x 1 - x 2 - Grupo de Astronomia Sputnik
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Determinação da Latitude e da Declinação 11 05 06 R. Boczko IAG-USP Latitude j e Longitude l PN Greenwich j l j<0 PS Movimento noturno aparente olhando ao Sul 24 horas 20 horas 22 horas Pólo Sul Sul Leste Oeste Latitude Austral Z PS E N j S W Movimento noturno aparente olhando ao Norte desde o HS 20 horas 24 horas 22 horas Leão Norte Oeste Leste Movimento noturno aparente de uma estrela circumpolar norte Pólo Norte Norte Oeste Leste Latitude Boreal Z PN j L N S W Nadir Latitude astronômica e/ou geográfica Zênite PS jA Horizonte j hPN PS jG x jA j = - hPS Horizonte PN Equador PS PN jA = jG Trajetórias diurnas das estrelas Trajetórias diurnas paralelas PNC Eixo de rotação PN PS N PSC L Coordenadas Horárias e Equatoriais Z PN p M a g W d H Tipos de Meridianos Zênite Meridiano Zenital Z Horizonte N S PV Meridiano Nadiral Horizonte Nadir Z E N Horizonte S PI W Nadir Z Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método geométrico) Latitude e declinação no HN hp = (hs + hi) / 2 j hp CS Se a culminação superior se der ao sul do zênite: hs = 1800 - hCS PN p p d Equador hs PN Z PN hp p = (hs - hi) / 2 d = 900 - p Oeste CI hi N hs hCS S N Leste Latitude e declinação no HS hp = (hs + hi) / 2 j = - hp CS PN Equador d r hs PS r Se a culminação superior se der ao norte do zênite: hs = 1800 - hCS Z PS PS r = (hs - hi) / 2 d=- (900 - r) hp CI hi hCS N hs S S Leste Oeste Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de passagens meridianas No Verão, quando a noite é curta, o processo não funciona pois não se pode ver as 2 culminações meridianas num mesmo dia. CS P CI Obtenção do pólo visível através de culminações Obtenção do pólo norte com Culminações Z PN a d CS M CI N Horizonte S Obtenção do pólo sul com Culminações CS Z PS M CI N a d Horizonte S Latitude local e Declinação da estrela através de passagens meridianas (Método algébrico) Culminações ou passagens meridianas Culminação ou passagem meridiana Z Na passagem meridiana superior: H 0. PN M L Horizonte Na passagem meridiana inferior: H 180o. S W PS Passagens meridianas no HN Z Na passagem meridiana superior: H 0. PN Na passagem meridiana inferior: M L H 180o. N Horizonte S W Observador no Hemisfério Norte PS Passagens meridianas no HS Na passagem meridiana superior: H 0. Z PS Na passagem meridiana inferior: M L H 180o. Horizonte N S W PN Observador no Hemisfério Sul Convenção de sinais na passagem meridiana Z Z: positivo ao norte do zênite Z: negativo ao sul do zênite Z>0 N Z E N Horizonte W Nadir S Z<0 Horizonte S Culminações no HN Culminação inferior Culminação superior Z j + zi + d = 180o -zs = j – d PN zi = 180o - d - j zs = d - j j -Zs j N Zi d Horizonte d S Latitude e declinação no HN zs = d - j zi = 180o - d - j Obtenção da latitude local Somando membro a membro zi + zs = 180o - 2j j = +90o – (zi + zs) / 2 Obtenção da declinação do astro Subtraindo membro a membro zi - zs = 180o - 2d d = +90o – (zi - zs) / 2 Culminação superior Culminações no HS Z zs = (-j) – (-d) Culminação inferior PS zs = d - j (-j) + (-zi) + (-d) = 180o +Zs -j -d N zi = -180o - d - j -Zi -j Horizonte S -d Latitude e declinação no HS zs = d - j zi = -180o - d - j Obtenção da latitude local Somando membro a membro zi + zs = -180o - 2j j = -90o – (zi + zs) / 2 Obtenção da declinação do astro Subtraindo membro a membro zi - zs = -180o - 2d d = -90o – (zi - zs) / 2 Latitude e declinação Hemisfério Norte j = +90o – (zi + zs) / 2 d = +90o – (zi - zs) / 2 Hemisfério Sul j = -90o – (zi + zs) / 2 d = -90o – (zi - zs) / 2 Fórmulas gerais j = 90o – (zi + zs) / 2 + : observador no HN - : observador no HS d = 90o – (zi - zs) / 2 + : astro no HN - : astro no HS Latitude e declinação a d Enunciado: Um observador vê uma estrela X girando em torno de um ponto no sentido horário. Na culminação superior X está a 20o ao norte do zênite; na