  rcos
 a


P
O
x
a
c
superfície da Terra
F- foco: CM da Terra
origem do referencial
x
( x  c) 2 y 2
a2 2
2
2
 2  1  ( x  c)  a  2 y
2
a
b
b

troço de hipérbole
que se confude
com uma parábola
a2 2
( x  c)  a 
( x  c)  a   2 y
 b
 2a
a 2
x  (c  a )   2 y
2b
parábola de vértice em (c-a,0)