passagem inferior, X se encontra a 70o ao sul do zênite. Determine [a] o hemisfério do observador [b] a latitude astronômica do observador [c] a latitude geográfica do local [d] a declinação da estrela X. zs = +20o zi = -70o Pólo Sul Sul Oeste Leste Sentido horário Hemisfério Sul j = 90o – (zi + zs) / 2 d = 90o – (zi - zs) / 2 + : observador no HN - : observador no HS + : astro no HN - : astro no HS j = - 90o – (zi + zs) / 2 d = - 90o – (zi - zs) / 2 j = - 90o – ([-70] + [+20]) / 2 d = - 90o – ([-70] - [+20]) / 2 j = - 90o – (- 50) / 2 d = - 90o – (- 90) / 2 j = - 90o + 25 d = - 90o + 45 jAst= jGeo = - 65o d = - 45o Determinação do centro e do raio de uma circunferência Determinação do centro O e do raio R de uma circunferência Mediatriz B N Mediatriz M O A R = OA = OB = OC C Equação de uma circunferência de centro (xc,yc) e raio R y (x - xc)2 + (y - yc)2 = R2 R yC O C xC x Circunferência dada por 3 pontos y y2 r y3 yC C y1 O x1 x2 xC x3 x Como obter o xc e yc do centro da circunferência (x - xc)2 + (y - yc)2 = R2 (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = R2 (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 = R2 (x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = R2 Igualar: D (x3 - x2) (y1 - y2) - (x1 - x2) (y3 - y2) (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 k (x12 - x22 + y12 - y22) / 2 yc = [k - (x1 - x2) xc ] / (y1 - y2) xc = [k - (y1 - y2) yc ] / (x1 - x2) (x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 q (x32 - x22 + y32 - y22) / 2 yc = [q - (x3 - x2) xc ] / (y3 - y2) Igualar: xc = [q - (y3 - y2) yc ] / (x3 - x2) [k - (x1 - x2) xc ] / (y1 - y2) = [q - (x3 - x2) xc ] / (y3 - y2) xc = [ q (y1 - y2) - k (y3 - y2) ] / D [k - (y1 - y2) yc ] / (x1 - x2) = [q - (y3 - y2) yc ] / (x3 - x2) yc = [ k (x3 - x2) - q (x1 - x2) ] / D Obter o centro e o raio da circunferência (x - xc)2 + (y - yc)2 = R2 (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = R2 (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 = R2 (x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = R2 Sejam: k = (x12 - x22 + y12 - y22) / 2 q = (x32 - x22 + y32 - y22) / 2 D = (x3 - x2) (y1 - y2) - (x1 - x2) (y3 - y2) xc = [ q (y1 - y2) - k (y3 - y2) ] / D yc = [ k (x3 - x2) - q (x1 - x2) ] / D R2 = (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 Meridiano Local, Latitude local e Declinação da estrela através de 3 observações Meridiano, Latitude e Declinação no HS r h2 PS Mira hp h1 ap S h3 a3 a2 Leste a1 Oeste Meridiano, Declinação e Latitude Do céu Escala para o papel C (cm) G --> C ai --> xi Do papel para o céu G (graus) C --> G xp --> ap r’ P G --> C hi --> yi C --> G yp --> hp y2 y3 yp y1 x1 j = - hp C --> G r’ --> r x2 xp x3 d = - (90 - r) Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de 3 medidas A estrela não pode estar muito afastada do pólo P O local não pode estar muito afastado do equador Astronomia a serviço da polícia Ângulo entre o equador e PS o horizonte Z 90- j 90- j E Nascer j j N j 90- j 90- j S 90- j W Ocaso Ângulo entre o equador e o plano do horizonte: 90o - j Leste Norte Leste Sul Norte Sul Oeste Oeste Observador no Hemisfério Sul Observador no Hemisfério Norte Nascer do Sol N Horizonte L Visto por um observador no Hemisfério Sul S N Horizonte L Visto por um observador no Hemisfério Norte S Leste Norte Leste Sul Norte Sul Oeste Oeste Observador no Hemisfério Sul Observador no Hemisfério Norte Ocaso do Sol S Horizonte W Visto por um observador no Hemisfério Sul N S Horizonte W Visto por um observador no Hemisfério Norte N Seqüestradores distraídos 900- j Mapa do crime! Local do seqüestro Cativeiro dentro desse círculo j Tempo sideral Tempo sideral Z PN M Tempo sideral é o ângulo horário do ponto g TS Horizonte W S g TS = Hg Determinação da Ascensão Reta Ascensão reta com passagem meridiana Z PN M a Horizonte g W d TS = Hg TS = a + H Na passagem meridiana H S superior: H = 0. Logo: a = TSPMS Fim
